成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 必修必修1函数应用函数应用第四章第四章本章归纳总结本章归纳总结第四章第四章专专 题题 探探 究究3知知 识识 结结 构构 1知知 识识 梳梳 理理2即即 时时 巩巩 固固4知知 识识 结结 构构知知 识识 梳梳 理理1方程的根与函数的零点对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫作函数yf(x)的零点方程f(x)0有实数解函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点零点性质：如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2二分法对于区间a，b上图像连续不断，且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法3用二分法求零点的近似值的步骤：第1步：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；第2步：求区间(a，b)的中点x1；第3步：计算f(x1)；(1)若f(x1)0，则x1就是函数的零点；(2)若f(a)f(x1)0，则令bx1此时零点x0(a，x1)；(3)若f(x1)f(b)0，则令ax1此时零点x0(x1，b)；(4)若满足精度时，a，b近似值相等，则其值为所求，否则重复(2)(4)4函数应用题，就是指用数学的方法将一个表面上非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学函数问题求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：5解函数应用问题，一般地可按以下四步进行第1步：阅读理解、认真审题就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试找出问题的函数关系审题时要抓住题目中关键的量，要勇于尝试、探索，敢于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化第2步：引进数学符号，建立数学模型一般地设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型第3步：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果第4步：再转译成具体问题作出回答专专 题题 探探 究究1.函数零点的判断由于函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点之间有着内在的本质的联系，所以函数问题可转化为方程问题，方程问题可转化为函数问题解决，根据函数的性质和方程根的存在条件，我们常借助不等式来求解相关的问题，其间，要善于结合函数图像，从中体会数形结合的作用基本题型归纳 点评确定函数的零点所在的大致区间时，可以从形与数两个方面共同考虑先根据函数的图像，得到函数零点所在的大致区间，再验证区间端点处的函数值是否反号，这需要函数的图像要较准确2方程根的区间分布例2求实数m的取值范围，使关于x的方程x22(m1)x2m60.(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根，且都大于1；(3)有两实数根、，且满足014；(4)至少有一个正根分析利用函数零点的性质和根的判别式求解点评解决本题要注意与二次函数图像的结合，可以作出各种情况的草图帮助解题，另外对于(4)的分类，要特别注意一根为正、一根为零的情况用二分法逐步计算，列表如下：点评1.求根式的近似值，实质上就是将根式转化为方程的无理根，利用函数零点的性质，通过二分法求解2二分法思想实质上是一种逼近思想，所求值与近似值间的差异程度取决于精确值4函数建模应用问题例4点P从点O出发，沿周长为l的图形运动一周，设O、P的距离y与点P所走的路程x的函数关系如图所示，则点P所走的图形是()1.函数与方程思想在数学上，解方程是很重要的内容，但是能够将精确解求出来的方程不是很多，五次以上的一般代数方程，一般的超越方程，以及实际生活和物理研究中的方程，我们只能求它的有理近似解而将解方程的问题转化为函数零点的问题，利用函数的整体性质来认识局部性质是求方程近似解的一般方法解方程实际是求函数的零点，这样指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程就可转化为求函数零点的求解问题数学思想方法 2数形结合思想数形结合思想是重要的数学思想方法，它把数学关系的精确刻画与几何图形的直观形象有机地结合起来，充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，从而将问题转化为熟悉的问题来解决数形结合常用于解方程、不等式和求函数值域等问题中3分类讨论思想有些实际问题，在建立函数模型的过程中，可能会涉及多种说不清楚的情况，此时，应运用分类讨论的思想，对它进行分类讨论，从而顺利地建模分类标准应视具体情况而定，但要遵循“不重不漏”的原则例7我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的某市用水收费的方法是：水费基本费超额费损耗费若每月用水量不超过最低限量am3，只付基本费8元和每户每月定额损耗费c元；若用水量超过am3时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分按b元/m3支付超额费已知每户每月的定额损耗费不超过5元该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示，根据表中的数据求a，b，c.月份用水量/m3水费/元1月份992月份15193月份2233分析易知2月份，3月份的用水量已超过了最低限量am3，但1月份的用水量是否已超过最低限量，需要进行分类讨论即即 时时 巩巩 固固一、选择题1若函数f(x)是偶函数，定义域为xR|x0且f(x)在(0，)上是减函数，f(2)0，则函数f(x)的零点有()A唯一一个B两个C至少两个D无法判断答案B解析由已知条件得f(2)f(2)0，画出函数f(x)的大致图像如下图所示，可知f(x)有两个零点3某种细菌在培养过程中，每30分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成1024个需经过()A5小时B6小时C7小时D8小时答案A解析因为细菌每30分钟分裂一次，一小时分裂两次，所以细菌个数y与分裂时间t小时的函数关系式为y22t，把y1024代入得102422t,102422522t，所以t5(小时)，故选A.5若方程2ax2x10在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是()Aa1C1a1D0a0)有两个零点，若f(m)0，则在(m，m1)上函数零点的个数是_答案17现有含盐7%的食盐水200g，要将它制成工业生产上需要的含盐在5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需加入4%的食盐水xg，则x的取值范围是_答案(100,400)答案A、B、E或B、D、E、F解析当投资为13亿元时，有以下两种投资选择方案：f(A，B，E)0.550.40.91.85(投资13亿元)；f(B，D，E，F)0.40.50.90.11.9(投资13亿元)三、解答题9某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%.(1)写出水中杂质含量y与过滤的次数x之间的函数关系式(2)要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？(lg20.3010)分析(1)利用归纳猜想的方法得函数关系式；(2)利用(1)的结论转化为解不等式