振动振动 周而复始循环往复的运动，被统称为振动。 振动是一种普遍存在的运动形式，弹簧振子、钟摆等的机械振动；交流电路中电压、电流的周期性变化是电磁振动；固体物理学中晶格中的热振动。这些周期性变化的物理量，不仅限于力学范畴中的机械位移，但描述这些物理量的数学方法、形式乃至结果，均有着极大的相似性与可类比性。因此对直观的机械振动的研究，将为我们掌握振动这一类运动形式打下坚实的基础。简谐振动 质点的运动遵从余弦（或正弦）规律时，其运动形式为简谐振动。txoxxO弹簧振子一根轻弹簧和一个质点构成的一个振动系统。胡克定律：胡克定律：牛牛顿第二定律：第二定律：令：振子的固有角频率，单位rad/s（弧度/s）通解形式：振幅A，表示振动的最大位移是A：t时刻的相位。 ：t=0时刻的相位，称为初相位，用于刻画振动的初始状态。周期：频率：旋转振幅矢量匀速旋转的矢量A在x轴上的投影点 P 的运动规律：投影点P 的运动与 简谐振动的运动规律 相同。P0Px参考圆图图图图图图振子动能：振子势能：总能量：振子的能量OtxO EktE Ep令：得：例：复摆的简谐近似如图所示，一刚体绕过O的垂直于纸面的轴转动，满足转动定律：OrCC由于q 很小，略去q 3以上各项，则sinq q 解为：相应的角频率：或从机械能守恒：解为：两边对时间 t 求一阶导数：OrCCsinq q例：两个相同的固定点电荷Q之间有一个同性的质量为m的点电荷q，分析电荷q小幅偏离中心位置的运动状态。为线性回复力，故电荷q做简谐运动，其固有角频率例：半径为 r 的小球在半径为R的半球形大碗内作小角度纯滚动，大碗固定在地面上。这种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。设小球质心速度vC，角速度机械能守恒两边对t求导其中小角度时的周期（纯滚动条件）多自由度保守系的振动：双振子一劲度系数为k的弹簧，两端连接质量分别为m1、m2的物体，即为双振子模型。这种模型常用于研究双原子分子的热振动现象，比如H2、N2、O2等。这类双振子的振动，可近似为由一弹性力维系的具有一个本征频率的振动。设坐标轴为x轴，弹簧自然状态时m1、m2所在处分别为平衡点O1、O2。振动时m1相对平衡点O1的位移为x1 ， m2相对平衡点O2的位移为x2。由此建立动力学方程组。m2m1xO2O1x1x2k多自由度保守系的振动：双振子m1、m2的振动具有相同的固有角频率，这个固有角频率即为双振子系统的本征角频率，我们通常将这种振动的状态称为简正模式。m2m1xO2O1x1x2k实际振振动是是简正模式的叠加正模式的叠加多自由度保守系的振动：双振子假设稳定模式下m1、m2的运动方程：将运动方程代入动力学方程组中，可以得到：多自由度保守系的振动：双振子将其整理为关于振幅的代数方程组：若要使振幅具有非零解，上述方程组的系数行列式为零，即：展开为：相关内容可自学高等数学中有关线性代数部分内容多自由度保守系的振动：双振子由此解得：其中1=0表示系统整体刚性平动，而2才是实际振动。再将2代入振幅方程组，得到振幅关系：多自由度保守系的振动：耦合双振子弹簧k1联系的m1与k2联系的m2之间，由弹簧k牵连，形成一耦合双振子系统。仍旧设坐标轴为x轴，弹簧自然状态时m1、m2所在处分别为平衡点O1、O2。振动时m1相对平衡点O1的位移为x1 ， m2相对平衡点O2的位移为x2。由此建立动力学方程组：m2m1xO2O1x1x2kk1k2多自由度保守系的振动：耦合双振子同样设简正模式下m1、m2的运动方程分别为：代入动力学方程组，可以得到关于振幅的代数方程组：振幅具有非零解即上述方程组的系数行列式为零：多自由度保守系的振动：耦合双振子展开为：为了便于理解，我们考虑这种情况，k1=k2=k，m1=m2=m，上式即简化为：解得：多自由度保守系的振动：耦合双振子相应的振幅之比为：由此，耦合双振子系统存在两种简正振动模式：或：多自由度保守系的振动：三振子类似于CO2这类双原子分子，即碳原子居中，两侧对置着氧原子，我们将其力学模型抽象为三振子系统，即中间物体M两侧连接着两个劲度系数为k的弹簧，两弹簧另一侧连接物体m。设物体坐标轴为x轴，弹簧自然状态时两侧物体m所在处为平衡点O。依旧按照设位移函数建立动力学方程组设简正模式化振幅方程组解本征频率解振幅比的思路求解。mMmxOOkk多自由度保守系的振动：三振子动力学方程组：mMmxOOkk多自由度保守系的振动：三振子简正模式：代入动力学方程组后得到振幅方程组：多自由度保守系的振动：三振子使振幅具有非零解的系数行列式为零：即：解得：耦合三振子耦合三振子的简正模式（横向）简谐振动的复数表示对于一维简谐振子，我们考虑其动力学方程：我们将 代入方程，发现这种形式也是方程的解。而式中的A、分别对应振动的振幅、固有角频率和初相位。利用欧拉公式 ，我们将 展开为：可知其实部对应实际振动的位移x(t)。简谐振动的复数表示利用复数形式表示振动具有求导、积分、求模（振幅）等计算方面的便利性。振动位移振动速度振动加速度振幅（求模）阻尼振动保守振动系统是理想情况，实际中总是存在阻力。在有阻力的情况下，振动系统的动力学方程迎修改为：f对应着阻力项，其方向与速度v方向总是相反，在一定条件下（如低雷诺数的流体中）是速度v的线性函数，即：动力学方程为：阻尼振动令 ，运动学方程可写为：将 代入方程，可得：要使 有非零解，阻尼振动解得：（1） ， ，为复数，其实部对应振动频率，虚部对应衰减。考虑到实际振动频率为正值，因此取 ，运动方程为：反映其实际运动的实部阻尼振动固有角频率：固有周期：振幅随时间的衰减：txoA0T阻尼振动（2） ， ， 为纯虚数，其实部为零即没有振动项，故实际运动为物体从初始位置开始向平衡位置缓慢移动，但还未到达平衡位置其能量已耗散殆尽，最终未能越过平衡位置完成往复。这种情况称之为过阻尼，其运动方程：txo阻尼振动（3） ， ， 为阻尼振动和过阻尼状态的临界点。这重情况下物体从初始位置开始向平衡位置移动，刚到达平衡位置时其能量即耗散殆尽，最终未能越过平衡位置完成往复。这种状态称之为临界阻尼。txo受迫振动由刚才阻尼振动的讨论中我们可以知道，若没有外部能源，具有耗散的振动系统是不能持久的。现在我们讨论系统在周期性外力驱动下的振动，我们将这个周期性外力称为策动力，其表示形式为：相应的动力学方程演变为：令 ， ， ，将动力学方程化为：受迫振动将运动学方程写成复数形式，可得：观察上式，认为振动频率与策动力频率相同是合理的，因此将 代入方程，有：解得：受迫振动：位移共振得到：振幅A关于策动频率的函数图象为：oA1 / 0无阻尼阻尼较小阻尼较大可以发现，无论取还是0作为变量，振幅随频率都有极大值，这种现象称之为共振。受迫振动：位移共振根据位移振幅关于角频率的响应：在dA/d=0时我们能够得到相应的共振峰位：在弱阻尼条件下，即 有：受迫振动：速度共振受迫振动的运动方程：将其对时间t求导可得速度随时间的函数：利用欧拉公式 ， 上式的意义是速度幅值在数值上和位移振幅具有关系 ，而速度的相位相比位移滞后/2，即受迫振动：速度共振速度幅值随频率的变化关系：速度幅值v关于策动频率的函数图象为：同样在dv/d=0时我们能够得到相应的共振峰位：vo1 / 0 =(2 t+ 2)-(1 t+ 1)相位差对两同频率的谐振动 =2-1同相和反相当 = 2k ， ( k =0, 1, )，两振动步调相同，称同相当 = (2k+1) ，( k =0, 1,)， 两振动步调相反，称反相oA1-A1A2- A2x1x2T同相txxoA1-A1A2- A2x1x2Tt反相同频率平行简谐振动的合成若一个质点同时参与两个同频率且方向平行的简谐振动，即：其合振动：其中：同频率平行简谐振动的合成（1）当 时，（2）当 时，不同频率平行简谐振动的合成：拍若一个质点同时参与两个方向平行但是不同频率的简谐振动，即：为简化问题，我们假设两个振动的振幅和初相位相同：利用和差化积公式：不同频率平行简谐振动的合成：拍合振动包含一个随t变化较慢的余弦因子 和一个随t变化较快的余弦因子 。令 ：其意义为一个高频合振动的振幅作低频变化。不同频率平行简谐振动的合成：拍将 定义为拍，则：则拍的周期为：拍的频率为：同频率垂直简谐振动的合成如果两个振动频率相同，但一个沿x方向、一个沿y方向，即：这是以t为参量的轨道方程；消去t，得轨道方程：为椭圆轨道方程，这种合振动因此也被称为椭圆振动。 y xO同频率垂直简谐振动的合成（1）当时，椭圆方程退化为直线方程：其斜率为 。y xO同频率垂直简谐振动的合成（2）当时，椭圆方程退化为直线方程：其斜率为 。y xO同频率垂直简谐振动的合成（3）当时，轨迹为一正椭圆：y xO同频率垂直简谐振动的合成不同频率垂直简谐振动的合成：李萨如图x:y2:13:13:2y-x 0 /8 /4 3/8 /2