数字逻辑电路数字逻辑电路孙敦艳孙敦艳南京理工大学紫金学院南京理工大学紫金学院办公室：图书馆办公室：图书馆301301 本课程为本课程为数字逻辑数字逻辑电路电路，以，以数字电路数字电路为主，为主，脉脉冲电路冲电路的内容较少的内容较少. .课程为课程为4.54.5个学分，个学分，包括包括实验实验(1(1学分学分) ). .属专业属专业基础课基础课. .考核方式是闭卷考核方式是闭卷. .最终成绩有以下几部分组成：最终成绩有以下几部分组成：平时成绩：平时成绩：15%15%实验成绩：实验成绩：15%15%考试成绩：考试成绩：70%70%有下列情况之一者，有下列情况之一者，取消考试取消考试资格资格: :1)1)点名和缺交作业共点名和缺交作业共5 5次次；2)2)实验缺席实验缺席1 1次次；学习要点：学习要点：1.1.有兴趣学，自己想学；有兴趣学，自己想学；2.2.善于思考，多问善于思考，多问“为什么为什么”3.3.多做练习和思考题多做练习和思考题4.4.注意实验环节，提高动手能力注意实验环节，提高动手能力课内参考教材课内参考教材：1.1.蒋立平蒋立平 主编：主编：数字逻辑电路与系统设计数字逻辑电路与系统设计， 电子工业出版社电子工业出版社. .2.2.阎阎 石石 主编：主编：数字电子技术基础数字电子技术基础（第四版），（第四版）， 高等教育出版社高等教育出版社.(.(面向二十一世纪教材）面向二十一世纪教材）课外参考教材：课外参考教材：1. Digital Logic Circuit Analysis and Design1. Digital Logic Circuit Analysis and Design Victor P.Nelson Victor P.Nelson 等著等著 清华大学出版社清华大学出版社 （英文影印版）（英文影印版）2. Digital Fundamentals (Seventh Edition)2. Digital Fundamentals (Seventh Edition) Thomas L.Floyd Thomas L.Floyd 著著 科学出版社科学出版社 （英文影印版）（英文影印版）集集成成电电路路电子器件的发展电子器件的发展电电子子管管晶晶体体管管分分立立元元件件（SSI（100元件以下元件以下）MSI（103）LSI（105）超大规模超大规模VLSI（105以上）以上）课课 程程 简简 介介1906年，福雷斯特等发明了电子管；电子管体年，福雷斯特等发明了电子管；电子管体积大、重量重、耗电大、寿命短。世界上第一积大、重量重、耗电大、寿命短。世界上第一台计算机用了台计算机用了1.8万只电子管，占地万只电子管，占地170平方米，平方米，重重30吨，耗电吨，耗电150KW。目前在一些大功率发射。目前在一些大功率发射装置中使用。装置中使用。1948年，肖克利等发明了晶体管，其年，肖克利等发明了晶体管，其性能在体积、重量方面明显优于电子性能在体积、重量方面明显优于电子管，但器件较多时由分立元件组成的管，但器件较多时由分立元件组成的分立电路体积大、焊点多、电路的可分立电路体积大、焊点多、电路的可靠性差。靠性差。1960年集成电路出现，成年集成电路出现，成千上万个器件集成在一块千上万个器件集成在一块芯片，大大促进了电子学芯片，大大促进了电子学的发展，尤其促进数字电的发展，尤其促进数字电路和微型计算机的飞速发路和微型计算机的飞速发展。展。芯片中集成上万个芯片中集成上万个等效门，目前高的等效门，目前高的已达上百万门。已达上百万门。课课 程程 内内 容容逻辑门电路逻辑门电路组合逻辑电路组合逻辑电路常用组合逻辑功能器件常用组合逻辑功能器件常用时序逻辑功能器件常用时序逻辑功能器件半导体存储器和可编程逻辑器件半导体存储器和可编程逻辑器件脉冲信号的产生与整形脉冲信号的产生与整形数字逻辑基础数字逻辑基础第第1章章第第2章章第第3章章第第4章章第第6章章第第7章章第第8章章时序逻辑电路时序逻辑电路第第5章章数模和模数转换数模和模数转换第第9章章一、一、模拟量模拟量和和数字量数字量模拟量：模拟量就是模拟量：模拟量就是连续变化连续变化的量。自然界中可的量。自然界中可 测试的物理量一般都是模拟量测试的物理量一般都是模拟量, ,例如温例如温 度，压力，距离，时间等。度，压力，距离，时间等。 数字量：数字量是数字量：数字量是离散离散的量。数字量一般是将模的量。数字量一般是将模 拟量经过拟量经过抽样抽样、量化量化和和编码编码后而得到的。后而得到的。 绪绪 论论量化曲线量化曲线3030292928282727262625252424232322222121202019191818( (o oc c) )二、模拟和数字系统的几个实例二、模拟和数字系统的几个实例1 1） 音频有线扩音系统音频有线扩音系统音频有线扩音系统为纯模拟系统。音频有线扩音系统为纯模拟系统。音频有线扩音系统音频有线扩音系统Audio public address system2 2）CD CD 播放机播放机 CD CD 播放机为数模混合系统播放机为数模混合系统CD机原理图（单声道）机原理图（单声道）Basic principle of a CD player3 3）数字钟）数字钟带带数字显示数字显示的数字钟是一个纯数字系统。的数字钟是一个纯数字系统。下面讨论一个带下面讨论一个带数字显示数字显示的三位计时系统。的三位计时系统。计计时时电电路路秒秒个位个位秒秒十位十位分个位分个位三位三位计时器示意图计时器示意图定定时时激激励励信信号号产产生生电电路路秒秒脉冲脉冲1s脉脉冲冲个个数数记记录录电电路路分个分个位二位二进制进制码码秒十秒十位二位二进制进制码码秒个秒个位二位二进制进制码码码码转转换换电电路路（译译码码器器）分个分个位显位显示码示码秒十秒十位显位显示码示码秒个秒个位显位显示码示码abcdfegabcdfegabcdfeg2) 2) 电路中器件工作于电路中器件工作于“开开”和和“关关”两种状态两种状态, ,研究研究电路电路 的输出和输入的输出和输入的的逻辑关系逻辑关系; ; 3) 3) 数字电路既能进行数字电路既能进行“代数代数”运算运算, ,也能进行也能进行“逻辑逻辑”运运算算; ;4) 4) 数字电路工作可靠数字电路工作可靠, , 抗干扰性抗干扰性能能好好. .三、数字电路特点三、数字电路特点: :1)1)工作信号是二进制表示的二值信号工作信号是二进制表示的二值信号( (只有只有“0 0”和和“1 1”两种取值两种取值););5) 5) 数字信号便于存储，传输，保密性好数字信号便于存储，传输，保密性好. .第第1 1章章 数字逻辑电路基础数字逻辑电路基础1.1 1.1 数制与数制与数制转换数制转换 所谓所谓“数制数制”，指进位计数制，即用进位的方法来计，指进位计数制，即用进位的方法来计数数. .数制包括数制包括计数符号（数码）计数符号（数码）和和进位规则进位规则两个方面。两个方面。常用数制有十进制、十二进制、十六进制、六十进常用数制有十进制、十二进制、十六进制、六十进制等。制等。1.1.1 1.1.1 常用数制常用数制 1. 1. 十进制十进制(1) (1) 计数符号计数符号: : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.(2)(2)进位规则进位规则: : 逢十进一逢十进一. .例例: : 1983.62=1103 +9102 + 8101 + 3100 +610-1 +210-2(3) (3) 十进制数按权展开式十进制数按权展开式权权 系数系数2. 2. 二进制二进制(1) (1) 计数符号计数符号: 0, 1 .: 0, 1 .(2)(2)进位规则进位规则: : 逢二进一逢二进一. .(3) (3) 二进制数按权展开式二进制数按权展开式1 1）数字装置）数字装置简单可靠简单可靠；2 2）二进制数运算）二进制数运算规则规则简单简单； 3 3）数字电路既可以进行）数字电路既可以进行算术运算算术运算，也可以进行，也可以进行逻辑运算逻辑运算. .3.3.十六进制和八进制十六进制和八进制十六进制数计数符号十六进制数计数符号: 0,1, .,9,: 0,1, .,9,A,B,C,D,E,F. .十六进制数进位规则十六进制数进位规则: : 逢十六进一逢十六进一. .按权按权展开式：展开式：数字电路中采用二进制的原因：数字电路中采用二进制的原因：例例: :八进制数计数符号八进制数计数符号: 0,1, . . .6,7.: 0,1, . . .6,7.八进制数进位规则八进制数进位规则: : 逢八进一逢八进一. .按权展开式：按权展开式：4. 4. 二进制数与十进制数之间的转换二进制数与十进制数之间的转换(1)(1)二进制数转换为十进制数二进制数转换为十进制数( (按权展开法按权展开法) )例：例：=(11.625)=(11.625)1010例例: :例：例： 数制转换还可以采用数制转换还可以采用基数连乘、连除基数连乘、连除等方法等方法. .（2 2）十进制数转换为二进制数）十进制数转换为二进制数( (提取提取2 2的幂法的幂法) )1.21.2 几种简单的编码几种简单的编码 用四位二进制代码来表示一位十进制数码用四位二进制代码来表示一位十进制数码, ,这样的代这样的代码称为二码称为二- -十进制码十进制码, ,或或BCDBCD码码. . 四位四位二进制有二进制有1616种不同的组合种不同的组合, ,可以在这可以在这1616种代码中种代码中任选任选1010种表示十进制数的种表示十进制数的1010个不同符号个不同符号, ,选择方法很多选择方法很多. .选选择方法不同择方法不同, ,就能得到不同的编码形式就能得到不同的编码形式. .1.1.二二 - - 十进制码十进制码 ( (BCDBCD码码) )( Binary Coded Decimal codes) 常见的常见的BCD码有码有84218421码、码、54215421码、码、24212421码、余码、余3 3码等。码等。十进制数十进制数8421码码5421码码2421码码余余3码码00000000000000011100010001000101002001000100010010130011001100110110401000100010001115010110001011100060110100111001001701111010110110108100010111110101191001110011111100常用常用BCDBCD码码 (1) (1) 有权有权BCD码码：每位数码都有确定的位权的码，：每位数码都有确定的位权的码， 例如：例如：84218421码、码、54215421码、码、24212421码码. . 如如: 5421: 5421码码10111011代表代表5+0+2+1=8;5+0+2+1=8; 2421 2421码码11001100代表代表2+4+0+0=6.2+4+0+0=6. * * 54215421BCD码和码和24212421BCD码不唯一码不唯一. . 例例: 2421: 2421BCD码码01100110也可表示也可表示6 6 * * 在表中：在表中： 84218421BCD码和代表码和代表09的二进制数一一对应；的二进制数一一对应； 54215421BCD码码的前的前5 5个码和个码和84218421BCD码码相同，后相同，后5 5个码在前个码在前5 5个码的基础上加个码的基础上加10001000构成，这样的码，前构成，这样的码，前5 5个码和后个码和后5 5 个码一一对应相同，仅高位不同；个码一一对应相同，仅高位不同； 24212421BCD码码的前的前5 5个码和个码和84218421BCD码码相同，后相同，后5 5个码以个码以中中心对称取反心对称取反, ,这样的码称为这样的码称为自反代码自反代码. .例：例：40100 5101100000 91111(2) (2) 无权无权BCD码码：每位数码无确定的位权，例如：余：每位数码无确定的位权，例如：余3 3码码. . 余余3 3码的编码规律为码的编码规律为: : 在在84218421BCD码上加码上加0011,0011,例例 6 6的余的余3 3码为码为: : 0110+0110+00110011= =10011001余余3 3码也是自反代码码也是自反代码 2. 2. 格雷码格雷码( (Gray码码) ) 格雷码为无权码格雷码为无权码, ,特点为：相邻两个代码之间仅有一特点为：相邻两个代码之间仅有一位不同位不同, ,其余各位均相同其余各位均相同. .具有这种特点的代码称为具有这种特点的代码称为循环码循环码, ,格雷码是格雷码是循环码循环码. . 格雷码和四位二进制码之间的关系格雷码和四位二进制码之间的关系: :设四位二进制码为设四位二进制码为B3B2B1B0, ,格雷码为格雷码为R3R2R1R0, ,则则R3=B3,R2=B3B2R1=B2 B1R0=B1 B0其中其中, , 为为异或异或运算符运算符, ,其运算其运算规则为规则为: :若两运算数若两运算数相相同同, ,结果结果为为“0 0”; ;两运算数两运算数不同不同, ,结果为结果为“1 1”. .对于对于n位：位：Rn=Bn Ri=Bi+1 Bi同时有同时有: :B3=R3,B2=B3R2B1=B2 R1B0=B1 R0转换练习转换练习例例: : 用用8421BCD8421BCD码表示十进制数码表示十进制数(73.5)(73.5)1010十进制数十进制数7 3 . 57 3 . 58421BCD8421BCD码码0111 0011 . 01010111 0011 . 0101故故: (73.5): (73.5)10 10 =(01110011.0101)=(01110011.0101)8421BCD8421BCD码码思考思考: :(00010101.0101)(00010101.0101)8421BCD8421BCD码码 =( )=( )2 2(73.5)(73.5)1010=( )=( )2 21001001.11001001.11111.11111.1(10110.1)(10110.1)2 2=( )=( )8421BCD8421BCD码码00100010.010100100010.0101(1100)(1100)5421BCD5421BCD+(1100)+(1100)余余3 3码码=( )=( )8421BCD8421BCD0001100000011000 3. 3. 奇偶校验码奇偶校验码 原代码的基础上增加一个码位使代码中含有原代码的基础上增加一个码位使代码中含有的的1 1的个数均为奇数（称为奇校验）或偶数（称的个数均为奇数（称为奇校验）或偶数（称为偶校验），通过检查代码中含有的为偶校验），通过检查代码中含有的1 1的奇偶性的奇偶性来判别代码的合法性。来判别代码的合法性。 具有检错能力的代码具有检错能力的代码 4. 4. 字符数字码字符数字码 美国信息交换的标准代码（简称美国信息交换的标准代码（简称ASCIIASCII）是应用）是应用最为广泛的字符数字码最为广泛的字符数字码 字符数字码能表示计算机键盘上能看到的各种符字符数字码能表示计算机键盘上能看到的各种符号和功能号和功能 1.31.3 算术运算算术运算1.3.1 1.3.1 二进制加法二进制加法0+0=00+0=01+0=0+1=11+0=0+1=11+1=101+1=101+1+1=11 1+1+1=11 1.3.2 1.3.2 有符号数的表示方法有符号数的表示方法表示二进制数的方法有三种，即原码、反码和补码表示二进制数的方法有三种，即原码、反码和补码 用补码系统表示有符号数用补码系统表示有符号数 1.3.3 1.3.3 补码系统中的加法补码系统中的加法 第一种情况：两个正数相加。第一种情况：两个正数相加。 第二种情况：正数与一个比它小的负数相加第二种情况：正数与一个比它小的负数相加 第三种情况：正数与比它大的负数相加第三种情况：正数与比它大的负数相加 第四种情况：两个负数相加第四种情况：两个负数相加 1.41.4 逻辑代数中的逻辑运算逻辑代数中的逻辑运算 研究数字电路的基础为研究数字电路的基础为逻辑代数逻辑代数，由英国数学家，由英国数学家George Boole在在18471847年提出的，逻辑代数也称年提出的，逻辑代数也称布尔布尔代数代数. . 在逻辑代数中在逻辑代数中, ,变量常用字母变量常用字母A,B,C,Y,Z, a,b,c,x.y.z等表示，变量的取值只能是等表示，变量的取值只能是“0 0”或或“1 1”. . 逻辑代数中只有三种基本逻辑运算逻辑代数中只有三种基本逻辑运算, ,即即“与与”、“或或”、“非非”。1. 1. 与与逻辑运算逻辑运算 定义定义：只有决定一事件的：只有决定一事件的全部全部条件都具备时，这件条件都具备时，这件事才成立；如果有一个或一个以上条件不具备，则这件事事才成立；如果有一个或一个以上条件不具备，则这件事就不成立。这样的因果关系称为就不成立。这样的因果关系称为“与与”逻辑关系。逻辑关系。 与逻辑电路状态表与逻辑电路状态表开关开关A状态状态 开关开关 B状态状态 灯灯F状态状态 断断 断断 灭灭 断断 合合 灭灭 合合 断断 灭灭 合合 合合 亮亮与逻辑电路与逻辑电路1.4.1 1.4.1 基本逻辑运算基本逻辑运算若若将开关断开和灯的熄灭状态用逻辑量将开关断开和灯的熄灭状态用逻辑量“0 0”表示表示; ;将开关将开关合上和灯亮的状态用逻辑量合上和灯亮的状态用逻辑量“1 1”表示表示, ,则上述状态表可表则上述状态表可表示为示为: : 与与逻辑真值表逻辑真值表A B F=A B0 0 00 1 01 0 01 1 1&ABF=AB与门与门逻辑符号逻辑符号与门与门的逻辑功能概括：的逻辑功能概括：1 1）有）有“0 0”出出“0 0”；2 2）全）全“1 1”出出“1 1”。真值表真值表: :把所有输入变量取值的各种可能组合和对应的输把所有输入变量取值的各种可能组合和对应的输 出变量值之间的逻辑关系列成表格的形式出变量值之间的逻辑关系列成表格的形式. . 2. 2. 或或逻辑运算逻辑运算 定义：在决定一事件的各种条件中定义：在决定一事件的各种条件中, ,只要有只要有一个一个或或一一个以上个以上条件具备时，这件事就成立条件具备时，这件事就成立; ;只有所有的条件都不只有所有的条件都不具备时具备时, ,这件事就不成立这件事就不成立. .这样的因果关系称为这样的因果关系称为“或或”逻辑逻辑关系。关系。或逻辑电路或逻辑电路 或或逻辑真值表逻辑真值表A B F=A+ B0 0 00 1 11 0 11 1 11ABF=A+B或门或门逻辑符号逻辑符号或门或门的逻辑功能概括为的逻辑功能概括为: :1) 1) 有有“1 1”出出“1 1”; ;2) 2) 全全“0 0” 出出“0 0”. . 3. 3. 非非逻辑运算逻辑运算 定义定义: :假定事件假定事件F成立与否同条件成立与否同条件A的具备与否有关的具备与否有关, ,若若A具备具备, ,则则F不成立不成立; ;若若A不具备不具备, ,则则F成立成立. .F和和A之间的这之间的这种因果关系称为种因果关系称为“非非”逻辑关系逻辑关系. .非逻辑电路非逻辑电路1AF=A 非门非门逻辑符号逻辑符号 非逻辑真值表非逻辑真值表 A F=A 0 1 1 0与门和或门均可以有与门和或门均可以有多个多个输入端，输入端，一个输出端一个输出端.非门只有非门只有一个一个输入端输入端,一个输出端一个输出端1.4.21.4.2 复合逻辑运算复合逻辑运算1. 1. 与非与非逻辑逻辑 ( (将将与与逻辑和逻辑和非非逻辑组合而成逻辑组合而成) ) 与非逻辑真值表与非逻辑真值表A B F=A B0 0 10 1 11 0 11 1 0&ABF=AB与非与非门逻辑符号门逻辑符号与非门与非门的逻辑功能概括为的逻辑功能概括为:“:“有有0 0出出1,1,全全1 1出出0”0”2. 2. 或非或非逻辑逻辑 ( (将或逻辑和非逻辑组合而成将或逻辑和非逻辑组合而成) ) 或非或非逻辑真值表逻辑真值表A B F=A +B0 0 10 1 01 0 01 1 01ABF=A+B或非或非门逻辑符号门逻辑符号或非门或非门的逻辑功能概括为的逻辑功能概括为:“:“全全0 0出出1,1,有有1 1出出0”0”3.3.与或非与或非逻辑逻辑 ( (由由与与、或或、非非三种逻辑组合而成）三种逻辑组合而成）与或非与或非逻辑函数式：逻辑函数式：F=AB+CDF=AB+CD与或非与或非门门的逻辑符号的逻辑符号1&ABCDF=AB+CD与或非门与或非门的逻辑功能概括为的逻辑功能概括为:“:“每组有每组有0 0出出1,1,某组全某组全1 1出出0”0” 异或异或逻辑真值表逻辑真值表A B F=A B0 0 00 1 11 0 11 1 0=1ABF=A B异或异或门门逻辑符号逻辑符号异或异或逻辑的功能为逻辑的功能为: :1) 1) 相同相同得得“0 0”; ;2) 2) 相异相异得得“1 1”. .4.4.异或异或逻辑逻辑异或异或逻辑的函数式为：逻辑的函数式为： F=AB+AB = A B=AB同或同或门逻辑符号门逻辑符号F=A B. 同或逻辑同或逻辑 真值表真值表A B F=A B0 0 10 1 01 0 01 1 1.对照对照异或异或和和同或同或逻辑真值表逻辑真值表, ,可以发现可以发现: : 同或同或和和异或异或互互为反函数为反函数, ,即即: : A B = A B.5.5.同或同或逻辑逻辑同或同或逻辑式为逻辑式为:F = A B + A B =A B.同或同或逻辑的功能为逻辑的功能为: :1) 1) 相同相同得得“1 1”; ;2) 2) 相异相异得得“0 0”. .表表1.151.15给出了门电路的几种表示方法，本课程中，均采给出了门电路的几种表示方法，本课程中，均采用用“国标国标”。国外流行的电路符号常见于外文书籍中，。国外流行的电路符号常见于外文书籍中，特别在我国引进的一些计算机辅助分析和设计软件中，特别在我国引进的一些计算机辅助分析和设计软件中，常使用这些符号。常使用这些符号。1.4.31.4.3 正逻辑与负逻辑正逻辑与负逻辑1 1、逻辑状态和逻辑电平、逻辑状态和逻辑电平(1)(1)逻辑状态逻辑状态: : 逻辑逻辑1 1状态状态逻辑逻辑0 0状态状态(2)(2)逻辑电平逻辑电平: : 逻辑高电平逻辑高电平, ,以以H H表示表示逻辑低电平逻辑低电平, ,以以L L表示表示 门电路的输入、输出为二值信号门电路的输入、输出为二值信号, ,用用“0 0”和和“1 1”表表示示. .这里的这里的“0 0”、“1 1”一般用两个不同一般用两个不同电平值电平值来表示来表示. . 若用高电平若用高电平V VH H表示逻辑表示逻辑“1 1”, ,用低电平用低电平V VL L表示逻辑表示逻辑“0 0”, ,则称为则称为正正逻辑约定逻辑约定, ,简称简称正正逻辑逻辑; ; 若用高电平若用高电平V VH H表示逻辑表示逻辑“0 0”, ,用低电平用低电平V VL L表示逻辑表示逻辑“1 1”, ,则称为则称为负负逻辑约定逻辑约定, ,简称简称负负逻辑逻辑. .2 2、正、负逻辑正、负逻辑 对一个特定的逻辑门对一个特定的逻辑门, ,采用不同的逻辑表示时采用不同的逻辑表示时, ,其门的其门的名称也就不同名称也就不同. . 正负正负逻辑转换举例逻辑转换举例 电平真值表电平真值表 正正逻辑逻辑(与非与非门门) 负负逻辑逻辑(或非或非门门) Vi1 Vi2 Vo A B Y A B Y VL VL VH 0 0 1 1 1 0 VL VH VH 0 1 1 1 0 0 VH VL VH 1 0 1 0 1 0 VH VH VL 1 1 0 0 0 1 1.51.5 逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则1.5.1 1.5.1 逻辑函数的相等逻辑函数的相等 因此因此, ,如两个函数的如两个函数的真值表真值表相等相等, ,则这两个函数一定相等则这两个函数一定相等. . 设有两个逻辑函数设有两个逻辑函数: :F1=f1(A1,A2,An) F2=f2(A1,A2,An) 如果对于如果对于A1,A2,An 的任何一组取值的任何一组取值( (共共2n组组), ), F1 和和 F2的值均相等的值均相等, ,则称则称F1和和 F2相等相等. .例例: :设两个函数设两个函数: F: F1 1=A+BC=A+BC F F2 2=(A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)求证求证:F:F1 1=F=F2 2解解: :这两个函数都具有三个变量这两个函数都具有三个变量, ,有有8 8组逻辑取值组逻辑取值, ,可以列出可以列出F F1 1和和F F2 2的真值表的真值表A B C FA B C F1 1 F F2 20 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 0 0 00 1 1 1 10 1 1 1 11 0 0 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 由表由表可见可见, ,对于对于A,B,CA,B,C的每组取的每组取值值, ,函数函数F F1 1的值和的值和F F2 2的值均相等的值均相等, ,所以所以F F1 1=F=F2 2. .自等律自等律 A 1=A ; A+0=A 重迭律重迭律 A A=A ; A+A=A 交换律交换律 A B= B A ; A+B=B+A结合律结合律 A(BC)=(AB)C ; A+(B+C)=(A+B)+C分配律分配律 A(B+C)=AB+AC ; A+BC=(A+B)(A+C)反演律反演律 A+B=AB ; AB=A + B 1.5.2 1.5.2 基本定律基本定律 01律律 A 0=0 ; A+1=1互补律互补律 A A=0 ; A+A=1还原律还原律 A = A= =反演律反演律也称也称德德摩根摩根定理定理, ,是一个非常有用的定理是一个非常有用的定理. .3. 3. 逻辑代数的三条规则逻辑代数的三条规则 (1) (1) 代入代入规则规则 任何一个含有变量任何一个含有变量x的等式的等式, ,如果将所有出现如果将所有出现x的位置的位置, ,都用一个逻辑函数式都用一个逻辑函数式F代替代替, ,则等式仍然成立则等式仍然成立. .例例: : 已知等式已知等式 A+X=A X ,有有函数式函数式F=B+C, ,则则 用用F代替等式中的代替等式中的X, 有有 A+(B+C)=A B+C 即即 A+B+C=A B C 由此可以证明反演定律对由此可以证明反演定律对n n变量仍然成立变量仍然成立. .A1+A2+ +An = A1A2 An 设设F F为任意逻辑表达式为任意逻辑表达式, ,若将若将F F中中所有所有运算符、运算符、常量常量及及变变量量作如下变换：作如下变换： + 0 1 原变量原变量 反变量反变量 + 1 0 反变量反变量 原变量原变量 则所得新的逻辑式即为则所得新的逻辑式即为F的反函数，记为的反函数，记为F。例例 已知已知 F=A B + A B, 根据上述规则可得：根据上述规则可得： F=(A+B)(A+B)(2) (2) 反演反演规则规则例例 已知已知 F=A+B+C+D+E, 则则F=A B C D E由由F F求反函数求反函数注意注意：1 1）保持原式运算的优先次序；）保持原式运算的优先次序；2 2）原式中的不属于）原式中的不属于单单变量上的变量上的非号非号不变；不变； (3) (3) 对偶对偶规则规则 设设F为任意逻辑表达式为任意逻辑表达式, ,若将若将F F中所有运算符和常量作中所有运算符和常量作如下变换：如下变换： + 0 1 + 1 0 则所得新的逻辑表达式即为则所得新的逻辑表达式即为F F的对偶式，记为的对偶式，记为F.F=(A+B)(C+D)例例 有有F=A B + C D例例 有有 F=A+B+C+D+EF=A B C D E 对偶是相互的对偶是相互的, ,F和和F互为对偶式互为对偶式. .求对偶式注意：求对偶式注意： 1 1） 保持原式运算的优先次序；保持原式运算的优先次序；2 2）原式中的长短）原式中的长短“非非”号不变；号不变；3 3）单变量的对偶式为自己。）单变量的对偶式为自己。 对偶规则对偶规则：若有两个逻辑表达式：若有两个逻辑表达式F和和G相等，则各自的对相等，则各自的对 偶式偶式F和和G也相等。也相等。使用对偶规则可使得某些表达式的证明更加方便。使用对偶规则可使得某些表达式的证明更加方便。已知已知 A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)对偶关系对偶关系例例 ：1.5.4 1.5.4 逻辑代数的常用公式逻辑代数的常用公式1 1）消去律消去律AB+AB=A证明：证明：AB+AB=A (B+B)=A1=A对偶关系对偶关系(A+B)(A+B)=A该公式说明该公式说明: :两个乘积项相加时两个乘积项相加时, ,若它们只有一个因子若它们只有一个因子不同不同( (如一项中有如一项中有B,B,另一项中有另一项中有B),B),而其余因子完全相而其余因子完全相同同, ,则这两项可以合并成一项则这两项可以合并成一项, ,且能消去那个不同的因且能消去那个不同的因子子( (即即B B和和B).B).2) 2) 吸收律吸收律1 1A+AB=A证明：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A对偶关系对偶关系A(A+B)=A该该公式说明公式说明: :两个乘积项相加时两个乘积项相加时, ,若其中一项是另一项若其中一项是另一项的因子的因子, ,则另一项是多余的则另一项是多余的. .3) 3) 吸收律吸收律2 2A+AB=A+B证明：证明：对偶关系对偶关系A+AB=(A+A)(A+B)=1(A+B) =A+BA(A+B)=AB该该公式说明公式说明: :两乘积项相加时两乘积项相加时, ,若其中一项的非是另一项若其中一项的非是另一项的因子的因子, ,则此因子是多余的则此因子是多余的. .4 4）包含律包含律AB+AC+BC=AB+AC证明：证明：AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) =AB+AC对偶关系对偶关系(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)该该公式说明公式说明: :三个乘积项相加时三个乘积项相加时, ,其中两个乘积项中其中两个乘积项中, ,一项一项含有原变量含有原变量A,A,另一项含有反变量另一项含有反变量A ,A ,而这两项的其余因子而这两项的其余因子都是第三个乘积的因子都是第三个乘积的因子, ,则第三个乘积项是多余的则第三个乘积项是多余的. .5) 5) 关于异或和同或运算关于异或和同或运算对对奇数奇数个变量而言，个变量而言， 有有 A1 A2 . An=A1 A2 . An对对偶数偶数个变量而言，个变量而言， 有有 A1 A2 . An=A1 A2 . An该该公式可以推广为公式可以推广为: :AB+AC+BCDE=AB+ACAB+AC+BCDE=AB+AC例证例证: A1 A2 A3 = A1 A2 A3 证明：证明：A1 A2 A3 = A1 A2 A3 = A1 A2 A3+ （A1 A2） A3 = A1 A2 A3+ （A1 A2） A3 = A1 A2 A3 异或和同或的其他性质异或和同或的其他性质: :A 0=AA 1=AA A=0A (B C)=(A B ) CA (B C)=AB ACA 1=AA 0 =AA A= 1A (B C)=(A B) CA+(B C )=(A+B) (A+C)利用异或门可实现数字信号的极性控制利用异或门可实现数字信号的极性控制. .同或功能由异或门实现同或功能由异或门实现. .注意注意: A: A (B+C)=A B+A C逻辑函数逻辑函数F=F=f(A,B,Cf(A,B,C，)任何一个具体的因果关系都可以用逻辑函数任何一个具体的因果关系都可以用逻辑函数来描述来描述逻辑函数的表示方法有：真值表，逻辑函逻辑函数的表示方法有：真值表，逻辑函数式，逻辑图，卡诺图等数式，逻辑图，卡诺图等A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1真值表真值表ABCF1&电路的逻辑图电路的逻辑图F=(A,B,C)=A(B+C)F=(A,B,C)=A(B+C)逻辑函数式逻辑函数式举重裁判电路举重裁判电路A AC CF1.61.6 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式1.6.1 1.6.1 常用的逻辑函数式常用的逻辑函数式F(A,B,C) =AB+AC 与或式与或式=(A+C)(A+B) 或与式或与式=ABAC 与非与非式与非与非式=A+C+A+B 或非或非式或非或非式=AB+AC 与或非式与或非式1.6.2 1.6.2 函数的函数的“与与或或”式和式和“或或与与”式式 “与与或或”式，指一个函数表达式中包含若干个式，指一个函数表达式中包含若干个与与”项，这些项，这些“与与”项的项的“或或”表示这个函数。表示这个函数。 “或或与与”式，指一个函数表达式中包含若干个式，指一个函数表达式中包含若干个“或或”项，这些项，这些“或或”项的项的“与与”表示这个函数。表示这个函数。例：例： F(A,B,C,D)=A+BC+ABCD例例 ：F(A,B,C)=(A+B)(A+C)(A+B+C)1 1 最小项最小项 1 1）最小项特点）最小项特点最小项是最小项是“与与”项。项。 n n个变量逻辑函数的最小项，一定包含个变量逻辑函数的最小项，一定包含n n个因子；个因子； 在各个最小项中，每个变量必须以在各个最小项中，每个变量必须以原原变量或变量或反反变变 量形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。量形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。1.6.3 1.6.3 最小项和最大项最小项和最大项例例 有有A A、B B两变量的最小项共有两变量的最小项共有四四项项( (2 22 2) )：A BA BA BA B例例 有有A A、B B、C C三变量的最小项共有三变量的最小项共有八八项项( (2 23 3) )：ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABCn n个变量最多有个变量最多有 个最小项个最小项（2 2） 最小项编号最小项编号 任一个最小项用任一个最小项用 mi 表示表示，m表示最小项，下标表示最小项，下标 i 为为使该最小项为使该最小项为1的变量取值所对应的等效十进制数。的变量取值所对应的等效十进制数。例例 ：有最小项：有最小项 A B C, ,要使该最小项为要使该最小项为1 1，A、B、C的取的取值应值应为为0 0、1 1、1 1，二进制数，二进制数 011011所等效的十进制数为所等效的十进制数为 3 3，所以所以ABC = m3m m0 0m m1 100000101m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7010011100101110111234567最小项最小项二进制数二进制数十进制数十进制数编号编号0 0 1A B C A B C 0 0 0m m0 0m m1 1m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 71000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量全部最小项真值表三变量全部最小项真值表 (3) (3) 最小项的性质最小项的性质 变量任取一组值，仅有一个最小项为变量任取一组值，仅有一个最小项为1 1，其他最小项为，其他最小项为 零；零； n n变量的全体最小项之和为变量的全体最小项之和为1 1； 不同的最小项相不同的最小项相与与，结果为，结果为0 0； 两最小项两最小项相邻相邻，相邻最小项相，相邻最小项相“或或”，可以合并成一，可以合并成一 项，并可以消去一个变量因子。项，并可以消去一个变量因子。相邻相邻的概念：的概念： 两最小项如仅有一个变量因子不同，其他两最小项如仅有一个变量因子不同，其他变量均相同，则称这两个最小项变量均相同，则称这两个最小项相邻相邻. .任一任一 n n 变量的最小项，必定和其他变量的最小项，必定和其他 n n 个不同最小个不同最小项项相邻相邻。相邻相邻最小项相最小项相“或或”的情况：的情况：例：例： A B C+A B C =A B2 2 最大项最大项 （1 1）最大项特点）最大项特点最大项是最大项是“或或”项项。n n个变量构成的每个最大项，一定是包含个变量构成的每个最大项，一定是包含n n个因子的个因子的 “或或”项；项； 在各个最大项中，每个变量必须以原变量或反变量在各个最大项中，每个变量必须以原变量或反变量 形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。例例 有有A A、B B两变量的最大项共有四项：两变量的最大项共有四项：例例 有有A A、B B、C C三变量的最大项共有八项：三变量的最大项共有八项：A+ BA+ BA+ BA+ BA+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C(2) (2) 最大项编号最大项编号 任一个最大项用任一个最大项用 Mi 表示表示，M表示最大项，下标表示最大项，下标 i 为使该最大项为为使该最大项为0 0的变量取值所对应的等效十进制数。的变量取值所对应的等效十进制数。n n个变量个变量最多有最多有 个最大项个最大项A+B+C =M4(3) (3) 最大项的性质最大项的性质 变量任取一组值，仅有一个最大项为变量任取一组值，仅有一个最大项为0 0，其它最大项，其它最大项 为为1 1； n n变量的全体最大项之变量的全体最大项之积积为为0 0； 不同的最大项相不同的最大项相或或，结果为，结果为 1 1；例例 ：有最大项：有最大项 A +B+ C, ,要使该最大项为要使该最大项为0 0，A、B、C的的取值应取值应为为1 1、0 0、0 0，二进制数，二进制数 100100所等效的十进制数为所等效的十进制数为 4 4，所以，所以 两两相邻相邻的最大项相的最大项相“与与”，可以合并成一项，并可以，可以合并成一项，并可以 消去一个变量因子。消去一个变量因子。相邻相邻的概念：两最大项如仅有一个变量因子不同，其他的概念：两最大项如仅有一个变量因子不同，其他 变量均相同，则称这两个最大项变量均相同，则称这两个最大项相邻相邻。任一任一 n n 变量的最大项，必定和其他变量的最大项，必定和其他 n n 个不同最大项个不同最大项相邻相邻。相邻相邻最大项相最大项相“与与”的情况：的情况：例：例： (A+B+C)(A+B+C)=A+B3 3 最小项和最大项的关系最小项和最大项的关系编号下标相同的最小项和最大项互为反函数，编号下标相同的最小项和最大项互为反函数， 即即Mi = mi或或 mi = Mi例如例如: :m m0 0 = ABC = A+B+C = ABC = A+B+C = M M0 0M MO O = A+B+C = ABC = = A+B+C = ABC = m mO O最小项之和式为最小项之和式为“与或与或”式，例：式，例：=m(2 , 4 , 6)=(2 , 4 , 6)F(A,B,C) = ABC + ABC +ABC1.6.4 1.6.4 标准与或式和标准或与式标准与或式和标准或与式1 1 逻辑函数的标准与或式逻辑函数的标准与或式例例 : : F(A,B,C) = A B +A C 该式不是最小项之和形式该式不是最小项之和形式=m（1，3，6，7）=AB（C+C）+AC（B+B）=ABC+ABC+ABC+ABC任一任一逻辑函数都可以表达为最小项之和的形式逻辑函数都可以表达为最小项之和的形式, ,而且而且是是唯一唯一的的. . 逻辑函数的最大项之积的形式为逻辑函数的最大项之积的形式为“或与或与”式，式，例：例：= M (0 , 2 , 4 )= (0 , 2 , 4 )F(A,B,C) = (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)任一任一逻辑函数都可以表达为最大项之积的形式逻辑函数都可以表达为最大项之积的形式, ,而且而且是是唯一唯一的的. .2 2 逻辑函数的标准或与式逻辑函数的标准或与式= M (1 , 4 , 5 , 6 )例例 : : F(A,B,C) = (A + C )(B + C) =(A+B B+C)(A A+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)若若 F = mi则则 F = mjj iF = mj j i= mj = Mjj ij i 3 3 标准与或式和标准或与式的关系标准与或式和标准或与式的关系 若若 F = mi则则 F = mjj iF = mj j i= mj j iF(A,B,C)=m1+ +m3+ +m4+ +m6+ +m7F(A,B,C)=m0+ +m2+ +m5= Mjj iF(A,B,C)=m0+ +m2+ +m5=m0 m2m5 =M0 M2M5 例例 : : F (A , B , C) = MM(0 , 2 , 3 , 7)=mm (1 , 4 , 5 , 6 )例例 : : F (A , B , C) = m(1 , 3 , 4 , 6 , 7)=M (0 , 2 , 5 ) 真值表与逻辑表达式都是表示逻辑函数的方法。真值表与逻辑表达式都是表示逻辑函数的方法。1.7.1 1.7.1 由逻辑函数式列真值表由逻辑函数式列真值表 由逻辑函数式列真值表可采用三种方法，以例说明：由逻辑函数式列真值表可采用三种方法，以例说明：例：例： 试列出下列逻辑函数式的真值表。试列出下列逻辑函数式的真值表。 F（A，B，C）=AB+BC1.7 1.7 逻辑函数式与真值表逻辑函数式与真值表方法一方法一：将：将A、B、C三变量的所有取值的组合（共八三变量的所有取值的组合（共八 种），分别代入函数式，逐一算出函数值，填入种），分别代入函数式，逐一算出函数值，填入 真值表中。真值表中。A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1方法二方法二：先将函数式：先将函数式F表示为最小项之和的形式：表示为最小项之和的形式： =m（3，6，7） =AB（C+C）+BC（A+A）=ABC+ABC+ABC F(A,B,C) =AB+BC最后根据最小项的性质，在真值表中对应于最后根据最小项的性质，在真值表中对应于ABC取值为取值为011011、110110、111111处填处填“1 1”，其它位置填，其它位置填“0 0”。A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1方法三方法三：根据函数式：根据函数式F F的含义，直接填表。的含义，直接填表。 函数函数F=AB+BC表示的含义为表示的含义为：1 1）当）当A和和B同时为同时为“1 1”（即（即AB=1）时，时，F=1 2 2）当）当B和和C同时为同时为“1 1”（即（即BC=1）时，时，F=13 3）当不满足上面两种情况时，）当不满足上面两种情况时，F=0 A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1方法三是一种较好的方法三是一种较好的方法，要熟练掌握。方法，要熟练掌握。A B C F1 F2 F F0 0 0 0 0 0 10 0 1 0 1 0 10 1 0 1 1 1 00 1 1 1 0 0 11 0 0 1 0 0 11 0 1 1 1 1 01 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1例例: : F=(A B) (B C)令令: : F1=(A B) ; F2=(B C) F=F1F2 根据最小项的性质，用观察法，可直接从真值表写出函数根据最小项的性质，用观察法，可直接从真值表写出函数的最小项之和表达式。的最小项之和表达式。例：已知函数例：已知函数F的真值表如下，求逻辑函数表达式。的真值表如下，求逻辑函数表达式。A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 11.7.2 1.7.2 由真值表写出逻辑函数式由真值表写出逻辑函数式解解：由真值表可见，当：由真值表可见，当 ABCABC取取011011、10101 1、 110110、111111时，时，F F为为 “1 1”。 所以，所以，F由由4 4个最小项组成：个最小项组成： F（A，B，C）=m（3，5, 6，7）A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1=ABC+ABC+ABC+ABC1.81.8 逻辑函数的化简逻辑函数的化简化简的意义化简的意义: :节省元器件节省元器件, ,降低电路成本降低电路成本; ; 提高电路可靠性提高电路可靠性; ; 减少连线减少连线, ,制作方便制作方便. .最简最简与或与或表达式的标准：表达式的标准：1 1） 所得所得与或与或表达式中，表达式中，乘积项乘积项（与项）数目最少；（与项）数目最少；2 2） 每个乘积项中所含的每个乘积项中所含的变量数变量数最少。最少。1.8.1 1.8.1 公式化简法公式化简法 针对某一逻辑式针对某一逻辑式, ,反复运用逻辑代数公式消去反复运用逻辑代数公式消去多余的乘多余的乘积项积项和每个乘积项中和每个乘积项中多余的因子多余的因子, ,使函数式符合使函数式符合最简标准最简标准. . 化简中常用方法化简中常用方法: :(1) (1) 并项法并项法=（A B）C+（AB）C在化简中在化简中注意注意代入规则代入规则的使用的使用(2)(2)吸收法吸收法=（AB+AB）C+（AB+AB）C=（A B）C+（A B）C=C=A+BC =(A+BC)+(A+BC)B+AC+D反演律反演律利用公式利用公式 AB+AB=A消去律消去律利用公式利用公式 A+AB=A 吸收律吸收律1 1例例: : F=ABC+ABC+ABC+ABC例：例： F=A+ABC B+AC+D+BC(3) (3) 消项法消项法=ABCD+(A+B)E+CDE=ABCD+ABE+CDE=ABCD+(A+B)E=ABCD+AE+BE (4) (4) 消因子法消因子法利用公式利用公式包含律包含律利用公式利用公式 A+AB=A+B 吸收律吸收律2 2 例例 ： F=ABCD+AE+BE+CDE=AB+C(5) (5) 配项法配项法=AB+（A+B）C=AB+ABC利用公式利用公式 A+A=1 ；A 1=A 等等 =AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=(AB+ABC)+(AC+ABC)=AB+AC例：例： F=AB+AC+BC例：例： F=AB+AC+BC1.8.2 1.8.2 卡诺图卡诺图化简法化简法 该方法是将逻辑函数用一种称为该方法是将逻辑函数用一种称为“卡诺图卡诺图”的图形来表的图形来表示示, ,然后在卡诺图上进行函数的化简的方法然后在卡诺图上进行函数的化简的方法. .1 1 卡诺图卡诺图的构成的构成 卡诺图是一种包含一些卡诺图是一种包含一些小方块小方块的几何图形的几何图形, ,图中每个图中每个小小方块方块称为一个单元称为一个单元, ,每个单元对应一个每个单元对应一个最小项最小项. .两个两个相邻相邻的的最小项在卡诺图中也必须是最小项在卡诺图中也必须是相邻相邻的的. .卡诺图中相邻的含义卡诺图中相邻的含义: : 几何相邻性几何相邻性, ,即几何位置上相邻即几何位置上相邻, ,也就是左右也就是左右 紧挨着或者上下相接紧挨着或者上下相接; ; 对称相邻性对称相邻性, ,即图形中对称位置的单元是相即图形中对称位置的单元是相 邻的邻的. . 卡诺图卡诺图A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3AABBABBAAB ABAB1010 m0 m1 m2 m3 mi二二二二变变变变量量量量图图图图AB10100 1 2 3ABC0100011110ABCm0ABCm1ABCm2ABCm3ABCm4ABCm5ABCm6ABCm7相邻性规则相邻性规则 m1 m3 m2m7相邻性规则相邻性规则 m2 m0 m1 （对称）对称） m4循环码循环码三三三三变变变变量量量量图图图图ABC01000111100 01 13 32 26 67 75 54 4ABCD00011110000111100 1 3 24 5 7 6 8 9 11 1012 13 15 14相邻性规则相邻性规则 m m3 3m m5 5 m m7 7 m m6 6 m m1515 四四四四变变变变量量量量图图图图ABCDE00011110000001 0110100 1 3 2 8 9 11 1024 25 27 261101111011006 7 5 414 15 13 12 22 23 21 2030 31 29 2816 17 19 18五五五五变变变变量量量量图图图图 用卡诺图表示逻辑函数，只是把各组变量值所对应的用卡诺图表示逻辑函数，只是把各组变量值所对应的逻辑函数逻辑函数F F的值，填在对应的小方格中的值，填在对应的小方格中。（其实卡诺图是真值表的另一种画法）（其实卡诺图是真值表的另一种画法）2.2.逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法例：例： F（A，B，C）=ABC+ABC+ABC 用卡诺图表示为：用卡诺图表示为：ABC0100011110m3m5m70 0 00 0111用卡诺图表示为用卡诺图表示为:ABCD00011110000111101 1 0 01 1 0 01 1 1 11 1 1 1例例: 画出画出F(A,B,C,D)=ABCD+BCD+AC+A3 3 在卡诺图上在卡诺图上合并合并最小项的最小项的规则规则 当卡诺图中有最小项相邻时（即：有标当卡诺图中有最小项相邻时（即：有标1 1的方格相邻的方格相邻) )，可利用最小项相邻的性质，对最小项合并。可利用最小项相邻的性质，对最小项合并。 规则为：规则为：（1 1） 卡诺图上任何卡诺图上任何两个两个标标1 1的方格相邻，可以合为的方格相邻，可以合为1 1 项，并可消去项，并可消去1 1个变量。个变量。例：例：ABC01000111100 0 00 0111ABC+ABC=BCABC+ABC=ACABCD00011110000111101111ABD（2 2）卡诺图上任何四个标）卡诺图上任何四个标1 1方格相邻，可合并为一项，并方格相邻，可合并为一项，并可消去两个变量。可消去两个变量。四个标四个标1 1方格相邻的特点：方格相邻的特点：同在一行或一列；同在一行或一列；同在一田字格中。同在一田字格中。ABD例：例： ABCD00011110000111101111111CDABABCD0001111000011110111111111BD同同在一行或一列在一行或一列同在同在一个田字格中一个田字格中BD思考题思考题ABCD00011110000111101111111 11 1ABCD00011110000111101 11 11 11 11111 1（3 3）卡诺图上任何八个标）卡诺图上任何八个标1 1的方格相邻，可以并为一的方格相邻，可以并为一 项，并可消去三个变量。例：项，并可消去三个变量。例：ABCD000111100001111011111111ABCD000111100001111011111111BA思考题思考题: :ABCD00011110000111101111 11 111综上所述，在综上所述，在n个变量的卡诺图中，只有个变量的卡诺图中，只有2的的 i 次方个相次方个相邻的标邻的标1方格（必须排列成方形格或矩形格的形状）才方格（必须排列成方形格或矩形格的形状）才能圈在一起，合并为一项，该项保留了原来各项中能圈在一起，合并为一项，该项保留了原来各项中n-i 个相同的变量，消去个相同的变量，消去i个不同变量。个不同变量。4 4 用卡诺图化简逻辑函数（化为最简与或式）用卡诺图化简逻辑函数（化为最简与或式）项数最少项数最少，意味着卡诺图中，意味着卡诺图中圈数圈数最最少少；每项中的变量数最少每项中的变量数最少，意味着卡诺图中，意味着卡诺图中的的圈圈尽可能尽可能大大。最简标准：最简标准：例例 将将F（A，B，C）=m（3，4，5，6，7） 化为化为最简最简与或式。与或式。ABC010001111011111ABC010001111011111F=A+BC（最简）（最简） （非最简）（非最简）F=AB+BC+ABC化简步骤（结合举例说明）化简步骤（结合举例说明）=A(B+BC)+BC =A(B+C)+BC =ABC+BC =A+BC例例 将将F（A,B,C,D）=m（0,1,3,7,8,10,13）化为最简与化为最简与 或式。或式。解：解： (1) (1) 由表达式填卡诺图由表达式填卡诺图; ;(2) (2) 圈出孤立的标圈出孤立的标1 1方格方格; ;ABCD00011110000111101111111m1313ABCD00011110000111101111111(3) (3) 找出只被一个最大的圈所覆盖的标找出只被一个最大的圈所覆盖的标1 1方格方格, ,并并圈出覆盖该标圈出覆盖该标1 1方格的最大圈方格的最大圈; ; (4) (4) 将剩余的相邻标将剩余的相邻标1 1方格方格, ,圈成尽可能少圈成尽可能少, ,而且而且 尽可能大的圈尽可能大的圈. . ABCDACDABDABCm7,m10m0,m1(5) (5) 将各个对应的乘积项相加将各个对应的乘积项相加, ,写出最简与或式写出最简与或式. .例：例：ABCD000111100001111011111111111F(A,B,C,D)=ABD+BD +AD+CDF(A,B,C,D)=ABCD+ACD+ABD+ABCF(A,B,C,D)=AC+ACD+ABD+BC+BCD一种特殊情况：一种特殊情况：ABC0001111001111111ABC0001111001111111F=AB+BC+ACF=AB+BC+AC得到两种化简结果，也都是最简的。得到两种化简结果，也都是最简的。 化简中注意的问题化简中注意的问题(1) (1) 每一个标每一个标1 1的方格必须至少被圈一次的方格必须至少被圈一次; ;(2) (2) 每个圈中包含的相邻小方格数每个圈中包含的相邻小方格数, ,必须为必须为2 2的整数次幂的整数次幂; ;(3) (3) 为了得到尽可能大的圈为了得到尽可能大的圈, ,圈与圈之间可以重叠圈与圈之间可以重叠; ;ABCD000111100001111011111111111ABCD000111100001111011111111蓝色蓝色的圈为多余的的圈为多余的. .F=ABC+ACD+ACD+ABC + (BD)例如例如: :(4) (4) 若某个圈中的若某个圈中的所有所有标标1 1方格方格, ,已经完全被其它圈所已经完全被其它圈所 覆盖覆盖, ,则该圈为多余的则该圈为多余的. . 方法方法: :在卡诺图中合并标在卡诺图中合并标 0 0 方格方格, ,可得到可得到反函数反函数的最简的最简与与或或式式. .例例:ABC010001111011110000F=AB+BC+AC 用卡诺图求用卡诺图求反函数反函数的最简与或式的最简与或式常利用该方法来求逻辑函数常利用该方法来求逻辑函数F F的最简与或非式的最简与或非式, , 例如将上例如将上式式F F上上 的非号移到右边的非号移到右边, ,就得到就得到F F的最简的最简与或非与或非表达式表达式. .F=AB+BC+AC逻辑函数化简的技巧逻辑函数化简的技巧对较为复杂的逻辑函数，可将函数分解成对较为复杂的逻辑函数，可将函数分解成多个部分，先将每个部分分别填入各自的多个部分，先将每个部分分别填入各自的卡诺图中，然后通过卡诺图对应方格的运卡诺图中，然后通过卡诺图对应方格的运算，求出函数的卡诺图。算，求出函数的卡诺图。对卡诺图进行化简。对卡诺图进行化简。ABABCDCD000001011111101000000101111110101 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1ABABCDCD000001011111101000000101111110101 11 11 11 11 11 11 1ABABCDCD000001011111101000000101111110101 11 11 11 11 11 1例：化简逻辑函数例：化简逻辑函数F=(AB+AC+BD)F=(AB+AC+BD)(ABCD+ACD+BCD+BC)(ABCD+ACD+BCD+BC)= =F=ABCD+ABC+BCD+ACDF=ABCD+ABC+BCD+ACD 在某些实际数字电路中在某些实际数字电路中, ,逻辑函数的输出只和一部分逻辑函数的输出只和一部分最小项有最小项有确定确定对应关系对应关系, ,而和余下的最小项无关而和余下的最小项无关. .余下的余下的最小项无论写入逻辑函数式还是不写入逻辑函数式最小项无论写入逻辑函数式还是不写入逻辑函数式, ,都不都不影响电路的逻辑功能影响电路的逻辑功能. .把这些最小项称为把这些最小项称为无关项无关项. .用英文用英文字母字母d(dont care)d(dont care)表示，对应的函数值记为表示，对应的函数值记为“” 。 包含包含无关项无关项的逻辑函数称为的逻辑函数称为不完全确定不完全确定的逻辑函数的逻辑函数. .1.8.3 1.8.3 不完全确定不完全确定的逻辑函数及其化简的逻辑函数及其化简例例: : 设计一个奇偶判别电路设计一个奇偶判别电路. .电路输入为电路输入为84218421BCD码码, ,当输当输入为偶数时入为偶数时, ,输出为输出为 0 ;0 ;当电路输入为奇数时当电路输入为奇数时, ,输出为输出为1 .1 . 由于由于84218421BCD码中无码中无10101111这这6 6个码个码, ,电路禁止输入电路禁止输入这这6 6个码个码. .这这6 6个码对应的最小项为个码对应的最小项为无关项无关项. . 利用利用不完全确定不完全确定的逻辑函数中的的逻辑函数中的无关项无关项往往可以将函往往可以将函数化得更简单数化得更简单. .奇偶奇偶判别判别电路电路ABCDFA B C D F A B C D F0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 1 10 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 真值表真值表F(A,B,C,D)=m(1,3,5,7,9)+d(10 15)F(A,B,C,D)=DABCD00011110000111101111100000若若不利用无关项（即不利用无关项（即将卡诺将卡诺图中的图中的均作均作0 0处理处理）, ,则化则化简结果为简结果为: : F(A,B,C,D)=AD+BCD若若利用无关项利用无关项( (即将卡诺图中的即将卡诺图中的按化简的需要任意按化简的需要任意处理处理, ,将有些将有些当作当作0 0, ,有些有些当作当作1 1),),则化简结果为则化简结果为: :F(A,B,C,D)=m(1,3,5,7,9)+d(10 15)完整地将函数写为：完整地将函数写为：F(A,B,C,D)=Dd(10 15)=0例：例：F=(AB)CD+ABC+ACD 且且AB+CD=0ABCD0001111000011110110001101F(A,B,C,D)=B+AD+AC注意注意: :在无特殊说明的情况下在无特殊说明的情况下, ,为使逻辑函数化为使逻辑函数化的更简单的更简单, ,均应按上述均应按上述第二种第二种方法处理最小项方法处理最小项. .1.8.4 1.8.4 逻辑函数式化简为其它形式逻辑函数式化简为其它形式F(A,B,C) =AB+AC 与或式与或式=(A+B)(A+C) 或与式或与式=ABAC 与非与非式与非与非式=A+B+A+C 或非或非式或非或非式（由与或式两次求对偶）（由与或式两次求对偶）（由与或式两次求反）（由与或式两次求反）以以 为例，说明如何将与或式转换为例，说明如何将与或式转换为其他类型的表达式为其他类型的表达式F(A,B,C) =AB+AC=AB+AC 与或非式与或非式（由或与式两次求反）（由或与式两次求反）（先求（先求 的最简与或式，的最简与或式， 再对再对 求反即可）求反即可）F FF F1与非与非与非式与非式 由最简的与或式，经过两次求反，可得与非由最简的与或式，经过两次求反，可得与非与非式与非式 2 2与或非式与或非式 的最的最简简与或式，再与或式，再对对求反求反 求出反函数求出反函数3 3或与式或与式 由最简的与或式，运用两次求对偶或两次求反由最简的与或式，运用两次求对偶或两次求反可得或与式可得或与式 利用反演利用反演规则规则，再，再对对求反求反 4 4 或非或非或非式或非式 最简的或与式，经过两次求反，可得或非最简的或与式，经过两次求反，可得或非或非式或非式 1.8.5 1.8.5 奎恩奎恩麦克拉斯基化简法（麦克拉斯基化简法（Q QM M法）法）QMQM法有确定的流程，适用于任何复杂逻辑函数的化简法有确定的流程，适用于任何复杂逻辑函数的化简 1 1将函数化为最小项之和的形式，列出最小项编码表将函数化为最小项之和的形式，列出最小项编码表 2 2按包含按包含1 1的个数将最小项分组的个数将最小项分组 3 3合并相邻的最小项合并相邻的最小项 4 4选择最少的乘积项选择最少的乘积项 5. 5. 最后确定化简结果中的乘积项最后确定化简结果中的乘积项 实际的数字电路，常常是一个多输出电路，即对应实际的数字电路，常常是一个多输出电路，即对应于相同一组输入变量，存在多个输出函数。于相同一组输入变量，存在多个输出函数。1.8.6 1.8.6 多输出逻辑函数的化简多输出逻辑函数的化简多输出函数的化简也是以单个函数的化简方法为基多输出函数的化简也是以单个函数的化简方法为基础，但要考虑到整体电路最简。础，但要考虑到整体电路最简。例例: :F1(A,B,C)=m(1,4,5)F2(A,B,C)=m(1,3,7)若按单个函数化简方法若按单个函数化简方法ABC0100011110111ABC0100011110111化简的结果为：化简的结果为：F1=AB+BCF2=AC+BC从整体出发，考虑函数的化简从整体出发，考虑函数的化简ABC0100011110111ABC0100011110111化简的结果为：化简的结果为：F1=ABC+ABF2=ABC+BC习题习题1.(01111000.0101)1.(01111000.0101)8421BCD8421BCD=( )=( )2 2；4.4.欲将二进制码欲将二进制码B B3 3B B2 2B B1 1B B0 0转换为四位格雷码转换为四位格雷码R R3 3R R2 2R R1 1R R0 0， 则则R R3 3= =（ ），），R R0 0= =（ ）；）；3.3.逻辑函数逻辑函数F(A,B,C)=m(0,3,5) , 则其反函数则其反函数F= m( ), 对偶函数对偶函数F=m( )； 5.F(A,B,C,D)=(AB+CD)(BC+AD)+ABC的最简与或表的最简与或表 达式为达式为F=( ) , 其反函数的最小其反函数的最小 项之和表达式为项之和表达式为F=m( )。1001110.11001110.11,2,4,6,70,1,3,5,6B B3 3B1B0B1B0A+BC+CD+BD11,13,14,152.(1000)2.(1000)5421BCD5421BCD+(1101)+(1101)2421BCD2421BCD=( )=( )8421BCD8421BCD0001001000010010