3 3 3 3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根& 1. 1. 复数的复数的复数的复数的乘积与商乘积与商乘积与商乘积与商& 2. 2. 复数的复数的复数的复数的乘幂乘幂乘幂乘幂& 3.3.复数的复数的复数的复数的方根方根方根方根定理定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的幅角等于它们的幅角相加。两个复数乘积的幅角等于它们的幅角相加。证明证明 设设 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 则则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2) = r1r2(cos(1+2)+isin(1+2) =r1r2e i(1+2) 1. 乘积与商乘积与商因此因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2几何意义几何意义 将复数将复数z1按按逆时针逆时针方向旋转一个角度方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到再将其伸缩到|z2|倍。倍。A 定理定理1 1可推广到可推广到n 个复数的乘积。个复数的乘积。oxy(z)z1z2z2定理定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的幅角等于被除数与除两个复数的商的幅角等于被除数与除 数的幅角之差。数的幅角之差。证明证明 Argz=Argz2-Argz1 即：即：由复数除法的定义由复数除法的定义 z=z2 /z1，即即 z1z = z2|z|z1|=|z2|及及Argz1+Argz=Arg z2（z20）注注:上述幅角的等式的值是全体意义上的相上述幅角的等式的值是全体意义上的相等，而不是某一组值的相等。即：任意给等，而不是某一组值的相等。即：任意给定一个等式右边两个多值函数的一对可能定一个等式右边两个多值函数的一对可能取的值，左边多值函数也必有一个值使这取的值，左边多值函数也必有一个值使这个等式成立，反之也是一样。个等式成立，反之也是一样。设设z=re i，由复数的乘法定理和数学归纳法可证由复数的乘法定理和数学归纳法可证明明 zn=rn(cosn+isinn)=rnein。2.复数的复数的乘幂乘幂定义定义 n个相同的复数个相同的复数z 的乘积，称为的乘积，称为z 的的n次幂，次幂， 记作记作z n，即，即z n=z z z（共共n个）。个）。定义定义特别：当特别：当|z|=1时，即：时，即：zn=cosn+isinn，则有则有 (cos+isin)n=cosn+isinn 一棣模佛一棣模佛(De Moivre)公式。公式。问题问题 给定复数给定复数z=re i ，求所有的满足求所有的满足n=z 的的 复数复数。3.复数的复数的方根方根（开方）（开方）乘方的逆运算乘方的逆运算 当当z0时，有时，有n个不同的个不同的值与值与 z相对应，每一相对应，每一个这样的个这样的值都称为值都称为z 的的n次方根，次方根，A 当当k=0=0，1 1，n-1-1时，可得时，可得n个不同的根，个不同的根， 而而k取其它整数时，这些根又会重复出现。取其它整数时，这些根又会重复出现。几何上几何上， 的的n个值是个值是以原点为中心，以原点为中心， 为半为半径的圆周上径的圆周上n个等分点，个等分点，即它们是内接于该圆周即它们是内接于该圆周的正的正n边形的边形的n个顶点。个顶点。xyo练习：练习：