第一节 平均指标的概念和种类一、平均指标的概念平均指标:同质总体内各单位数量标志值在一定时间、地点条件下的一般水平或代表值。又称平均数。二、平均指标的特点1.代表性2.抽象性集中趋势1、一组数据向其中心值靠拢的倾向和程、一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度；度；2、测度集中趋势就是寻找数据水平的代、测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值；表值或中心值；3、不同类型的数据用不同的集中趋势测、不同类型的数据用不同的集中趋势测度值度值三、平均指标的作用 1.利用平均指标，可以了解总体次数分布的集中趋势 2.利用平均指标，可以对不同时间和空间的同类现象进行比较研究3.利用平均指标，可以研究某一总体某种数值的平均水平在时间上的变化，说明总体的发展过程和趋势4.利用平均指标，可以分析现象之间的依存关系5.利用平均指标，可以为某些科学预测、决策和某些推算的依据四、统计平均数的种类1.数值平均数：算术平均数、调和平均数、几何平均数2.位置平均数：中位数、众数一.算术平均数的计算方法1.算术平均数的基本公式(表明同质总体各单位标志值一般水平的平均数)算术平均数=总体标志总量/总体单位总量第二节算术平均数分子与分母要同属一个总体;分子与分母具有一一对应的关系,即有一个总体单位必有一个标志值与之对应.从这个基本公式可以看到：2.简单算术平均数3.加权算术平均数 例1：有6名学生的英语考试成绩分别为：81、82、85、89、92、93分，则平均考试成绩为: （81+82+85+89+92+93） 6 = 87 （分）以公式表示：对于变量数列x1x2x3xn有例2：某厂金工车间20名工人加工某种零件的产量资料如下：20名工人零件生产数量分组资料产量（件）人数（人）总产量（件）14151617182485128601288518合计20319以公式表示：对于变量数列x1x2x3xn有如果掌握的资料是组距式数列，应先计算各组的组中值以代表该组内各单位的一般水平，而后按上述方法计算其平均数例3：某贸易公司60名员工月工资分组资料如下：工资（元）组中值x人数（人）f工资总额（元）xf800以下800100010001200120015001500以上7009001100135016506142610442001260028600135006600合计6065500二、算术平均数的数学性质二、算术平均数的数学性质（1 1）算术平均数与标志值个数的乘积等于各）算术平均数与标志值个数的乘积等于各标志值的总和。标志值的总和。简单算术平均数：简单算术平均数：加权算术平均数：加权算术平均数：（2 2）各个标志值与其算术平均数的离差）各个标志值与其算术平均数的离差之和等于零。之和等于零。简单算术平均数：简单算术平均数：加权算术平均数：加权算术平均数：（3 3）各标志值与算术平均数离差的平方和为）各标志值与算术平均数离差的平方和为最小值。最小值。第三节 调和平均数和几何平均数一.调和平均数:也称倒数平均数,是变量值倒数的算术平均数的倒数.根据所掌握的资料不同，调和平均数有简单和加权两种。原来只是计原来只是计算时使用了算时使用了不同的数据不同的数据！1、 简单调和平均数 例4：有一种蔬菜，早晨的价格每千克0.5元，中午0.2元，晚上0.1元。如果早、中、晚各买1元钱的蔬菜，则当天所买的蔬菜平均价格是多少？ 以公式表示2、加权调和平均数例5前进化工厂2004年11月购进三批A原料，每批的价格及金额如下,则这三批原料的平均价格是:批次价格（元/公斤）x金额（元）m购进数量（公斤）m/x第一批第二批第三批505560110002750018000220500300合计565001020A原料的购入价格和金额资料二二.几何平均数几何平均数它是计算平均比率或平均速度最适用的一种方法。因为几何平均数的数学性质与社会经济现象发展的平均比率和平均速度形成的客观过程是一致的。凡是变量值的连乘积等于总比率或总速度的场合都适宜用几何平均法计算平均比率或平均速度。 几何平均数也分简单几何平均数和加权几何平均数两种. 1、 简单几何平均数简单几何平均数是N个变量值（比率）连乘积的N次方根，计算公式为：2、加权几何平均数当计算几何平均数的每个变量值（比率）的次数不相同时，则应用加权几何平均法，其计算公式为：几何平均数几何平均数( (简单简单) )某某企企业业9595年年的的产产量量为为100100万万吨吨，9696年年与与9595年年相相比比增增长长率率为为9 9，9797年年与与9696年年相相比比增增长长率率为为1616，9898年年与与9797年年相相比比增增长长率率为为2020。求求各各年年的的平均增长率。平均增长率。平均收益率平均收益率114.91%-100114.91%-100=14.91%=14.91%几何平均数几何平均数( (加权加权) )一笔存款存入银行十年，前两年的年利率一笔存款存入银行十年，前两年的年利率为为6%6%，第三年至第五年的年利率为，第三年至第五年的年利率为5%5%，后五，后五年的年利率为年的年利率为3%3%。如果按照复利计算，这笔。如果按照复利计算，这笔存款的年平均利率为多少？存款的年平均利率为多少？l1.042-1=4.2%1.042-1=4.2%，即年平均利率为，即年平均利率为4.2%4.2%第四节中位数和众数一、中位数:把现象总体中各单位标志值按大小顺序排列,位于中间位置的标志值.(一)中位数的意义(二)中位数的计算方法1.由未分组资料确定中位数总体单位数为奇数时：中位数是处在第(n+1)/2项位置的标志值 例6一个科室有9人，年龄分别为24、25、25、26、26、27、28、29、55岁，则中位数为26岁总体单位数为偶数时：中位数是第n/2项和第（n+2）/2项两个标志值的平均数如例6去掉24，则中位数是第4项和第5项标志值26和27的平均数(26+27)2=26.5岁2.由已分组资料确定中位数单项数列：首先确定中位数位次，f/2；然后确定中位数组，该组的变量值就是中位数组距数列：首先确定中位数位次，f/2；然后按照公式计算中位数下限公式上限公式例7.某车间工人日产量资料如下日产量工人数较小累计制17221846193920211合计11-例82004年某地大学生消费支出调查资料月消费额组中值（元）调查人数（人）累计人数（人）300以下300400400500500600600700700以上250350450550650750801804302207020802606909109801000合计1000 中位数的位置为1000/2 = 500，可知月消费金额位居第500位的学生在月消费额400500元这个组，中位数为：二.众数（1）根据单项数列确定众数出现次数最多的变量值即为众数例9：佳美超市2004年3月各种包装的味精销售情况：按包装分组（克）销售量（袋）102550751005001000305235714643172众数为50克（2）由组距数列计算众数先根据各组次数确定众数所在的组，然后利用下列公式计算众数。下限公式L：众数组的下限1：众数组次数与相邻前一组次数之差2：众数组次数与相邻后一组次数之差I：众数组的组距上限公式根据例8资料计算三.各种平均数之间的关系1、算术平均数和几何平均数、调和平均数的关系如果根据同一资料计算，则调和平均数最小，几何平均数居中，算术平均数最大，即：算术平均数几何平均数调和平均数例10：有1、3、6、7、9五个数，计算：2.算术平均数和中位数、众数的关系(1)当总体分布呈对称状态时,算术平均数=中位数=众数(2)当总体分布呈右偏时,众数中位数算术平均数(3)当总体分布呈左偏时,算术平均数中位数众数四.计算和应用平均指标应注意的问题1、同质性2、总平均数与组平均数结合3、总平均数与分布数列结合4、平均数与典型事例结合5、平均数与变异分析相结合离中趋势离中趋势1.1.数据分布的另一个重要特征；数据分布的另一个重要特征；2.2.反反映映各各变变量量值值远远离离其其中中心心值值的的程程度度( (离离散散程度程度) )；3.3.从从另另一一个个侧侧面面说说明明了了集集中中趋趋势势测测度度值值的的代表程度；代表程度； 第五节第五节 标志变异指标标志变异指标一、标志变异指标的概念和作用1、概念2、作用（1）标志变异指标是衡量平均数代表性大小的尺度（2）标志变异指标可以反映社会经济活动过程的节奏性、均衡性和稳定性（3）标志变异指标是科学地确定必要的抽样单位数应考虑的重要因素 二二、标志变异测定指标1、全距：总体各单位变量值中最大值与最小值之差极差=最大变量值最小变量值例 11某生产班组26名工人的日产量资料日产量（件）工人数（人）121416182022248732合计26极差为2212=10（件）对于组距数列：极差=最高一组的上限值最低一组的下限值特点：是描述数据离散程度最简单的测度值，计算简单，易于理解。在实际工作中适用于度量变化比较稳定的现象的离中趋势，常用于检查工业产品质量。只反映两个极端变量值的差距，未考虑中间数据的变异情况。对于开口组则无法计算，不能准确描述数据的离散程度。2、平均差：总体各单位的标志值与其算术平均数离差绝对值的算术平均数。根据掌握的资料不同，计算可分为简单和加权两种。简单平均式在资料未分组时采用 加权平均式当掌握的资料是经过加工整理的分布数列，应采用加权平均式。如果是组距数列，计算平均差的方法与上述相同，只是先计算组中值，以组中值代表各组变量值。 例12 根据例11某地大学生2002年消费情况计算人月消费额的平均差（算术平均数458元）月消费额（元）组中值x人数f300以下300400400500500600600700700以上2503504505506507508018043022070202081088921922921664019440344020420134405840合计100079040 3、方差和标准差（均方差）：方差与标准差用于测度数据的离散程度作用是一致的，但标准差的计量单位与变量值的计量单位相同，其实际意义比方差清楚，所以通常在对社会经济现象进行分析时，更多使用标准差来测度统计数据的差异程度。方差是总体中各单位标志值与其算术平均数的离差平方的算术平均数。通常以2表示根据掌握的资料不同，方差的计算分为简单和加权两种简单平均式加权平均式方差的平方根就是标准差，一般用表示，其计算公式为：简单平均式加权平均式 例13 根据例11某地大学生2002年消费情况计算人月消费额的方差和标准差（平均458元）月消费额（元）组中值x人数f300以下300400400500500600600700700以上250350450550650750801804302207020-208-108-892192292432641166464846436864852643461120209952027520186208025804801705280合计1000117360004、标志变异系数（离散系数）为了消除变量值平均水平和计量单位不同对离散程度的测度值的影响，需要计算离散系数离散系数通常是就标准差来计算的标准差系数离散系数大，说明数据的离散程度大，其平均数的代表性就差；离散系数小，说明数据的离散程度小，其平均数的代表性就大 例14：有两组不同水平的工人日产量资料如下： 甲组：60 65 70 75 80 乙组：2 5 7 9 12试比较两组工人的平均日产量的代表性解：5 5、是非标志的方差与标准差、是非标志的方差与标准差品质标志品质标志标志值标志值( (xixi) )次数次数f fi i是是1 1n n1 1非非0 0n n0 0合计合计- -n n2 2、是非标、是非标志的标准差志的标准差练习：1、标志变异指标数值的大小与平均数代表性的大小存在着（）A、正比关系B、反比关系C、恒等关系D、倒数关系2、两个总体的平均数不等，但标准差相等，则()A、平均数小代表性大B、平均数大代表性大C、平均数小代表性小D、平均数大代表性小3、比较两个单位的资料，甲的标准差小于乙的标准差，则（）A、两个单位的平均数代表性相同B、甲单位平均数代表性大于乙单位C、乙单位平均数代表性大于甲单位D、不能确定哪个单位的平均数代表性大4、某地区2300户家庭年收入：人均年收入（元）户数（户）500元以下30500100011210001500128150020004202000250048025003000780300035002503500元以上100合计2300求中位数和众数。5、已知甲商店职工的平均工资为705元，其标准差为120元；乙商店职工工资的资料如下：要求：试比较两商店职工平均工资代表性的强弱。按月工资额分组（元）职工人数（人）400以下440050013500600256007004070080032800以上66 6、如果所有标志值的频数都减少为原来的、如果所有标志值的频数都减少为原来的1/101/10，而标志值仍然不变，那么算术平均数，而标志值仍然不变，那么算术平均数（ ）A A、不变；、不变； B B、扩大到十倍；、扩大到十倍；C C、减少为原来的、减少为原来的1/101/10； D D、不能预测。、不能预测。7 7、某班、某班4545名同学中，名同学中，2525名男生的平均成名男生的平均成绩为绩为7878分，分，2020名女生的平均成绩为名女生的平均成绩为8282分，分，则全班平均成绩为（则全班平均成绩为（ ）A A、8080； B B、79.2879.28；C C、79.7879.78； D D、80.3880.38。8 8、用无名数表示的标志变异指、用无名数表示的标志变异指标是（标是（ ）A A、全距；、全距； B B、平均差；、平均差；C C、标准差；、标准差； D D、标准差系数。、标准差系数。9 9、计算：、计算：某车间某车间120120人日生产产品人日生产产品498498件，具体情况如件，具体情况如下表所示：下表所示：日产量日产量x(x(件件) )1 12 23 34 45 56 67 78 8人数人数f f（个）（个） 5 5121220203838252510108 82 21 1、总量指标是（、总量指标是（ ）A A、某车间日生产产品总数；、某车间日生产产品总数；B B、日生产产品数为、日生产产品数为4 4的工人数；的工人数；C C、日产、日产3 3件的工人数占总工人数的件的工人数占总工人数的25%25%；D D、每个工人平均日产量。、每个工人平均日产量。2 2、日产量的中位数是（、日产量的中位数是（ ）3 3、日产量的众数是（、日产量的众数是（ ）4 4、该车间工人的全距是（、该车间工人的全距是（ ）5 5、该车间工人日产量的平均差（、该车间工人日产量的平均差（ ）6 6、该车间工人日产量的标准差是（、该车间工人日产量的标准差是（ ）7 7、该车间工人日产量的标准差系数是（、该车间工人日产量的标准差系数是（ ）