反比例函数的图象反比例函数的图象与性质与性质本课内容本节内容1.2 我们已经学习了用我们已经学习了用“描点法描点法”画一次函数的图象，画一次函数的图象，并且知道一次函数的图象是一条直线，那么怎样画反比并且知道一次函数的图象是一条直线，那么怎样画反比例函数例函数 （k为常数，为常数，k 0）的图象呢的图象呢？它的图象的它的图象的形状是怎样的呢形状是怎样的呢？探究探究如何如何画反比例函数画反比例函数 的图象的图象？列表列表：由于自变量：由于自变量x的取值范围是所有非零实数的取值范围是所有非零实数，因此，因此， 让让x取一些负数值和一些正数值，并取一些负数值和一些正数值，并且计算出相且计算出相 应的函数值，列成下表：应的函数值，列成下表：x- -6- -5- -4- -3- -2 - -1.5 - -111.523456- -1 - -1.2 - -1.5 - -2- -3- -4- -664321.5 1.21描点：描点：在平面直角坐标系内，以在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，取的值为横坐标， 相应的函数值相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点为纵坐标，描出相应的点. . 如下图所示如下图所示. . 观察左图，观察左图，y轴右边的轴右边的各点，当横坐标各点，当横坐标x逐渐增大逐渐增大时，纵坐标时，纵坐标y如何变化如何变化？ y轴左边的各点是否也轴左边的各点是否也有相同的规律有相同的规律？当当x0时，函数值时，函数值y随自变量随自变量x的增大而减小；的增大而减小；当当x0时，也有这一规律时，也有这一规律.我们可以证明：对于反比例函数我们可以证明：对于反比例函数 ， 连线连线：根据以上分析，我们可以把：根据以上分析，我们可以把y轴右边各点和左边轴右边各点和左边 各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来. . 从从 看出，看出，x取任意非零实数，都有取任意非零实数，都有y0，因此这两支曲线与因此这两支曲线与x轴都不相交轴都不相交. .由于由于x不能取不能取0 ，因此这两支曲线与因此这两支曲线与y轴也都不相交轴也都不相交. . 这样就画出了这样就画出了 的图象，如下图所示的图象，如下图所示. .做一做做一做 在下图所示的直角坐标系内，画出反比例函数在下图所示的直角坐标系内，画出反比例函数 的图象的图象. .（2）在每一象限内，函数值在每一象限内，函数值y随自变量随自变量x的变化如的变化如 何变化何变化？（1）每个函数的图象分别位于哪些象限每个函数的图象分别位于哪些象限？观察画出的观察画出的 ， 的图象，思考下列问题的图象，思考下列问题： 议一议议一议议一议议一议议一议议一议 可以发现这两个函数的图可以发现这两个函数的图象均由两支曲线组成，且分别象均由两支曲线组成，且分别位于第一、三象限位于第一、三象限. . 对于对于y轴右边的点，当自变量轴右边的点，当自变量x逐渐增大时，函数值逐渐增大时，函数值y反而减小；反而减小；对于对于y轴左边的点也有这一性质轴左边的点也有这一性质. . 一般地，当k 0时，反比例函数 的图象由分别在第一由分别在第一、三象限内的两支曲线组成三象限内的两支曲线组成，它们它们与与x轴轴、y轴都不相交轴都不相交，在每个象限内在每个象限内，函数值函数值y随随自变量自变量x 的增大而减小的增大而减小. .结论结论1. 画出下列反比例函数的图象：画出下列反比例函数的图象：练习练习 解解 探究探究 的图象与的图象与 的图象有什么关系的图象有什么关系？ 如何画反比例函数如何画反比例函数 的图象的图象？ 当当x=3时，时， 的函数值为的函数值为- -2，而，而 的的函数值为函数值为2在平面直角坐标系内，点在平面直角坐标系内，点A（3，- -2）与与B（3，2）关于关于x轴对称，如下图所示轴对称，如下图所示: : 类似地，当类似地，当x取任一非零实数取任一非零实数a时，时， 的函数值的函数值为为 ，而，而 的函数值为的函数值为 ，从而都有点，从而都有点P( (a， ) )与点与点Q( (a， ) )关于关于x轴对称，因此轴对称，因此 的图象与的图象与 的图象的图象关于关于x轴对称轴对称. . 于是只要把于是只要把 的图象沿着的图象沿着x轴翻折并将轴翻折并将图象图象“复制复制”出来，就得到出来，就得到 的图象，如下图中的的图象，如下图中的红色曲线所示红色曲线所示 从图中看出从图中看出： 的图象由分别在第二、四的图象由分别在第二、四象限的两支曲线组成，它们与象限的两支曲线组成，它们与x轴、轴、y轴都不相交，轴都不相交，在每个象限内，函数值在每个象限内，函数值y随自变量随自变量x的增大而增大的增大而增大. . 类似地，当类似地，当k 0时，反比例函数时，反比例函数 的图象与的图象与 的图象关于的图象关于x 轴对称轴对称从而当从而当k0时，反比例函时，反比例函数数 的图象的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与组成，它们与x轴、轴、y轴都不相交，在每个象限内，函轴都不相交，在每个象限内，函数值数值y随自变量随自变量x的增大而增大的增大而增大. 由于我们已经知道了当由于我们已经知道了当k 0时反比例函数时反比例函数 的图象的性质，因此今后画反比例函数的图象的性质，因此今后画反比例函数 （k 0）的图象时，只要的图象时，只要“列表、描点、连线列表、描点、连线”三个步骤就可三个步骤就可以了以了. .举举例例例例1 画反比例函数画反比例函数 的图象的图象. .列表列表：让让x取一些非零实数，并计算出相应的函数值取一些非零实数，并计算出相应的函数值y， 列成下表列成下表.x- -6- -5- -4- -3- -2- -11234561246- -6- -4- -2- -1描点描点：在平面直角坐标系内，以在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，取的值为横坐标， 相应的函数值相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点为纵坐标，描出相应的点. .连线连线：把把y 轴左边各点和右边各点分别用一条轴左边各点和右边各点分别用一条 光滑曲线顺次连接起来，就得到了函数光滑曲线顺次连接起来，就得到了函数 的图象，如下图所示的图象，如下图所示. .结论结论综上所述，我们综上所述，我们得到得到： 反比例函数反比例函数 （k为常数，为常数，k0）的图的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为双曲线双曲线. .练习练习画出下列反比例函数的图象：画出下列反比例函数的图象：( (1) )( (2) )( (1) ) 解解 ( (2) )动脑筋动脑筋（1） 求求k 的值，的值， 并写出该函数的表达式；并写出该函数的表达式； （2） 判断点判断点A（- -2，- -4），B（3，5）是否在这个函数是否在这个函数 的图象上；的图象上；（3） 这个函数的图象位于哪些象限这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限内，在每个象限内， 函数值函数值y 随自变量随自变量x 的增大如何变化的增大如何变化？ 已知反比例函数已知反比例函数 的图象经过点的图象经过点P （2，4）.（1） 求求k 的值，的值， 并写出该函数的表达式；并写出该函数的表达式； 解解 因为反比例函数因为反比例函数 的图象经过点的图象经过点 P（2，4）， 即点即点P 的坐标满足这一函数表达式，的坐标满足这一函数表达式， 因而因而 ， 解得解得 k = 8. 因此，这个反比例函数的表达式为因此，这个反比例函数的表达式为 . （2） 判断点判断点A（- -2，- -4），B（3，5）是否在这个函数是否在这个函数 的图象上；的图象上；解解 把点把点A，B 的坐标分别代入的坐标分别代入 ，可知点，可知点A 的坐的坐 标满足函数表达式，点标满足函数表达式，点B的坐标不满足函数表达的坐标不满足函数表达 式，所以点式，所以点A 在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上，点B 不在这不在这 个函数的图象上个函数的图象上.解解 因为因为k0，所以这个反比例函数的图象位于第，所以这个反比例函数的图象位于第 一、一、 三象限，在每个象限内，函数值三象限，在每个象限内，函数值y随自变量随自变量x的增大的增大 而减小而减小.（3） 这个函数的图象位于哪些象限这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限内，在每个象限内， 函数值函数值y 随自变量随自变量x 的增大如何变化的增大如何变化？ 例例2 下图是反比例函数下图是反比例函数 的图象的图象. .根据图象，回答根据图象，回答下列问题：下列问题： （1）k 的取值范围是的取值范围是k 0还是还是k 0？说明理由；说明理由； （2）如果点）如果点A（- -3， ），B（- -2 ， ）是该函数图象是该函数图象 上的两点，试比较上的两点，试比较 ， 的大小的大小.（1）k 的取值范围是的取值范围是k 0还是还是k 0？说明理由；说明理由；解解 由图可知，反比例函数由图可知，反比例函数 的图象的两支曲的图象的两支曲 线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，线分别位于第一、三象限内，在每个象限内， 函数值函数值y随自变量随自变量x的增大而减小，因此，的增大而减小，因此，k 0. .解解 因为点因为点A( (- -3， ），B（- -2， ）是该图象上的两点，是该图象上的两点， 且且- -3 0，- -2 0，所以点，所以点A，B 都位于第三象限都位于第三象限. . 又因为又因为- -3 - -2，由反比例函数图象的性质可知：，由反比例函数图象的性质可知： . . （2）如果点）如果点A（- -3， ），B（- -2 ， ）是该函数图象是该函数图象 上的两点，试比较上的两点，试比较 ， 的大小的大小.例例3 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点交于点P（- -3，4）. .试求出它们的表达式，并在同一试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象坐标系内画出这两个函数的图象.举举例例 由于这两个函数的图象交于点由于这两个函数的图象交于点P（- -3，4），则点，则点P （- -3，4）是这两个函数图象上的点，是这两个函数图象上的点， 即点即点P的坐标的坐标 分别满足这两个表达式分别满足这两个表达式.因此因此解得解得 ， ，其中，其中 ， 为常数，且均不为零为常数，且均不为零. .设正比例函数、反比例函数的表达式分别为设正比例函数、反比例函数的表达式分别为 ，解解因此，这两个函数表达式分别为因此，这两个函数表达式分别为 和和 ， 它们的图象如图所示它们的图象如图所示. .P 1.已知反比例函数已知反比例函数 的图象经过点的图象经过点M（- -2，2）. . （1）求这个函数的表达式；）求这个函数的表达式； （2）判断点）判断点A（- -4，1），B（1，4）是否在这个函数是否在这个函数 的图象上；的图象上；练习练习 （3）这个函数的图象位于哪些象限）这个函数的图象位于哪些象限？函数值函数值y随自随自 变量变量x 的增大如何变化的增大如何变化？（1）求这个函数的表达式；）求这个函数的表达式； 因为反比例函数因为反比例函数 的图象经过点的图象经过点 ， 即点即点M的坐标满足这一函数表达式，的坐标满足这一函数表达式， 因而因而 ， 解得解得 k=- -4. 因此，这个反比例函数的表达式为因此，这个反比例函数的表达式为 .M（- -2，2）解解（2）判断点）判断点A（- -4，1），B（1，4）是否在这个函是否在这个函数的图象上；数的图象上； 把点把点A，B 的坐标分别代入的坐标分别代入 ，可知点，可知点A 的的 坐标满足函数表达式，坐标满足函数表达式， 点点B的坐标不满足函数表的坐标不满足函数表 达式，所以点达式，所以点A 在这个函数的图象上，在这个函数的图象上， 点点B 不在不在 这个函数的图象上这个函数的图象上.解解解解 因为因为k 0，所以这个反比例函数的图象位于第，所以这个反比例函数的图象位于第 二、四象限，在每个象限内，函数值二、四象限，在每个象限内，函数值y随自变量随自变量 x的增大而增大的增大而增大. （3）这个函数的图象位于哪些象限）这个函数的图象位于哪些象限？函数值函数值y随自随自 变量变量x 的增大如何变化的增大如何变化？由题意已知在反比例函数已知在反比例函数 的图象的每一支曲线的图象的每一支曲线上，函数值上，函数值y 随自变量随自变量x 的增大而增大，求的增大而增大，求m 的取的取值范围值范围. 如果点如果点M（- -2， ），N（- -4， ）是该图象是该图象上的两点，试比较函数值上的两点，试比较函数值 ， 的大小的大小. 2.解解由题意可知反比例函数由题意可知反比例函数 的图象位于的图象位于第二、四象限，第二、四象限，所以所以 m+30.所以所以 m- -3.又又的图象的每一支曲线上，函数值的图象的每一支曲线上，函数值 y 随自变量随自变量x 的增大而增大，的增大而增大，的自变量的自变量 M（- -2，y1）和和N（- -4，y2）所以所以y2 0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大D.当当x0时，时，y随随x的增大而增大，故的增大而增大，故选选C. .C中考中考 试题试题例例2二、四二、四 反比例函数反比例函数 的图象在第的图象在第 象限象限.解析解析反比例函数反比例函数 中中k=- -1，图象在第二、四象限图象在第二、四象限. .结结 束束