第第6节空间向量及其运算节空间向量及其运算基 础 梳 理 1空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做_，x轴、y轴、z轴叫做_，通过每两个坐标轴的平面叫做_坐标原点坐标轴坐标平面(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向_的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系(3)空间一点M的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的_，y叫做点M的_，z叫做点M的_z轴横坐标纵坐标竖坐标2空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|_.点P(x，y，z)与坐标原点O之间的距离为|OP|_.3空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有_的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_单位向量长度(或模)为_的向量零向量长度(或模)为_的向量相等向量方向_且模_的向量相反向量方向_且模_的向量共线向量(或平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线_ _，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b记作ab共面向量平行于同一个_的向量叫做共面向量大小和方向长度或模10相同相等相反相等互相平行或重合平面4.空间向量的有关定理及推论不共线 不共面 基向量 基底 AOB ab 0， 两向量的数量积：已知两个非零向量a、b，则_叫做向量a、b的数量积，记作ab，即_|a|b|cosa，bab|a|b|cosa，b(2)两个向量数量积的性质和结论已知两个非零向量a和b.ae|a|cosa，e(其中e为单位向量)ab_.cosa，b_.a2aa_，|a|_.|ab|_|a|b|.ab0|a|2(3)空间向量数量积的运算律数乘结合律：(a)b_交换律：ab _.分配律：a(bc) _.(ab)baabac(x，y，z) (5)空间向量运算的坐标表示设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，那么加、减运算：ab_ 数量积：ab_.夹角公式：cosa，b_.(x1x2，y1y2，z1z2)x1x2y1y2z1z2数乘运算：a_ (R)平行的充要条件：abx1x2，y1y2，z1z2(R)垂直的充要条件：a b_.(x1，y1，z1)x1x2y1y2z1z20解析：关于z轴对称，横、纵坐标变为原来的相反数，竖坐标不变故选C.答案：C3. (2014福建晋江期末)在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在直线平行；若三个向量a，b，c两两共面，则a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确的命题个数是()A0 B1C2 D3解析：命题中的两直线可能重合，命题不正确；命题中只要三个向量的起点相同，就有两两共面，但这时三个向量不一定共面，命题不正确；命题中必须向量a，b，c不共面，命题不正确故选A.答案：A4已知向量a(4，1,3)，b(2,4，3)，则(ab)(ab)_.解析：因为ab(6,3,0)，ab(2，5,6)，所以(ab)(ab)(6,3,0)(2，5,6)121503.答案：3考 点 突 破 例1如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD.设 点 E、 F、 G、 H分 别 为 PAB、 PBC、 PCD、PDA的重心共线向量定理、共面向量定理的应用 (1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面；(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断 (1)证明空间任意三点共线的方法对空间三点P、A、B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：思维导引(1)利用向量的夹角公式和数量积运算法则即得；(2)两向量垂直的充要条件是其数量积等于零，得出关于k的方程解之 空间向量的数量积与坐标运算 (1)求空间向量数量积的方法定义法设向量a、b的夹角为，则ab|a|b|cos ；坐标法设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2.两向量平行与两向量同向混淆致误典例已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a、b同向，则x、y的值分别为_分析：根据两向量平行的充要条件得出x，y之值后，得出两个向量的坐标，验证其方向是否相同易错提醒：(1)如果认为“同向”就是“平行”，那么将得出两组解导致错误；(2)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件