2.1.2 2.1.2 有理数与无理数有理数与无理数奇与偶，有界与无界，善与恶，左与右，奇与偶，有界与无界，善与恶，左与右，一与众，一与众，.雄与雌，直与曲，正方与长方，雄与雌，直与曲，正方与长方，亮与暗，动与静亮与暗，动与静.上面所写的这些对立概念被两千多年前的上面所写的这些对立概念被两千多年前的著名的著名的“毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派”认为是整个宇宙认为是整个宇宙的的10个对立概念个对立概念.因此两千多年以前人们就认识到，世界是因此两千多年以前人们就认识到，世界是由许多相互矛盾的事物组成的由许多相互矛盾的事物组成的.你要认识这你要认识这个世界，改造这个世界，就要从这些矛盾个世界，改造这个世界，就要从这些矛盾的事物入手的事物入手.既然这是万物的普遍规律，那既然这是万物的普遍规律，那么数学也要遵守么数学也要遵守. 在学习了负数的概念之后，我们可以在学习了负数的概念之后，我们可以将所有学过的数进行分类：将所有学过的数进行分类：整数和分数统称为整数和分数统称为有理数有理数。整数整数分数分数你能把下面的数分分类吗？你能把下面的数分分类吗？-5.6-5.6，-3-3，2.52.5， ，0 0，-3.14-3.14，5%5%，0.6180.618， ， ，1010大家有没有观察到：刚才老师把小数也分进大家有没有观察到：刚才老师把小数也分进分数里去了。那上面的那些小数能不能说它分数里去了。那上面的那些小数能不能说它们是分数？为什么？那它们是不是有理数？们是分数？为什么？那它们是不是有理数？说明：我们把说明：我们把有限小数有限小数和和无限循环小数无限循环小数统称为统称为分数分数是不是所有的小数都是分数？都是有理数？你能举是不是所有的小数都是分数？都是有理数？你能举个例子吗？个例子吗？注意:现在我们学的数中,除了含的数,都是有理数.小数属于分数.正数正数负数负数零：零： 0正有理数正有理数负有理数负有理数零：零： 0 能否将有理数按照是否正有理数或是能否将有理数按照是否正有理数或是否负有理数来分类？否负有理数来分类？思考：思考：还有没有别的分类方法还有没有别的分类方法？ 我们说：自然数的全体组成自然数集我们说：自然数的全体组成自然数集. 同样的，整数的全体组成整数集。同样的，整数的全体组成整数集。 本校初一学生组成一个集合。本校初一学生组成一个集合。 含有无限个元素的集合我们称为无限集，含有无限个元素的集合我们称为无限集，例如：自然数集，整数集；含有有限个元素例如：自然数集，整数集；含有有限个元素的集合叫有限集，例如：本校全体初一学生的集合叫有限集，例如：本校全体初一学生组成的集合等等。组成的集合等等。 我们把具有某一特征的一类事物的全我们把具有某一特征的一类事物的全体叫集合体叫集合.我们把一些数放在一起，就组成一个数的集合，我们把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。简称数集。所有有理数的集合，称为有理数集。所有有理数的集合，称为有理数集。所有整数的集合，称为所有整数的集合，称为所有分数的集合，称为所有分数的集合，称为 所有正数的集合，称为所有正数的集合，称为所有负数的集合，称为所有负数的集合，称为所有正整数的集合，称为所有正整数的集合，称为那非负数集是什么数的集合？那非负数集是什么数的集合？非正数集呢？非正数集呢？非整数集？非整数集？非分数集？非分数集？非正整非正整数集？数集？非负整数集？非负整数集？非正分数集？非正分数集？非负分数非负分数集？集？练习练习3.3.把下列各数填入相应的集合中把下列各数填入相应的集合中 -2 , 0 , , -0.25, 5.3,-2 , 0 , , -0.25, 5.3,整数集合整数集合 分数集合分数集合 正数集合正数集合 负数集合负数集合 非正数集合非正数集合 非负数集合非负数集合 2.2.把下列数填在相应的集合里。把下列数填在相应的集合里。整数集合整数集合偶数集合偶数集合有理数集合有理数集合非负数数集合非负数数集合3.3.下面两个圈中分别表示正数集合和整数集合，下面两个圈中分别表示正数集合和整数集合，请在每个圈中填请在每个圈中填6 6个数，其中个数，其中3 3个数既是正数又是个数既是正数又是整数，这整数，这3 3个数应填在哪？你能说出着两个圈的个数应填在哪？你能说出着两个圈的重叠部分表示什么数的集合吗？重叠部分表示什么数的集合吗？正数集正数集整数集整数集我们把能够写成分数形式我们把能够写成分数形式（m、n是整数且是整数且的数叫的数叫 有理数有理数vv把下列各数表示成小数，你发现了什么？把下列各数表示成小数，你发现了什么？vv 3 ， 4/5， 5/9， -8/45， 2/11vv4/5=vv5/9=vv-8/45=vv2/11=0.5555555555555550.80.5555555555555550.8有限小数有限小数 无限循环小数无限循环小数 无限循环小数无限循环小数 无限循环小数无限循环小数 有限小数、无限循环小数都可以化成分数，因此它有限小数、无限循环小数都可以化成分数，因此它们都是们都是有理数有理数 v面积为面积为2 2的正方形，边长的正方形，边长a a究竟是多少？究竟是多少？v即即a a2 2=2=2时，时，a a是多少？是多少？vv3个正方形的边长之间有怎样的大小关系个正方形的边长之间有怎样的大小关系?vv边长边长a的整数部分是几的整数部分是几? 十分位是几十分位是几?百分百分位呢位呢?千分位呢千分位呢?.借助计算器进行探借助计算器进行探索索小明根据他的探索过程整理出如下的表格小明根据他的探索过程整理出如下的表格讨论vv还可以继续计算下去么还可以继续计算下去么?vva可能是有限小数么可能是有限小数么?结论结论:a=1.41421356,它是一个无限不循环小数它是一个无限不循环小数vv估计面积为估计面积为5的正方形的边长的正方形的边长b的值的值,（结果精（结果精确到十分位）确到十分位）,并用计算器验证你的估计并用计算器验证你的估计.vv探索探索:b=? 精确到百分位精确到百分位vv结论：结论：vvb=2.2360679它也是一个无限不循环小数它也是一个无限不循环小数同样，对于体积为同样，对于体积为2的立方体，借助计算器，求的立方体，借助计算器，求它的棱长它的棱长vv结论：结论：vvC=1.25992105它也是一个无限不循环小数它也是一个无限不循环小数定义定义v有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。v反之反之,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。v无限不循环小数叫做无限不循环小数叫做无理数无理数更多无理数更多无理数va=1.41421356vb=2.2360679v=3.14159265v0.58588588858888（相邻两个（相邻两个5之间之间8的个的个数逐次加数逐次加1）例例1 下列各数中下列各数中,哪些是有理数哪些是有理数?哪些是无理哪些是无理数数?3.14 , -4/3, 0.57, 0.101000100 0001(相邻相邻两个两个1之间之间0的个数逐次加的个数逐次加2）解：有理数有：解：有理数有： 3.14 , -4/3, 0.57 无理数有：无理数有： 0.101000100 0001随堂练习v哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是有理数？哪些是无理数？3.141593.14159-5.232323-5.232323由相继的正整数组成由相继的正整数组成) )v判断对错v(1)有限小数是有理数有限小数是有理数; （ ）v(2)无限小数都是无理数无限小数都是无理数; （ ）v(3)无理数都是无限小数无理数都是无限小数; （ ）v(4)有理数是有限小数有理数是有限小数. （ ） 练习练习5.5.现测量现测量6 6位初一学生的体重位初一学生的体重, ,测得测得的数据如下的数据如下: 40kg , 38kg , 37kg , : 40kg , 38kg , 37kg , 46kg , 39kg , 34kg. 46kg , 39kg , 34kg. (1) (1)求求6 6位同学的平均体重位同学的平均体重. . (2) (2)以平均值为基准以平均值为基准, ,用正负数表示每位用正负数表示每位 学生体重与平均值的差学生体重与平均值的差. .小结：小结：1）体会负数引入的必要性和有理数应）体会负数引入的必要性和有理数应 用的广泛性。用的广泛性。2）会判断一个数的正负性，能应用正）会判断一个数的正负性，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量。负数表示生活中具有相反意义的量。