第4章积分及其应用【学习目标】1.了解定积分、不定积分的概念及其性质和几何意义，会用定积分表示曲边梯形的面积；2.熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式和积分的基本公式、法则；能够熟练应用直接积分法和换元积分法求解不定积分；3.了解积分表的使用方法；4.理解微元法的思想，能灵活、恰当地选择积分变量，并将解决问题的过程步骤化；5.拓展学生的思维能力，培养学生一分为二的辩证唯物主义的世界观.4.1定积分的概念1.曲边梯形的面积 曲边梯形曲边梯形是指由连续曲线()()、轴以及直线和所围成的平面图形(如图-所示).我们知道，矩形的面积是其中、分别为矩形两条邻边的长.现在要计算的是曲边梯形的面积，就不能直接用这个公式来计算.为了计算曲边梯形的面积(见图-)，可以将它分割成许多小曲边梯形。根据上面的分析，曲边梯形的面积可按下述步骤来计算.()分割：将曲边梯形分割成个小曲边梯形，用分点把区间，分成个小区间，于是每个小区间的长度为 过各分点作轴的垂线，把曲边梯形分成个小曲边梯形，它们的面积分别记作(2)近似代替：在每个小区间X，上任取一点(，)，作以 ，为底、()为高的小矩形，用其面积近似代替第个小曲边梯形的面积，则(3)求和：因为每个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值，即(4)取极限：若无限细分区间，并使所有小区间的长度趋于零.为此，记当时，和式(-)的极限便是曲边梯形的面积，即2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设一物体沿直线运动，其速度是时间的函数()，求物体从时刻到这段时间所经过的路程.我们知道，匀速直线运动的路程公式是现在速度是随时间的变化而连续变化的，因此不能直接用这个公式计算路程.然而，由于速度是连续变化的，在较短的时间内变化不大，运动近似于匀速，所以可以用匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程.仿照上例，采用下面的四个步骤来计算路程. ()分割：将时间区间，任意分成个小区间，(，)，每个小区间所表示的时间为，各区间物体运动的距离记作(，)(2)近似代替：在每个小区间，上任取一时刻，以速度()近似代替时间段，上各个时刻的速度，以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程，则有(3)求和：将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即(4)取极限：对时间间隔，分得越细，误差就越小.于是记，当时，式(-)的极限便是所求路程，即3.定积分的定义上面两个实际问题，一个是求曲边梯形面积，一个是求变速直线运动的路程，虽然实际意义不同，但是解决问题的方法和计算步骤是完全相同的，即分割、近似代替、求和，最后都归结为求一个连续函数在某一闭区间上的和式的极限问题.类似的实际问题很多，都可以归结为求这种和式的极限.我们舍弃问题的具体意义，抽象出解决这类问题的一般思想，给出下面的定义.定义定义设函数()在区间，上连续，任意用分点把区间，分成个小区间，在每个小区间，上任取一点，有相应的函数值()，作乘积和式 其中，是第个小区间的长度，记，当时，如果和式的极限存在，那么，把这个极限叫做函数()在区间，上的定积分定积分.记作 其中，与分别叫做积分下限下限与上限上限，区间，叫做积分区间积分区间，函数()叫做被积函数被积函数，叫做积分变量积分变量，()叫做被积式被积式，a、b分别叫做积分的下限和上限.根据定积分的定义，我们得到：()曲边梯形的面积，等于其曲边所对应的函数()()在其底所在区间，上的定积分(2)变速直线运动的物体所经过的路程等于其速度()()在时间区间，上的定积分(3)定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数()和积分区间，而与积分变量用什么字母表示无关，与分点及的选取无关.例如，4.4.定积分的几何意义定积分的几何意义我们已经知道，如果函数()在，上连续且()，那么定积分 就表示以()为曲边的曲边梯形的面积. 如果函数()在，上连续且()，由于定积分的右端和式中每一项()都是负值()，其绝对值()表示小矩形的面积.因此，定积分()是一个负数，从而()等于如果()在，上连续，且有时为正有时为负，如图-所示，则连续曲线()、直线、及轴所围成的图形由三个曲边梯形组成.由定义可得总之，定积分()在各种实际问题中所代表的实际意义尽管不同，但它的数值在几何上都可用曲边梯形面积的代数和来表示，这就是定积分的几何意义.4.2定积分的计算公式和性质1.原函数的概念利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算.因此，必须寻求计算定积分的简便方法.我们知道，如果物体以速度()()作直线运动，那么在时间区间，上所经过的路程为另一方面，如果物体经过的路程是时间的函数()，那么物体从到所经过的路程(如图-所示)应该是由导数的物理意义可知：物体运动的路程函数()对时间的导数，就是这一物体的速度函数()，即定义定义设()是定义在某一区间内的已知函数，如果存在函数F()，使得在该区间内的任一点，都有那么就称()是函数()的一个原函数原函数.定积分的计算公式由于()()，即()是()的一个原函数，因此，为了求出定积分 ，应先求出被积函数()的原函数()，再求()在区间，上的增量()()即可.如果抛开上面问题的物理意义，便可得出计算定积分() 的一般方法：设函数()在闭区间，上连续，()是()的一个原函数，即()()，则这个公式叫做牛顿牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式.为了使用方便，将式(-)写成 牛顿-莱布尼兹公式也叫做微积分基本公式微积分基本公式.它表明一个函数的定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限的函数值之差.它揭示了定积分和原函数的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用.3.定积分的性质设()、()在相应区间上连续，则定积分有如下性质：性质性质1 1被积函数的常数因子可以提到积分符号前面，即性质性质2 2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即这个性质对有限个函数的代数和也成立.性质性质3 3如果将区间，分成两个区间，及，那么有性质3叫做定积分对区间，的可加性，不论，还是，均成立.这个性质对于区间分成有限个的情形也成立.4.3不定积分的概念和性质1.1.不定积分的概念不定积分的概念从上面对定积分的讨论可知，定积分的值等于被积函数的一个原函数在积分上、下限的函数值之差.因而，如何求一个函数的原函数就成为计算定积分的关键.定义定义如果()是()的一个原函数，那么()的全部原函数()叫做()的不定积分，记作 其中，“”叫做积分号，()叫做被积函数，()叫做被积表达式，叫做积分变量，任意常数C叫做积分常数.不定积分的性质由定义1可知，积分法和微分法互为逆运算，即有这就是说，若先积分后微分，则两者的作用互相抵消3.3.不定积分的运算法则不定积分的运算法则法则法则1 1被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号前面，即法则法则两个函数的代数和的不定积分等于各函数不定积分的代数和，即法则2可以推广到有限个函数的情形，即4.4积分的基本公式和积分法1.积分的基本公式根据积分法和微分法的互逆关系，可以从导数的基本公式得到相应的积分基本公式，现把它们列于表-对照如下.积分方法()直接积分法直接积分法在求积分的问题中，有时可直接按积分的基本公式和两条运算法则求出结果；有时则需将被积函数经过适当的恒等变形，再利用积分的两条运算法则和积分公式求出结果，这样的积分方法，叫做直接积分法.(2)换元积分法换元积分法用直接积分法能计算的不定积分是很有限的，即使像与这样的一些基本初等函数的积分也不能直接求得.因此，有必要寻求更有效的积分方法.下面介绍另一种重要的积分方法换元积分法.换元积分法又叫凑微分法.4.5积分表的使用从上述各节的讨论，我们已经了解到积分的计算要比导数的计算复杂，难度要大，在实际工作中为了应用方便，把常用的积分公式汇集成表积分表.本书附录列出的简易积分表(下称积分表)是按照被积函数的类型排列的，求积分时，可根据被积函数的类型直接地或经简单变形后，在表中查得所需的结果，下面通过实例说明积分表的用法.一般地，查积分表可以节省时间，但是只有掌握了前面学过的基本积分方法后，才能灵活地使用积分表，而且有时对一些比较简单的积分，应用基本积分方法来计算比查表更快些.4.6定积分在几何中的应用本节先介绍运用定积分解决实际问题的一种常用方法微元法，然后讨论定积分在几何中的应用.1.1.微元法微元法本章第一节讨论计算曲边梯形面积的四个步骤，关键是第二步，即确定在实用上，为简便起见，省略下标，用表示任一小区间，上的小曲边梯形的面积，这样取，的左端点为，以点处的函数值()为高，为底的矩形面积为的近似值(如图-中阴影部分所示)，即上式右端()叫做面积微元面积微元，记作()，于是面积就是将这些微元在区间，上的“无限累加”，即从到的定积分通过上面的做法，我们可以把定积分和式的极限，理解成无限多个微分之和，即积分是微分的无限累加.概括上述过程，对一般的定积分问题，所求量的积分表达式，可按以下步骤确定：2.直角坐标系下的面积计算根据定积分的几何意义，由区间，上的连续曲线()、()()()，)及直线、所围成的平面图形的面积A是利用定积分的性质，此式可改写为3.旋转体的体积旋转体旋转体就是一个平面图形绕这一平面上一条直线旋转一周而成的立体.这条直线叫旋转轴旋转轴.设一旋转体是由曲线()与直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成，如图-所示.现用微元法求它的体积.在区间，上任取，对应于该小区间的小薄片体积，近似于以()为半径，以为高的薄片圆柱体体积，从而得到体积元素为从到积分，得旋转体体积为类似地，若旋转体是由连续曲线()与直线、及轴所围成的图形绕轴旋转而成，则其体积为4.7定积分在物理中的应用1.变力所做的功由物理学知道，在常力的作用下，物体沿力的方向作直线运动，当物体移动一段距离时，力所做的功是但在实际问题中物体所受的力经常是变化的，这就需要讨论如何来求变力做功的问题.设物体在变力()的作用下，沿轴由移动到，而且变力方向与轴方向一致.试用定积分的微元法计算力F在这段路程中所做的功.在区间，上任取一小区间，当物体从移动到时，变力()所做的功近似于把变力看作常力所做的功，从而功元素为因此，从到变力F()所做的功为2.液体的压力由物理学知道，距液体表面深处的水平放置的薄片所受的(压)力等于以薄片面积为底，以为高的液体柱的重力.设A为薄片面积，为液体密度，为重力加速度，F为薄片上所受的总(压)力，则如果薄片垂直放在液体中，那么薄片一侧不同深度处的压强各不相同，因而不能用上式计算薄片一侧所受的压力.小条薄片一侧所受的压力的近似值，即压力元素为在，上积分即得压力为3.平均值在实际问题中，常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌.例如，对某一零件的长度进行次测量，每次测量的值为，.通常用算术平均值作为这个零件长度的近似值.然而，有时还需要计算一个连续函数()在区间，上的一切值的平均值.我们知道，速度为()的物体作直线运动，它在时间间隔，上所经过的路程为用去除路程，即得它在时间间隔，上的平均速度，一般地，设函数()在闭区间，上连续，则它在，上的平均值等于它在，上的定积分除以区间，的长度，即这个公式叫做函数的平均值公式平均值公式.