第二节第二节 函数的极限函数的极限三、单侧极限三、单侧极限四、自变量趋向无穷大时函数的极限四、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限二、函数极限的性质二、函数极限的性质五、两个重要极限五、两个重要极限7/27/20241x的变化趋势有的变化趋势有:自变量的变化过程自变量的变化过程7/27/20242一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限问题问题:7/27/202431. x x0 时时 f (x) 的极限的极限定义定义 若存在常数若存在常数 A ,对对任意给定的正数任意给定的正数 0, 总总存在正数存在正数 0,只要只要 f 的定义域中的点的定义域中的点 x 满足满足0|x x0| 时时，恒恒有有 |f(x) A|B,则由定理3,7/27/202415性质性质3 (3 (局部保号性局部保号性) )7/27/202416性质性质3 7/27/202417性性质质4 若若极极限限 (或或 )存存在在，则极限是惟一的则极限是惟一的.2. 极限的惟一性极限的惟一性7/27/202418证证不妨设不妨设 A B ,由定义由定义, 对对故极限若存在则必唯一故极限若存在则必唯一.7/27/202419性质性质6性质性质6 3. 有极限的函数的有极限的函数的局部局部有界性有界性7/27/2024204.函数极限的归并性函数极限的归并性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义性质性质7 利用函数极限的归并性利用函数极限的归并性,我们可以利用数我们可以利用数列极限的结论来推导函数极限的类似结论列极限的结论来推导函数极限的类似结论.7/27/202421证证: 必要性必要性7/27/202422充分性7/27/202423 于是,可得一数列xnx0,xnx0,而右边一列则说明数列f(xn)不以A为极限, 此与假设矛盾.充分性得证.函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. .定理给出了函数极限与数列极限的关系定理给出了函数极限与数列极限的关系:7/27/202424例如例如,7/27/202425判别极限不存在的一个方法判别极限不存在的一个方法7/27/202426例例1证证7/27/202427二者不相等二者不相等,7/27/202428准则准则 I称为称为夹逼准则夹逼准则.性质性质5.5.收敛准则收敛准则5.极限收敛准则极限收敛准则7/27/202429证证利用数列极限的存在准则得利用数列极限的存在准则得:由函数极限的归并性,就证明了函数极限:7/27/202430例例1 17/27/202431极限的运算法则极限的运算法则1. 极限运算法则极限运算法则定理定理7/27/202432证证利用数列极限的四则运算法制则得利用数列极限的四则运算法制则得:从而就证明了函数极限的四则运算法则.7/27/202433推论推论1 1即：常数因子可以提到极限记号外面即：常数因子可以提到极限记号外面.极限运算的线性性质：极限运算的线性性质：极限运算的线性性质可推广到有限个函数的情形极限运算的线性性质可推广到有限个函数的情形.7/27/202434推论推论2 2有限个函数乘积的极限等于各函数极限的乘积有限个函数乘积的极限等于各函数极限的乘积.推论推论3 37/27/2024352. 求极限方法举例求极限方法举例例例1 1解解7/27/202436小结小结: :7/27/202437解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 27/27/202438解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)7/27/202439例例4 4解解7/27/202440(2) 解解例例7/27/202441(3) 解解(分母或分子有理化分母或分子有理化)例例7/27/202442解解7/27/202443