图像重建概述图像重建是图像处理中的一个重要分支，广泛地应用于物体内部结构图像的检测和观察中，它是一种无损检测技术。关于图像处理的一些基本内容，如对图像的几何处理，图像的增强，还有复原等，均是从图像到图像，即输入的原始数据是图像，处理后输出的仍是图像。而图像重建是从数据到图像。图像重建的三种常用检测模型：透射模型、透射模型、透射模型、透射模型、发射模型、反射模型1 1-我们从CT谈起计算机层析成像（Computed Tomography, CT）是通过对物体进行不同角度的射线投影测量来获取物体横截面信息的成像技术。CT的核心技术是由投影数据来重建图像的理论，其实质是由扫描所得到的的投影数据来求出成像平面上每个点的衰减系数值。2 2二维投影与CT值当强度为 的x-ray通过吸收率为(x,y)的均匀吸收物体，由于均匀吸收，则I必是指数下降，则有这里s表示射线经过的体内距离长度1 1、我们假设切片（物体横截面，断面）无限薄。、我们假设切片（物体横截面，断面）无限薄。2 2、我们认为、我们认为, ,一幅图像在任意点一幅图像在任意点(x,y) (x,y) 上的灰度值上的灰度值正比于那个点的相对线性衰减系数正比于那个点的相对线性衰减系数(x,y)(x,y)。3 3CT任意角度扫描经坐标系旋转变换后可得：所以所谓投影所以所谓投影 是测量值，是测量值，是吸收系数沿着射线经过直线的积是吸收系数沿着射线经过直线的积分。实际上的问题是沿着若干条直分。实际上的问题是沿着若干条直线的积分估算值来计算线的积分估算值来计算(x,y)(x,y)值。值。而对于任意角度扫描，需要用旋转坐标来描述问题，建立置于扫描系统之上的旋转坐标系 ，即让射线束与旋转坐标系 的 轴平行：所以角每旋转1度就可以取一组投影数据，可得到180组不同的投影。CT就是在收集各角度的投影数据后，利用重建算法处理得到物体的图像。是离散值，是测出值！4 4Radon变换Radon变换是计算图像在某一指定角度射线方向上的投影的变换方法。二维函数f(x,y)的投影是其在确定方向上的线积分，如下图所示，二维函数f(x,y)在水平方向的线积分就是f(x,y)在y轴上的投影，二维函数f(x,y)在垂直方向的线性积分就是f(x,y)在x轴上的投影。5 5Radon变换（续）由此，可以沿任意角度 计算函数的投影，计算图像f(x,y)在任意角度的Radon变换。6 6中心切片定理密度函数在某一方向上的投影函数的一维傅立叶变换函数密度函数在某一方向上的投影函数的一维傅立叶变换函数是原密度函数的二维傅立叶变换函数在平面上沿同一方向是原密度函数的二维傅立叶变换函数在平面上沿同一方向且过原点的直线上值。且过原点的直线上值。7 7滤波反投影算法的原理1、在不同的角度下取得足够多的投影数据(Radon变换)2、将这些投影数据做一维的Fourier变换，那么变换后的这些数据将充满整个(u,v)平面。（许多过原点成不同夹角的直线）3、也就是说，F(u,v)的全部值都为已知，那么我们将其做一次二维的Fourier逆变换就可以得到原始的衰减系数函数f(x,y)8 8二维傅立叶反变换二维傅立叶反变换作坐标变换，令：可得出：表示对投影函数的Fourier变换进行滤波变换，其中 是滤波函数。9 9由傅立叶变换性质可知频域中的滤波运算可等效地在空域中用卷积运算来完成由傅立叶变换性质可知频域中的滤波运算可等效地在空域中用卷积运算来完成所以要实现对投影数据实现图像重建，可以采取两步：首先将投影数据和响应脉冲滤波器进行卷积，然后由式对不同旋转角求和，就能实现图像重建。这就是卷积法进行图像重建的基本思路和方法。 卷积可看作一种滤波手段，卷积投影相当于对数据先滤波再将结果卷积可看作一种滤波手段，卷积投影相当于对数据先滤波再将结果卷积可看作一种滤波手段，卷积投影相当于对数据先滤波再将结果卷积可看作一种滤波手段，卷积投影相当于对数据先滤波再将结果逆投影回来，这样可以使模糊得到校正。逆投影回来，这样可以使模糊得到校正。逆投影回来，这样可以使模糊得到校正。逆投影回来，这样可以使模糊得到校正。所以：式中h(R)为滤波函数纠的空域形式1010反投影算法举例基本原理是将所测得的投影值按其原路径平均的分配到每一点上，各个方向上投影值反投影后，在影像处进行叠加，从而推体出原图像。 而滤波却是要投影函数的一维Fourier加上权重因子。1111算法举例1234561212算法举例根据反投影算法x1=p5 = 5x6=p2+p3+p5=18平均化处理，除以投影线数目xi=xi/60 00 00 00 00 05 52 20 00 01 10 00 00 00 00 00 05 56 62 23 37 7181812127 71 110108 81 13 36 62 25 50.830.831 10.330.3300.500.51.161.163 32 21.161.160.060.061.661.661.331.330.160.160.50.51 10.330.330.830.83反投影重建后原像素值再除以投影线数，平均化断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和的平均值1234561313伪迹反投影重建后，原来为0的点不再为0，形成伪迹0 00 00 00 00 05 52 20 00 01 10 00 00 00 00 00 00.830.831 10.330.330.50.51.161.163 32 21.161.160.060.061.661.661.331.330.160.160.50.51 10.330.330.830.83原像素值再除以投影线数，平均化1414星状伪迹我们考虑孤立点源反投影重建，中心点A经n条投影线投影后，投影值均为1：p1=p2=.=pn=1因此重建后而其他点均为1/n这类伪迹称为星状伪迹1/n1/n1/n1/n1/n1/n1/n1/n1 11/n1/n1/n1/n1/n1/n1/n1/n0 00 00 00 01 10 00 00 00 01515星状伪迹产生星状伪迹的原因在于：反投影重建的本质是把取自有限物体空间的射线投影均匀地回抹(反投影)到射线所及的无限空间的各点之上，包括原先像素值为零的点（其实就是投影数据少产生的！）(a)孤立点源(b)反投影重建图像及星状伪迹1616滤波反投影算法滤波反投影法采用先修正、后反投影的做法，其基本方法是：在某一投影角下取得了投影函数（一维函数）后，对此一维投影函数作滤波处理，得到一个经过修正的投影函数；然后再将此修正后的投影函数作反投影运算，得到所需的密度函数。 滤波反投影法重建图像有以下几个步骤：（1）对某一角度下的投影函数作一维傅立叶变换；（2）对（1）的变换结果乘上一维权重因子；（3）对（2）的加权结果作一维逆傅立叶变换；（4）用（3）中得出的修正过的投影函数做直接反投影；（5）改变投影角度，重复（1）（4）的过程，直到完成全部180度的反投影。1717滤波函数滤波函数的选取是滤波反投影法的关键问题 （1）R-L滤波函数 由于在频域中用矩形函数截断了滤波函数，在相应的空域中造成振荡响应 ，重建的图像质量也不够满意 对应的频域形式为：理想的滤波函数 它是在高频的权重很大，低频的权重很小，所以高频噪声就会很大，所以我们才要对其进行修正1818（2）S-L滤波函数 与R-L滤波函数不同的是，S-L滤波函数它的关键是把频域的陡峭截止改成缓慢截止。 用S-L滤波函数重建的图像中振荡相应较小，对含噪声的数据重建出来的图像质量也较R-L滤波函数重建的图像质量要好。但是，S-L滤波函数重建的图像在高频响应方面不如R-L滤波函数好，这是因为S-L滤波函数在高频段偏离了理想的滤波函数 对应的频域形式为：1919一、滤波反投影matlab实现 %P=imread(lena.jpg); P = phantom(256); %P= rgb2gray(O); R = radon(P,0:179); I0 = iradon(R,0:179,linear,Ram-Lak);I1 = iradon(R,0:179,linear,Shepp-Logan);I2=iradon(R,0:179,linear,cosine);I3 = iradon(R,0:179,linear,none);subplot(2,3,1), imshow(P), title(Original)subplot(2,3,2), imshow(I0,), title(FBP R-L)subplot(2,3,3), imshow(I1,), title(FBP S-L)subplot(2,3,4), imshow(I2,), title(FBP cosine)subplot(2,3,5), imshow(I3,), title(Unfiltered BP)2020图像的细节对应的是高频部分，轮廓对应的是图像的低频部分，所以因为没有滤波，细节部分恢复的不好，呈现很“模糊”的情况2121222223232424二、投影数据的多少对图像重建效果的影响一个典型实例：在matlab图像处理工具箱中，有一个phantom函数，可以用来创建头部的剖视图，首先创建一个头部的256256剖视图，然后分别计算3组不同的Radon变换，第一组采用30个投影，第二组采用90个投影，第三组采用180个投影，用以比较采用不同组数的投影参数重建的图像与原始图像的差别。 2525Radon逆变换2626 由测试结果可以看出：第一组采用30个投影，效果较差；第二组采用90个投影，效果较好；第三组采用180个投影，效果很好，与原始的图像非常接近。 这说明可以通过增加投影的数目，来提高重建图像的质量。2727ART算法滤波反投影算法要求投影数据必须完全，分布必须均匀。具体地说就是，平移采集投影数据时，应覆盖全部物体区域；相邻射线间均为d。然而实际应用中，有时无法测到大量的投影数据。例如做CT时，为了避免心脏器官受辐射过久，为了减少剂量，投影数据采集不足；迭代重建算法就能解决上述滤波反投影算法无能为力的场合啦！2828ART算法ART（代数重建法）是一个迭代的过程，它是一开始就在离散域中进行的,首先把图像离散化，即将欲重建的未知图像离散成一个J=n*n重建图像网格。根据成像的物理过程和相应的数学模型建立待重建图像和投影数据之间的代数方程组，那么图像重建问题就可以转化为解线性方程组问题。x1x2x3x4x5X6x7x8x9x1x2x3x4x5X6x7x8x91号 2号 3号 4号2929迭代重建的模型一重建模型一3030迭代重建的模型二3131迭代重建的模型三x1x2x3x4x5X6x7x8x93232x1x2x3x4x5X6x7x8x91号5号4号8号以模型三为例，不失一般性如图为一3*3像素的图像的x1,x2,x9为相应的像素值，则各射线和为：33333434迭代重建算法的思路3535求图像矢量x的方法一3636求图像矢量x的方法二此方法会产生严重的伪迹。不是我们所期望的。但此方法的思想有助于我们理解迭代重建算法。3737反投影算法举例基本原理是将所测得的投影值按其原路径平均的分配到每一点上，各个方向上投影值反投影后，在影像处进行叠加，从而推体出原图像。 3838算法举例1234563939算法举例根据反投影算法x1=p5 = 5x6=p2+p3+p5=18平均化处理，除以投影线数目xi=xi/60 00 00 00 00 05 52 20 00 01 10 00 00 00 00 00 05 56 62 23 37 7181812127 71 110108 81 13 36 62 25 50.830.831 10.330.3300.500.51.161.163 32 21.161.160.060.061.661.661.331.330.160.160.50.51 10.330.330.830.83反投影重建后原像素值再除以投影线数，平均化断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和的平均值1234564040伪迹反投影重建后，原来为0的点不再为0，形成伪迹0 00 00 00 00 05 52 20 00 01 10 00 00 00 00 00 00.830.831 10.330.330.50.51.161.163 32 21.161.160.060.061.661.661.331.330.160.160.50.51 10.330.330.830.83原像素值再除以投影线数，平均化4141星状伪迹我们考虑孤立点源反投影重建，中心点A经n条投影线投影后，投影值均为1：p1=p2=.=pn=1因此重建后而其他点均为1/n这类伪迹称为星状伪迹1/n1/n1/n1/n1/n1/n1/n1/n1 11/n1/n1/n1/n1/n1/n1/n1/n0 00 00 00 01 10 00 00 00 04242星状伪迹产生星状伪迹的原因在于：反投影重建的本质是把取自有限物体空间的射线投影均匀地回抹(反投影)到射线所及的无限空间的各点之上，包括原先像素值为零的点（其实就是投影数据少产生的！）(a)孤立点源(b)反投影重建图像及星状伪迹4343求图像矢量x的方法三：ART算法4444454546464747分析上述校正过程的几何意义48484949分析上述校正过程的物理意义5050一张图总结一下ART算法投影运算，投影运算的结果与测量数据进行比较，反投影运算，以及图像更新。反投影运算的目的是把投影运算的结果与测量数据之间的差异映射到图像空间去，并去修正当前所估算的图像5151一条式子总结ART算法5252