随机变量的数字特征随机变量的数字特征数学期望数学期望1一、离散型随机向量的数学期望一、离散型随机向量的数学期望2一、离散型随机向量的数学期望一、离散型随机向量的数学期望3解解例例1 设设 ( X , Y ) 的分布律为的分布律为求求一、离散型随机向量的数学期望一、离散型随机向量的数学期望4一、离散型随机向量的数学期望一、离散型随机向量的数学期望5二、二维连续型随机变量的数学期望二、二维连续型随机变量的数学期望6二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望设设(X, Y)为二维连续型随机变量，则为二维连续型随机变量，则7例例2 设设(X, Y)服从服从G上的均匀分布，其中上的均匀分布，其中G为为xoy平平面内由面内由x轴、轴、y轴及轴及 围城的三角区域围城的三角区域.求求 E(X)，E(Y).解解二、连续型随机向量的数学期望二、连续型随机向量的数学期望8 该公式的重要性在于，当我们求该公式的重要性在于，当我们求Eg(X)时时, 不不必知道必知道g(X)的分布，只需知道的分布，只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 这这给求随机变量函数的期望带来很大方便给求随机变量函数的期望带来很大方便.三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望9 定理定理2 设设g (X,Y) 是随机变量是随机变量X、Y的函数，且的函数，且Eg(X,Y)存在存在 (2) 如果如果X、Y是连续型随机变量，联合概率密度是连续型随机变量，联合概率密度为为 f(x, y)，则，则 (1) 如果如果X、Y是离散型随机变量，联合概率分是离散型随机变量，联合概率分布为布为 pij , i,j=1,2, ，则，则 三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望10解解例例3 设设 ( X , Y ) 的分布律为的分布律为求求三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望11三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望12例例11解解三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望13三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望14方差的定义方差的定义四、随机向量的方差四、随机向量的方差 二维随机变量方差的计算方法与一维类似，但二维随机变量方差的计算方法与一维类似，但需要先根据联合分布计算边缘分布，再根据具体公需要先根据联合分布计算边缘分布，再根据具体公式求解方差。式求解方差。15四、随机向量的方差四、随机向量的方差16四、随机向量的方差四、随机向量的方差17五、协方差五、协方差1. 定义定义 任意两个随机变量任意两个随机变量X和和Y的协方差的协方差,记为记为Cov(X,Y), 定义为定义为 2. 性质性质(1) Cov(X,C)= 0, C为常数为常数(2) Cov(X,X)= D(X)(3) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) 18五、协方差五、协方差(6) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) (5) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数是常数(7) D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)(4) Cov(aX+b, Y) = a Cov(X,Y) a,b 是常数是常数Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) 19 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见可见，若若X 与与 Y 独立，独立， 则则Cov(X,Y)= 0 .3. 计算协方差的一个简单公式计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)即即五、协方差五、协方差20五、协方差五、协方差例例1 已知离散型随机变量已知离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下：的概率分布如下：求求解解 易求得易求得X，Y的概率分布分别为的概率分布分别为从而从而21五、协方差五、协方差例例1 已知离散型随机变量已知离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下：的概率分布如下：求求于是于是解解 22例例2 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度为的联合密度为求求Cov(X, Y).五、协方差五、协方差解解 23例例2 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度为的联合密度为求求Cov(X, Y).五、协方差五、协方差解解 24例例3 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度为的联合密度为求求Cov(X, Y)，并判断，并判断X与与Y是否相互独立是否相互独立.五、协方差五、协方差解解 同理，同理，X与与Y不相不相互独立互独立25五、协方差五、协方差由此可知，由此可知， X与与Y相互独立相互独立Cov(X,Y)=0反之不一定成立反之不一定成立26 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间相互间的关系，但它还受的关系，但它还受X与与Y本身度量单位的影响本身度量单位的影响. 例如：例如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了就引入了相关系数相关系数 .五、协方差五、协方差27为随机变量为随机变量 X 和和 Y 的相关系数的相关系数 .定义定义 设设 D(X)0，D(Y)0，称，称在不致引起混淆时在不致引起混淆时，记记 为为 .六、相关系数六、相关系数28相关系数的性质：相关系数的性质：证证: 由方差的性质和协方差的定义知由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数对任意实数 b, 有有0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y )令令，则上式为，则上式为 D(Y- bX)= 由于方差由于方差D(Y)是正的是正的,故必有故必有1- 0, 所以所以 | |1 二、相关系数二、相关系数29存在常数存在常数 a, b (b0)，使使 PY= a + b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 线性相关线性相关.二、相关系数二、相关系数注：注：相关系数相关系数刻画了刻画了X与与Y的的“线性相关线性相关”程度程度.的值越接近的值越接近1，Y与与X的线性相关程度越高；的线性相关程度越高；的值越接近的值越接近0，Y与与X的线性相关程度越弱的线性相关程度越弱.时，时，Y可完全由可完全由X的线性函数给出；的线性函数给出；时，时，Y与与X之间不是线性关系之间不是线性关系.30由于当由于当X和和Y独立时，独立时，Cov(X,Y)= 0.故故请看下例请看下例.二、相关系数二、相关系数3. X和和Y独立时，独立时， =0，即，即X与与Y不相关不相关.注：注：时，只说明时，只说明Y与与X之间没有之间没有线性关系，线性关系，并不能说明并不能说明Y与与X之间没有之间没有其他函数关系，其他函数关系，从而不能推出从而不能推出Y与与X相互独立相互独立.31从而从而即即X与与Y不相关不相关 .即即X与与Y不独立不独立 .解解六、相关系数六、相关系数但但X与与Y满足满足例例4 设设 服从服从 上的均匀分布，上的均匀分布， ， ，判断，判断X与与Y是否相关，是否独立？是否相关，是否独立？32定理定理 若随机变量若随机变量X与与Y的方差都存在，且均不的方差都存在，且均不为零；则下列四个命题等价为零；则下列四个命题等价. （1） ； （2）Cov(X ,Y) = 0； （3）E(XY)=EXEY；（4）D(X Y)=DX+DY. 六、相关系数六、相关系数33但可以证明对下述情形，独立与不相关等价但可以证明对下述情形，独立与不相关等价前面，我们已经看到：前面，我们已经看到：若若 X 与与 Y 独立，则独立，则X与与Y不相关不相关.但由但由X与与Y不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X与与Y独立独立.若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关六、相关系数六、相关系数34解解例例5 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度为的联合密度为求求(X, Y)的协方差及相关系数的协方差及相关系数.六、相关系数六、相关系数35六、相关系数六、相关系数36二、相关系数二、相关系数37例例6 设设且相互独立，且相互独立，试求试求的相关系数的相关系数(其中其中 是不全为是不全为0的常数的常数).二、相关系数二、相关系数38练习练习1. 已知二维连续型随机变量已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为的联合密度为求求 E(X).39练习练习 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度为的联合密度为求求Cov(X, Y).解解 40