32.2用向量方法求空用向量方法求空间中的角中的角学学习习目目标标1.理解直理解直线与平面所成角的概念与平面所成角的概念2能能够利利用用向向量量方方法法解解决决线线、线面面、面面面面的的夹角角问题 课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练用用向向量量方方法法求求空空间中中的的角角课前自主学案课前自主学案课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基1两条异面直两条异面直线所成的角的范所成的角的范围是是_2直直线与平面所成的角是指与平面所成的角是指这条直条直线与它在与它在这个个平面内的平面内的_所成的角，其范所成的角，其范围是是_3二二面面角角的的大大小小就就是是指指二二面面角角的的平平面面角角的的大大小小，其范其范围是是_4已已知知直直线l1的的一一个个方方向向向向量量为a(1，2,1)，直直线l2的的一一个个方方向向向向量量为b(2，2,0)，则两两直直线所所成的角成的角为_.射影射影0，30知新益能知新益能1异面直异面直线所成角的求法所成角的求法设两异面直两异面直线所成角所成角为，它，它们的方向向量分的方向向量分别为a、b，则cos_.2直直线与平面所成角的求法与平面所成角的求法设直直线l与与平平面面所所成成角角为，直直线l的的方方向向向向量量为a，平面，平面的法向量的法向量为n.则sin|cosn，a|_.1异异面面直直线所所成成的的角角是是否否等等于于它它们的的方方向向向向量量所成的角？所成的角？提提示示：不不一一定定若若方方向向向向量量所所成成角角小小于于等等于于90,则相相等等；若若方方向向向向量量所所成成角角大大于于90，则不不相相等等2直直线与与平平面面所所成成角角与与直直线的的方方向向向向量量和和平平面面法向量所成角互余法向量所成角互余吗？提示：提示：不一定不一定问题探究探究课堂互动讲练课堂互动讲练求异面直线的夹角求异面直线的夹角考点一考点一考点一考点一考点突破考点突破两两条条异异面面直直线所所成成角角可可以以通通过这两两条条直直线的的方方向向向向量量的的夹角角来来求求得得，但但二二者者不不完完全全相相等等当当两两方方向向向向量量夹角角为钝角角时，应取取其其补角角作作为两两异异面面直直线所所成成的角的角 四四棱棱锥PABCD中中，PD平平面面ABCD，PA与与平平面面ABCD所所成成的的角角为60.在在四四边形形ABCD中中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐建立适当的坐标系，并写出点系，并写出点B、P的坐的坐标；(2)求异面直求异面直线PA与与BC所成的角的余弦所成的角的余弦值例例例例1 1求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角考点二考点二考点二考点二例例例例2 2【思思路路点点拨】利利用用正正三三棱棱柱柱的的性性质，建建立立适适当当的的空空间直直角角坐坐标系系，写写出出有有关关点点的的坐坐标求求角角时有有两两种种思思路路：一一是是由由定定义找找出出线面面角角，取取A1B1的的中中点点 M， 连 结 C1M， 证 明明 C1AM是是 AC1与与 平平 面面A1ABB1所所成成的的角角；另另一一种种是是利利用用平平面面A1ABB1的的法法向量向量n(，x，y)求解求解利用向量法求二面角的步利用向量法求二面角的步骤：(1)建立适当的空建立适当的空间直角坐直角坐标系；系；(2)分分别求求出出二二面面角角的的两两个个半半平平面面所所在在平平面面的的法法向向量；量；(3)求出两个法向量的求出两个法向量的夹角；角；(4)判断出所求二面角的平面角是判断出所求二面角的平面角是锐角角还是是钝角；角；(5)确定出二面角的平面角的大小确定出二面角的平面角的大小求平面与平面所成的角求平面与平面所成的角考点三考点三考点三考点三例例例例3 3 (2010年年 高高 考考 天天 津津 卷卷 )如如 图 ， 在在 长 方方 体体ABCDA1B1C1D1中中，E，F分分别是是棱棱BC，CC1上上的的点，点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直求异面直线EF与与A1D所成角的余弦所成角的余弦值；(2)证明明AF平面平面A1ED；(3)求二面角求二面角A1EDF的正弦的正弦值【思思路路点点拨】解解答答本本题首首先先建建立立空空间坐坐标系系，写出一些点的坐写出一些点的坐标，再利用向量法求解，再利用向量法求解【名名师点点评】方法感悟方法感悟1利利用用空空间向向量量求求线线角角、线面面角角的的关关键是是转化化为直直线的的方方向向向向量量之之间、直直线的的方方向向向向量量与与平平面面的的法法向向量量之之间的的角角，通通过数数量量积求求出出，通通常常方方法法分分为两两种种：坐坐标方方法法、基基向向量量方方法法，解解题时要要灵灵活活掌掌握握2利利用用向向量量方方法法求求二二面面角角的的方方法法分分为二二类：一一类是是找找到到或或作作出出二二面面角角的的平平面面角角，然然后后利利用用向向量量去去计算算其其大大小小；另另一一类是是利利用用二二面面角角的的两两个个平平面面的的法法向向量量所所成成的的角角与与二二面面角角的的平平面面角角的的关关系系去去求求后后一一类需需要要依依据据图形形特特点点建建立立适适当当的的空空间直直角角坐坐标系系