第七节第七节二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程一、二阶常系数线性非齐次微分方一、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构及特解的叠加法程的通解结构及特解的叠加法二、二阶常系数线性非齐次微分方二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法程的解法二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式它所对应的齐次方程为定理7.3 设 是二阶常系数线性非齐次微分方程(1)的一个特解， 是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通解，则一、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构及特解的可叠加法是方程(1)的通解.齐次方程(2)的通解，所以有证例1解由定理7.3可知是所给方程的通解定理6.4 设 分别是二阶常系数线性非齐次微分方程的特解，则 是微分方程的特解，其中p，q是常数.证二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法1. ，其中 是常数， 是x的一个m次多项式此时微分方程(1)成为可设方程(4)的特解为约去 ,得分三种情形讨论此式：(1)设 不是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 根，即 .设方程(4)的一个特解为 将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，得到含有未知系数 的(m+1)个方程，由此定出(m+1)个未知系数 ，从而得到方程(4)的特解 . (2)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 单根，即 .设方程(4)的一个特解为将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，定出(m+1)个未知系数 得到方程(4)的特解 . (3)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的重根，即 .设方程(4)的一个特解为将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，定出(m+1)个未知系数 ,得到方程(4)的特解 . 小结：对于二阶常系数线性非齐次微分方程(4)设方程(4)的特解为Qm是与Pm同次的多项式，即k的取法为(1)当 不是对应齐次方程的特征根时，取k=0,(3)当 是对应齐次方程的重特征根时，取k=2.(2)当 是对应齐次方程的单特征根时，取k=1,例2 求微分方程解，故得对应齐次方程的通解为解而 是特征方程的重根，取k=2.因此，设例3(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.(2)再求所给方程的一个特解y*.解例4此时，二阶常系数线性非齐次微分方程(1)成为方程(6)有如下形式的特解其中a，b为待定系数，k的取法如下： 例5解原方程的一个特解为(2)再求所给方程的一个特解y*.(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.例6解 所给的方程得例7解