学习必备 欢迎下载 个性化一对一教学辅导教案 学科： 数学 学生姓名 年级 八 任课老师 授课时间 一、教学内容：一次函数的图像与性质 二、教学重、难点：函数值大小的增减性 三、教学过程: 知识梳理 知识点 1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量 x，y 间的关系式可以表示成 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（x为自变量） ， 特别地， 当 b=0 时， 称 y 是 x 的正比例函数. 例如： y=2x+3， y=-x+2， y=21x 等都是一次函数， y=21x，y=-x 都是正比例函数. 知识点 2 函数的图象 把一个函数的自变量 x 与所对应的 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点， 所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线 知识点 3 一次函数的图象 由于一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数 y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与 y 轴的交点（0，b） ，直线与 x 轴的交点（-kb，0）. 但也不必一定选取这两个特殊点. 画正比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点（0，0） ， （1，k）即可. 知识点 4 一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的性质 （1）k 的正负决定直线的倾斜方向； k0 时，y 的值随 x 值的增大而增大； kO时，y 的值随 x 值的增大而减小 （2）|k| 大小决定直线的倾斜程度，即|k| 越大，直线与 x 轴相交的锐角度数越大（直线陡） ，|k| 越小，直线与 x 轴相交的锐角度数越小（直线缓） ； （3）b 的正、负决定直线与 y 轴交点的位置； 当 b0 时，直线与 y 轴交于正半轴上； 当 b0 时，直线与 y 轴交于负半轴上； 当 b=0 时，直线经过原点，是正比例函数 （4）由于 k，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同； 学习必备 欢迎下载 当 k0，b0 时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限） ； 当 k0，bO时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限） ； 当 kO，b0 时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限） ； 当 kO，bO时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限） （5）由于|k| 决定直线与 x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线 y=x1 可以看作是正比例函数 y=x 向上平移一个单位得到的 知识点 3 正比例函数 y=kx（k0）的性质 （1）正比例函数 y=kx 的图象必经过原点； （2）当 k0 时，图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大； （3）当 k0 时，图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小 知识点 4 点 P（x0，y0）与直线 y=kx+b 的图象的关系 （1）如果点 P（x0，y0）在直线 y=kx+b 的图象上，那么 x0,y0的值必满足解析式 y=kx+b； （2）如果 x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以 x0，y0为坐标的点 P（1，2）必在函数的图象上 例如：点 P（1，2）满足直线 y=x+1，即 x=1 时，y=2，则点 P（1，2）在直线 y=x+l 的图象上；点 P（2，1）不满足解析式 y=x+1，因为当 x=2 时，y=3，所以点 P（2，1）不在直线 y=x+l 的图象上 知识点 5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件 （1）由于正比例函数 y=kx（k0）中只有一个待定系数 k，故只需一个条件（如一对 x，y 的值或一个点）就可求得 k 的值 （2）由于一次函数 y=kx+b（k0）中有两个待定系数 k，b，需要两个独立的条件确定两个关于 k，b 的方程，求得 k，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对 x，y 的值 知识点 6 待定系数法 先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数） ，再根据条件列出方程（或方程组） ，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法其中未知系数也叫待定系数例如：函数 y=kx+b 中，k，b 就是待定系数 知识点 7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设函数表达式为 y=kx+b； （2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组） ； （3）求出 k 与 b 的值，得到函数表达式 例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式 解：设一次函数的关系式为 ykx+b（k0） ， 图像与性质二教学重难点函数值大小的增减性三教学过程知识梳理知识点一次函数和正比例函数的概念若两个变量间的关系式可以表示成为常数的形式则称是的一次函数为自变量特别地当时称是的正比例函数例如等都是一次函数都内描出它的对应点所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步列表描点连线知识点一次函数的图象由于一次函数为常数的图象是一直线所以一次函数的图象也称为直线由于两点确定一直线因此在今后作一次函比例函数的图象时只要描出点即可知识点一次函数为常数的性质但也不必一定选取这两个特殊的正负决定直线的倾斜方向时的值随值的增大而增大时的值随值的增大而减小大小决定直线的倾斜程度即越大直线与轴相交的锐角度数越学习必备 欢迎下载 由题意可知， ,3,21bkbk 四、解.35,34bk 典型例题 基本概念题 例 1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ （1）y=-21x； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x； （4）y=-5x2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x2. 例 2 当 m为何值时，函数 y=-（m-2 ）x32m+（m-4 ）是一次函数？ 基础知识应用题 例 3 一根弹簧长 15cm，它所挂物体的质量不能超过 18kg，并且每挂 1kg 的物体，弹簧就伸长 05cm，写出挂上物体后，弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量 x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围，并判断y 是否是 x 的一次函数 练习、乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约 600 千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为 58 千米时，则火车离库尔勒的距离 s（千米）与行驶时间 t （时）之间的函数关系式是 . 例 4 、某物体从上午 7 时至下午 4 时的温度 M （）是时间 t （时）的函数：M=t2-5t+100（其中 t=0 表示中午12 时，t=1 表示下午 1 时） ，则上午 10 时此物体的温度为 例 5 、已知 y-3 与 x 成正比例，且 x=2 时，y=7. （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当 x=4 时，求 y 的值； （3）当 y=4 时，求 x 的值 练习、已知 y 与 x+1 成正比例，当 x=5 时，y=12，则 y 关于 x 的函数关系式是 . 例 6 、若正比例函数 y=（1-2m ）x 的图象经过点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2） ，当 x1x2时，y1y2，则 m的取值图像与性质二教学重难点函数值大小的增减性三教学过程知识梳理知识点一次函数和正比例函数的概念若两个变量间的关系式可以表示成为常数的形式则称是的一次函数为自变量特别地当时称是的正比例函数例如等都是一次函数都内描出它的对应点所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步列表描点连线知识点一次函数的图象由于一次函数为常数的图象是一直线所以一次函数的图象也称为直线由于两点确定一直线因此在今后作一次函比例函数的图象时只要描出点即可知识点一次函数为常数的性质但也不必一定选取这两个特殊的正负决定直线的倾斜方向时的值随值的增大而增大时的值随值的增大而减小大小决定直线的倾斜程度即越大直线与轴相交的锐角度数越学习必备 欢迎下载 范围是（ ）Am O Bm 0 C m 21 Dm M 某校办工厂现在的年产值是 15 万元，计划今后每年增加 2 万元 （1）写出年产值 y（万元）与年数 x（年）之间的函数关系式； （2）画出函数的图象； （3）求 5 年后的产值 例 7 、已知一次函数 y=kx+b 的图象如图 1122 所示，求函数表达式 例 8 、求图象经过点（2，-1） ，且与直线 y=2x+1 平行的一次函数的表达式 综合应用题 例 9、已知 y+5 与 x+6（a，b 为是常数）成正比例y 是 x 的一次函数吗？请说明理由； 例 10、某移动通讯公司开设了两种通讯业务： “全球通”使用者先交 50 元月租费，然后每通话 1 分，再付电话费 04 元； “神州行”使用者不交月租费，每通话 1 分，付话费 06 元（均指市内通话）若 1 个月内通话 x 分，两种通讯方式的费用分别为 y1元和 y2元 （1）写出 y1，y2与 x 之间的关系； （2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？ （3）某人预计一个月内使用话费 200 元，则选择哪种通讯方式较合算？ 例 11、 、已知 y+2 与 x 成正比例，且 x=-2 时，y=0 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）画出函数的图象； （3）观察图象，当 x 取何值时，y0？（4）若点（m ，6）在该函数的图象上，求 m的值； 图像与性质二教学重难点函数值大小的增减性三教学过程知识梳理知识点一次函数和正比例函数的概念若两个变量间的关系式可以表示成为常数的形式则称是的一次函数为自变量特别地当时称是的正比例函数例如等都是一次函数都内描出它的对应点所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步列表描点连线知识点一次函数的图象由于一次函数为常数的图象是一直线所以一次函数的图象也称为直线由于两点确定一直线因此在今后作一次函比例函数的图象时只要描出点即可知识点一次函数为常数的性质但也不必一定选取这两个特殊的正负决定直线的倾斜方向时的值随值的增大而增大时的值随值的增大而减小大小决定直线的倾斜程度即越大直线与轴相交的锐角度数越学习必备 欢迎下载 （5）设点 P在 y 轴负半轴上， （2）中的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A，B两点，且 SABP=4，求 P点的坐标 例 12、已知一次函数 y=（3-k）x-2k2+18. （1）k 为何值时，它的图象经过原点？ （2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）? （3）k 为何值时，它的图象平行于直线 y=-x？ （4）k 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ 例 123、判断三点 A（3，1） ，B（0，-2） ，C（4，2）是否在同一条直线上 练习、判断三点 A（3，5） ，B（0，-1） ，C（1，3）是否在同一条直线上. 巩固练习 一次函数测试题 一、相信你一定能填对！ （每小题 3 分，共 30 分） 1下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x2 的是（ ） Ay=2x By=12x Cy=24x Dy=2x2x 2下面哪个点在函数 y=12x+1 的图象上（ ） A （2，1） B （-2，1） C （2，0） D （-2，0） 3下列函数中，y 是 x 的正比例函数的是（ ） Ay=2x-1 By=3x Cy=2x2 Dy=-2x+1 4一次函数 y=-5x+3 的图象经过的象限是（ ） A一、二、三 B二、三、四 C一、二、四 D一、三、四 6若一次函数 y=（3-k）x-k 的图象经过第二、三、四象限，则 k 的取值范围是（ ） Ak3 B0k3 C0k3 D0k” 、“”或“” ） 17已知直线 y=x-3 与 y=2x+2 的交点为（-5，-8） ，则方程组30220xyxy 的解是_ 18已知一次函数 y=-3x+1 的图象经过点（a，1）和点（-2，b） ，则 a=_，b=_ 19如果直线 y=-2x+k 与两坐标轴所围成的三角形面积是 9，则 k 的值为_ 20如图，一次函数 y=kx+b 的图象经过 A、B两点，与 x 轴交于点 C，则此一次函数的解析式为_，AOC的面积为_ 三、认真解答，一定要细心哟！ （共 60 分） 21 （14 分）根据下列条件，确定函数关系式： （1）y 与 x 成正比，且当 x=9 时，y=16； （2）y=kx+b 的图象经过点（3，2）和点（-2，1） 23 （12 分）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零 xy1234-2-1CA-14321O图像与性质二教学重难点函数值大小的增减性三教学过程知识梳理知识点一次函数和正比例函数的概念若两个变量间的关系式可以表示成为常数的形式则称是的一次函数为自变量特别地当时称是的正比例函数例如等都是一次函数都内描出它的对应点所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步列表描点连线知识点一次函数的图象由于一次函数为常数的图象是一直线所以一次函数的图象也称为直线由于两点确定一直线因此在今后作一次函比例函数的图象时只要描出点即可知识点一次函数为常数的性质但也不必一定选取这两个特殊的正负决定直线的倾斜方向时的值随值的增大而增大时的值随值的增大而减小大小决定直线的倾斜程度即越大直线与轴相交的锐角度数越学习必备 欢迎下载 钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题： （1）农民自带的零钱是多少？ （2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？ （3）降价后他按每千克 0.4 元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是 26 元，问他一共带了多少千克土豆？ 24 （10 分）如图所示的折线 ABC表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费 y（元） 与通话时间 t （分钟）之间的函数关系的图象（1）写出 y 与 t 之间的函数关系式 （2）通话 2 分钟应付通话费多少元？通话 7 分钟呢？ 25 （12 分）已知雅美服装厂现有 A种布料 70 米，B种布料 52 米， 现计划用这两种布料生产 M 、N两种型号的时装共 80 套已知做一套 M型号的时装需用 A种布料 1.1米，B种布料 0.4 米，可获利 50 元；做一套 N型号的时装需用 A种布料 0.6 米，B种布料 0.9米，可获利 45 元设生产 M型号的时装套数为 x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为 y 元 求 y（元）与 x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； 当 M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？ 图像与性质二教学重难点函数值大小的增减性三教学过程知识梳理知识点一次函数和正比例函数的概念若两个变量间的关系式可以表示成为常数的形式则称是的一次函数为自变量特别地当时称是的正比例函数例如等都是一次函数都内描出它的对应点所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步列表描点连线知识点一次函数的图象由于一次函数为常数的图象是一直线所以一次函数的图象也称为直线由于两点确定一直线因此在今后作一次函比例函数的图象时只要描出点即可知识点一次函数为常数的性质但也不必一定选取这两个特殊的正负决定直线的倾斜方向时的值随值的增大而增大时的值随值的增大而减小大小决定直线的倾斜程度即越大直线与轴相交的锐角度数越