上海大学物理二第五章上海大学物理二第五章5- 1 刚体转动的描述刚体转动的描述 一、刚体的基本运动一、刚体的基本运动平动：平动： 刚体在运动过程中，其上任意两点刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。的连线始终保持平行。可以用质点力学的可以用质点力学的方法来处理刚体的方法来处理刚体的平动问题。平动问题。注：注：一般运动一般运动=平动平动 (质心的运动质心的运动)+绕质心的转动绕质心的转动转动：转动： 刚体上所有质点都绕同一直线作圆刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。条直线称为转轴。定轴转动：定轴转动：转轴固定不动的转动。转轴固定不动的转动。二、描述刚体定轴转动的物理量二、描述刚体定轴转动的物理量角速度的大小：角速度的大小：由右手螺旋法则确定。由右手螺旋法则确定。角速度角速度 的方向：的方向：角速度的矢量性角速度的矢量性角加速度角加速度:匀匀加加速速转转动动例题例题1 1 一飞轮转速一飞轮转速n= =1500r/min，受到制动后均匀，受到制动后均匀 地减速，经地减速，经t t=50 s=50 s后静止。后静止。（1 1）求角加速度）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过和飞轮从制动开始到静止所转过 的转数的转数N；（2 2）求制动开始后）求制动开始后t=25=25s 时飞时飞 轮的轮的角角速度速度 ；（3 3）设飞轮的半径）设飞轮的半径r=1=1m，求在，求在 t=25=25s 时边缘上一点的速时边缘上一点的速 度和加速度。度和加速度。 0vanatarO解解 （1 1）设初角度为）设初角度为 0 0方向如图所示，方向如图所示，量值为量值为 0 0 =2=21500/60=501500/60=50 rad/s, 在在t =50=50S 时刻时刻 =0=0 从开始制动到静止，飞轮的角位移从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数及转数N 分别为分别为 （2 2）t =25=25s 时飞轮的角速度为时飞轮的角速度为 的方向与的方向与 0 0相同相同 ； 的方向几乎和的方向几乎和 相同。相同。（3 3）t t=25=25s 时飞轮边缘上一点时飞轮边缘上一点P 的速度的速度和加速度。和加速度。 0vanatarO例题例题2 2 一飞轮在时间一飞轮在时间t t内转过角度内转过角度 at+bt3-ct4 , ,式中式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。都是常量。求它的角加速度。解：解：飞轮上某点角位置可用飞轮上某点角位置可用 表示为表示为 at+btat+bt3 3-ct-ct4 4将此式对将此式对t t求导数，即得飞轮角速度的表达式为求导数，即得飞轮角速度的表达式为角加速度是角速度角加速度是角速度对对t t的导数，因此得的导数，因此得由此可见飞轮作的是变加速转动。由此可见飞轮作的是变加速转动。应用牛顿第二定律，可得：应用牛顿第二定律，可得：O对刚体中任一质量元对刚体中任一质量元-外力外力- -内力内力采用自然坐标系，上式切向分量式为：采用自然坐标系，上式切向分量式为：O5-2 转动定律转动定律用用 乘以上式左右两端：乘以上式左右两端： 设刚体由设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将类似方程，将N 个方程左右相加，得：个方程左右相加，得： 根据内力性质根据内力性质( (每一对内力等值、反向、共每一对内力等值、反向、共线线, ,对同一轴力矩之代数和为零对同一轴力矩之代数和为零) )，得：，得：得到：得到： 上上式式左左端端为为刚刚体体所所受受外外力力的的合合外外力力矩矩，以以M 表表示示；右右端端求求和和符符号号内内的的量量与与转转动动状状态态无无关关，称称为为刚刚体转动惯量，以体转动惯量，以J 表示。于是得到表示。于是得到刚体定轴刚体定轴刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律转动定律转动定律（2 2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；的力矩为正；惯性大小的量度；惯性大小的量度；转动惯量是转动转动惯量是转动（1） M 一定一定，J讨论：讨论：按转动惯量的定义有按转动惯量的定义有5.3 转动惯量转动惯量比较比较：平动定律平动定律 转动定律转动定律 转动惯量是转动中惯性大小的量度转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。质元的质量质元的质量质元到转轴的距离质元到转轴的距离质量连续分布的质量连续分布的刚体刚体， 写成积分形式写成积分形式例例5.2 求质量为求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解解:J是可加的，所以若为薄圆筒是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。（不计厚度）结果相同。RRO例题例题5.35.3 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为质量为m，密度均匀。密度均匀。rRdr解：解：设圆盘的质量面密度为设圆盘的质量面密度为 ，在圆盘上取一半径为在圆盘上取一半径为r、 宽度为宽度为d dr的圆环（如图），环的面积为的圆环（如图），环的面积为2 rdr，环的环的 质量质量dm= 2 rdr 。可得可得例题例题5.45.4 求质量为求质量为m、长为、长为 l 的均匀细棒对下面的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量：三种转轴的转动惯量： （1 1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2 2）转轴通过棒的一端并和棒垂直）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3 3）转轴通过棒上距中心为转轴通过棒上距中心为h的一点的一点 并和棒垂直。并和棒垂直。解解:(1)建立坐标系，分割质量元建立坐标系，分割质量元hJ 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关与刚体质量、质量分布、轴的位置有关(2)建立坐标系，分割质量元建立坐标系，分割质量元（3）建立坐标系，分割质量元）建立坐标系，分割质量元讨论：影响刚体转动惯量的因素讨论：影响刚体转动惯量的因素3）刚体转轴的位置）刚体转轴的位置:1）刚体的质量：）刚体的质量：2）刚体的质量分布：）刚体的质量分布： 形状、大小相同的均匀刚体，总质量越大，形状、大小相同的均匀刚体，总质量越大，转动惯量越大。转动惯量越大。 总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大转动惯量越大圆环圆环J=mR2,圆盘圆盘J=1/2mR2 同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布就不同，因而转动惯量也就不同。就不同，因而转动惯量也就不同。ABL/2L/2CX平行轴定理平行轴定理平行轴定理平行轴定理 刚体绕平行于质心轴的转动刚体绕平行于质心轴的转动惯量惯量 J，等于绕质心轴的转动，等于绕质心轴的转动惯量惯量 JC 加上刚体质量与两轴加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积：间的距离平方的乘积： 刚体绕质心轴的转动惯量最小刚体绕质心轴的转动惯量最小如：如：mCA圆环圆环圆盘圆盘球体球体圆柱圆柱细杆细杆R R例例1.计算钟摆的转动惯量计算钟摆的转动惯量.（已知摆锤质量为（已知摆锤质量为m，半径为，半径为r，摆杆质量也为，摆杆质量也为m，长度为，长度为2r）ro解：解：摆杆转动惯量：摆杆转动惯量：摆锤转动惯量：摆锤转动惯量：钟钟摆转动惯量：摆转动惯量：组合定理：组合定理：例例1:1:质量为质量为M=16kgM=16kg的实心滑轮，半径为的实心滑轮，半径为R=0.15mR=0.15m。一根细。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m m的物体。求静止开始的物体。求静止开始1 1秒钟后物体下降的距离及绳子的张力。秒钟后物体下降的距离及绳子的张力。解：解：mMmmgT5-4 5-4 转动定律的应用转动定律的应用转动定律的应用转动定律的应用m1m2MT1T2m2gRmMm1m2RT1T2m1gm2gm2 m1例例:mm1m2R1T1T2m1gm2gM1R2M2m2 m1m1m2m2gm1gTT1T2R1M1R2M2例例2 2：一半径为一半径为R R，质量为，质量为m m的均匀圆盘平放在粗糙的的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初水平面上。若它的初角速度为角速度为 o o，绕中心，绕中心o o旋转，问旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为 ）oRRdrdrr r解：解：P167：例题例题5.5，5.6，5.75-5 角动量守恒角动量守恒一一. . 刚体的角动量刚体的角动量刚体上的任一质元刚体上的任一质元, ,绕固定轴做圆周运动角动量为绕固定轴做圆周运动角动量为：质点对点的角动量为：质点对点的角动量为：所以刚体绕此轴的所以刚体绕此轴的角动量角动量为：为：二、二、 刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律 角动量守恒定律：角动量守恒定律：若一个系统一段时间内所若一个系统一段时间内所受合外力矩受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角动量恒为零，则此系统的总角动量L L 为为一恒量。一恒量。恒量恒量b. .若系统由若干个刚体构成若系统由若干个刚体构成, ,当合外力矩为零时当合外力矩为零时, ,系系 统的角动量依然守恒。统的角动量依然守恒。J J 大大 小小, ,J J 小小 大。大。讨论：讨论：a. .对于绕固定转轴转动的刚体，因对于绕固定转轴转动的刚体，因J J 保持不变，保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。当合外力矩为零时，其角速度恒定。= =恒量恒量= =恒量恒量LABABCC常平架上常平架上的回转仪的回转仪xROMm例例5.9 一个质量为一个质量为M, 半径为半径为R的水平均匀圆盘可绕通过中的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。在心的光滑竖直轴自由转动。在盘缘上站着一个质量为盘缘上站着一个质量为m 的人，二者的人，二者最初都相对地面静止。当人在盘上沿最初都相对地面静止。当人在盘上沿盘边走一周时，盘对地面转过的角度盘边走一周时，盘对地面转过的角度多大？多大？解解:角动量守恒角动量守恒.初态系统角动量为零初态系统角动量为零设人对盘的设人对盘的角速度角速度为为1盘对地的盘对地的角速度角速度为为2例例5.105.10 图图中中的的宇宇宙宙飞飞船船对对其其中中心心轴轴的的转转动动惯惯量量为为J= 2 10 3kg m2 ，它它以以 =0.2rad/s的的角角速速度度绕绕中中心心轴轴旋旋转转。宇宇航航员员用用两两个个切切向向的的控控制制喷喷管管使使飞飞船船停停止止旋旋转转。每每个个喷喷管管的的位位置置与与轴轴线线距距离离都都是是r =1.5m。两两喷喷管管的的喷喷气气流流量量恒恒定，共是定，共是 =2kg/s. .废气的喷射速率（相对废气的喷射速率（相对于飞船周边）于飞船周边）u=50m/s，并且恒定并且恒定. . 问喷管应喷问喷管应喷射多长时间才能使飞船射多长时间才能使飞船停止旋转。停止旋转。rdm/2dm/2u- -u L0Lg解解: : 把飞船和排出的废气看作一个系统，把飞船和排出的废气看作一个系统，在整个喷射过在整个喷射过程中，系统所受的对于飞船中心轴的外力矩为零，所以程中，系统所受的对于飞船中心轴的外力矩为零，所以系统对于此轴的角动量守恒，即系统对于此轴的角动量守恒，即L0=L1 在在喷喷气气过过程程中中，以以dm表表示示dt时时间间内内喷喷出出的的气气体体，这这些些气气体体对对中中心心轴轴的的角角动动量量为为dm r(u+v)，方方向向与与飞飞船船的的角角动动量量相相同同。因因u=50m/s远远大大于于飞飞船船的的速速率率v(= r) ，所所以以此此角角动动量量近近似似地地等等于于dm ru。在在整整个个喷喷气气过过程程中中喷喷出出废废气气的的总总的角动量的角动量Lg应为应为 当当宇宇宙宙飞飞船船停停止止旋旋转转时时，其其角角动动量量为为零零。系系统统这这时时的的总角动量总角动量L L1 1就是全部排出的废气的总角动量，即为就是全部排出的废气的总角动量，即为由角动量守恒由角动量守恒: :即即于是所需的时间为于是所需的时间为:例例例例1 1、质量为质量为M，长为，长为2l的均质细棒，在竖直平面内可的均质细棒，在竖直平面内可饶中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为饶中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的的小球以速度小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为完全弹性碰垂直落到棒的一端上。设为完全弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度撞。求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。以及棒的角速度。ou u解：解：解：解：由系统角动量守恒由系统角动量守恒机械能守恒机械能守恒例例2.2.如图所示如图所示, , 一质量为一质量为m 的的子弹以水平速度射入一静止悬子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端于顶端长棒的下端, , 穿出后速穿出后速度损失度损失3/4,3/4,求子弹穿出后棒的求子弹穿出后棒的角速度角速度 。已知棒长为。已知棒长为l, , 质量质量为为M. .v0vmM解解: : 子弹和棒的总角动量守恒子弹和棒的总角动量守恒问问: :子弹和棒的总动量守恒吗子弹和棒的总动量守恒吗? ? 为什么为什么? ?例例3 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为： A=50=50rad. .s-1-1, , B=200=200rad. .s-1-1。已知。已知A A 圆盘半径圆盘半径RA A=0.2m, =0.2m, 质量质量mA A=2kg, =2kg, B B 圆盘的半径圆盘的半径RB B=0.1m, =0.1m, 质量质量mB B=4kg. =4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度试求两圆盘对心衔接后的角速度 . . 解：解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过以两圆盘为系统，尽管在衔接过程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因此系统角间切向摩擦力属于内力。因此系统角动量守恒，得到动量守恒，得到P171：例题例题5.85.6 5.6 转动中的功和能转动中的功和能转动中的功和能转动中的功和能 一、转动动能一、转动动能一、转动动能一、转动动能动能动能： miz转动惯量：转动惯量：转动动能：转动动能：二、力矩的功和功率二、力矩的功和功率力矩的功：力矩的功：力矩功率：力矩功率：常力矩：常力矩：力的功等于力矩的功力的功等于力矩的功00 力的功力的功恒力矩的功恒力矩的功:三、刚体定轴转动的动能定理三、刚体定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理：定轴转动的动能定理： 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所作合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。的功等于刚体转动动能的增量。四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能一个不太大的刚体的重力势能相当于质量集一个不太大的刚体的重力势能相当于质量集中于质心时的重力势能中于质心时的重力势能五、刚体定轴转动的功能原理五、刚体定轴转动的功能原理 功能原理、功能原理、机械能守恒定律机械能守恒定律等都适用于含有刚体的系统等都适用于含有刚体的系统 。直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动P174：例题例题5.11解：解：据机械能守恒定律：据机械能守恒定律：例例5.125.12 一个质量为、半径为的一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。时的速度和此时滑轮的角速度。mg XOmgC例例5.13 最初棒静止在水平位置最初棒静止在水平位置, 求它由此下摆求它由此下摆 角时角时质心的角速度和速度。质心的角速度和速度。解：解：力矩的功力矩的功机械能守机械能守恒定律恒定律例例1、如图所示，一根长如图所示，一根长l，质量为，质量为m的均匀杆静止在一光的均匀杆静止在一光滑水平面上。杆的中点有一竖直光滑固定轴。一个质量为滑水平面上。杆的中点有一竖直光滑固定轴。一个质量为m的小球以水平速度的小球以水平速度 v0 垂直于棒冲击其一端并粘上。求垂直于棒冲击其一端并粘上。求碰撞后球的速度碰撞后球的速度 v 和棒的角速度和棒的角速度 以及由此产碰撞而损失的机械能。以及由此产碰撞而损失的机械能。解：解：以棒和球为系统以棒和球为系统, 碰撞过程中碰撞过程中外力矩为零，角动量守恒。外力矩为零，角动量守恒。初态：初态：末态：末态：O由碰撞而损失的机械能为由碰撞而损失的机械能为(势能不变势能不变)：初态机械能：初态机械能：机械能的损失为：机械能的损失为：末态机械能：末态机械能：例例2 2、一质量为一质量为m m，长为，长为l l的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在o o点，距点，距A A端端l l/3/3。今使棒从静止开始由水平位置绕。今使棒从静止开始由水平位置绕o o点转动，点转动，求：（求：（1 1）水平位置的角速度和角加速度。（）水平位置的角速度和角加速度。（2 2）垂直）垂直位置时的角速度和角加速度。位置时的角速度和角加速度。解：解：coBA（1 1）mg（2 2）coBA mg（3）*垂直位置时轴的支持力垂直位置时轴的支持力F=?例例3 一长为一长为l 、质量为、质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴的匀质细杆，可绕光滑轴O 在铅直在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹水平射入与的子弹水平射入与轴相距为轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到 =300，求子弹的初速求子弹的初速v0。解：解：(1) 角动量守恒角动量守恒:(2) (2) 机械能守恒机械能守恒: :势能零点势能零点例例4、一质量为一质量为M M，半径，半径R R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为有质量为m m的物体。问物体由静止下落高度的物体。问物体由静止下落高度h h时，其速度为时，其速度为多大？求下落过程中物体的加速度？多大？求下落过程中物体的加速度？mmMMmm解：解：解得：解得：T TmgmgM、m 、绳、地球系统机械能守恒：、绳、地球系统机械能守恒：系统角动量为：系统角动量为：例例例例5 5 5 5、均质细杆长均质细杆长2l2l，以垂直于杆的速度，以垂直于杆的速度v v在瞬时与支在瞬时与支点点A A碰撞。求：（碰撞。求：（1 1）碰撞后杆的角速度。（）碰撞后杆的角速度。（2 2）碰撞）碰撞后机械能损失多少？后机械能损失多少？vl/22lA作业作业: 习题（习题（P35） 2，6，8，911，12，15，19，20结束结束