14.3 有限区间上定义的函数有限区间上定义的函数 的付里埃级数展开的付里埃级数展开问题问题研究有限区间定义的非周期函数是否可以研究有限区间定义的非周期函数是否可以展开为付里埃级数展开为付里埃级数 ?研究的方法研究的方法通过延拓的方法通过延拓的方法 , 将非周期函数延拓成将非周期函数延拓成周期函数周期函数 , 利用上节的结果利用上节的结果1 定义区间长为定义区间长为 2 的情形的情形(1) f (x) 在在 ( , 上有定义上有定义 , 且可且可积积 引进辅助函数引进辅助函数 用周期延拓法延拓到用周期延拓法延拓到 R 上上函数函数 f*(x) 称为称为 f (x) 的以的以 2 为周期的为周期的周期延拓周期延拓 由于由于 f*(x) 是是 R 上的以上的以 2 为周期的周期函数为周期的周期函数 利用上节的结果得利用上节的结果得 f*(x) 的付里埃级数展开式的付里埃级数展开式(1)注意到在注意到在 ( , 上上可根据可根据 f (x) 在在 ( , 上的情况上的情况 , 利用收敛性利用收敛性定理定理 ( 狄利克雷定理狄利克雷定理 ) 确定确定 (1) 式等式成立的范围式等式成立的范围 ,从而得到从而得到 f (x) 在在 ( , 上的付里埃级数展开式上的付里埃级数展开式(2) (2) f (x) 在在 ( a , a + 2 上有定义上有定义 , 且且可积可积 得其周期延拓函数得其周期延拓函数 f*(x) 可类似地将可类似地将 f (x) 以以 2 为周期延拓到为周期延拓到 R 上上得到得到 f (x) 的付里埃级数展开的付里埃级数展开式式 注意到在注意到在 ( a , a +2 上上可根据可根据 f (x) 在在 ( a , a +2 上的情况上的情况 , 利用收敛性利用收敛性定理定理 ( 狄利克雷定理狄利克雷定理 ) 确定确定 (3) 式等式成立的范围式等式成立的范围 ,从而得到从而得到 f (x) 在在( a , a +2 上的付里埃级数展开式上的付里埃级数展开式(3)(4) 至此至此 , 我们解决了定义区间长为我们解决了定义区间长为 2 的函数的函数f (x) 的付里埃级数展开式问题的付里埃级数展开式问题 例例将函数将函数 在区间在区间 ( , ) 上展上展成成 付里埃级数付里埃级数 , 并作出和函数并作出和函数 S(x) 的图形的图形解解由于由于 f (x) 在在 ( , ) 上连续上连续 , 且分段单调且分段单调 , 故有故有 例例将函数将函数在区间在区间 0 , 2 上展成付里埃级数上展成付里埃级数 , 并作出并作出和函数和函数 S(x) 的图形的图形解解由于由于 f (x) 在在 ( 0 , 2 ) 上连续上连续 , 且分段单调且分段单调 , 故有故有 2 定义区间长为定义区间长为 的情形的情形研究的方法研究的方法将在定义域区间长为将在定义域区间长为 的函数的函数 f (x) 延拓延拓为定义域区间长为为定义域区间长为 2 的函数的函数 周期延拓周期延拓R 上的周期函数上的周期函数 利用上面的结果获得利用上面的结果获得 的展开式的展开式 根据定义区间上根据定义区间上 获得获得 f (x) 的的付里埃展开式付里埃展开式设设 f (x) 在在 0 , 上定义上定义 将将 f (x) 延拓到延拓到 ( , 0 )( 方法无限多方法无限多 )奇延拓奇延拓简单而常用的方法是将简单而常用的方法是将 f (x) 奇奇(偶偶) 延拓到延拓到 ( , 0 )将将 f (x) 奇延拓到奇延拓到 ( , 0 ) , 利用上段的利用上段的结果得结果得获得获得 f (x) 的展开式的展开式 ( 展为正弦级数展为正弦级数 )偶延拓偶延拓将将 f (x) 偶延拓到偶延拓到 ( , 0 ) , 利用上段的利用上段的结果得结果得获得获得 f (x) 的展开式的展开式 ( 展为余弦级数展为余弦级数 )例例将函数将函数 f (x)= x2 展开为付里埃级数展开为付里埃级数(1) 按余弦展开按余弦展开 (2) 按正弦展开按正弦展开 (3) 在在 ( 0 , 2 ) 内展开内展开作出以上三种和函数的图形作出以上三种和函数的图形 , 并利用这些展开式并利用这些展开式求级数求级数 的和的和 解解(1) 此时认为此时认为 只在只在 0 , 上定义上定义 并将并将 f (x) 偶延拓到偶延拓到 ( , 0 ) , 则则 由由 在在 0 , 上连续上连续 , 单调单调(6)并将并将 f (x) 奇延拓到奇延拓到 ( , 0 ) , 则则 (2) 此时认为此时认为 只在只在 0 , 上定义上定义 由由 在在 0 , 上连续上连续 , 单调单调并将并将 f (x) 周期延拓到周期延拓到 R , 则则 (3) 此时认为此时认为 只在只在 0 , 2 上定义上定义 由由 在在 0 , 2 上连续上连续 , 单调单调在在 (6) 式中令式中令 x = , 则有则有 在在 (6) 式中令式中令 x = 0 , 则有则有 3 定义区间为一般区间定义区间为一般区间的情形的情形(1) f (x) 在区间在区间 ( a , a + 2l ) 的情形的情形 研究的方法研究的方法将函数将函数 f (x) 以以 2l 为周期为周期 周期延拓周期延拓得得 R 上的上的 2l 为周期的周期函数为周期的周期函数 利用上面的结果获得利用上面的结果获得 的展开式的展开式 根据定义区间上根据定义区间上 获得获得 f (x) 的的付里埃展开式付里埃展开式f (x) 的展开式的展开式 (2) f (x) 在区间在区间 ( 0 , l ) 的情形的情形 研究的方法研究的方法将将 f (x) 延拓到延拓到 ( l , 0 )( 方法无限多方法无限多 )周期延拓周期延拓得得 R 上的上的 2l 为周期的周期函数为周期的周期函数 将函数将函数 以以 2l 为周期为周期 利用上面的结果获得利用上面的结果获得 的展开式的展开式 根据定义区间上根据定义区间上 获得获得 f (x) 的的付里埃展开式付里埃展开式奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓例例将函数将函数在区间在区间 ( 1 , 1 上展成付里埃级数上展成付里埃级数 , 并作出并作出和函数和函数 S(x) 的图形的图形解解此时此时 l = 1由于由于 f (x) 在在 ( 1 , 0) , (0 , 1) 上连续上连续 , 单调单调例例将函数将函数 f (x) = x + 1 ( 0 x 2 ) 展成正弦展成正弦级数级数 , 并作出和函数并作出和函数 S(x) 的图形的图形解解 将将 f (x) 奇延拓到奇延拓到 ( 2 , 0 ) 由于由于 f (x) 在在 (0 , 2) 上连续上连续 , 单调单调