第7讲 预期效用理论到目前为止，我们的讨论都是在确定的经济环境中进行的，即涉及的价格、收入、需求等变量都是确定的。然而经济活动并非总是在确定的环境中进行，比如贷款消费同未来收入有关，而未来是不确定的；股票的购买与股票价格有关，而股票价格的变化是不确定的。这种在带有不确定性的环境中的消费可能更为常见，更符合现实，因此有必要研究不确定环境中的消费选择问题。所谓不确定性，通常是说人们不能确定某种经济行为一定会产生某种结果。但经济学中，人们对这个词的含义作了严格界定，区分了两类不相同但有联系的不确定性概念：风险性与无常性。风险性风险性(risk)是指人们虽然不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，但能够确定发生某种结果的可能性大小，或者说，经济行为产生某种结果的概率是客观存在的。无常性无常性(uncertainty)是指人们既不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，又不能确定发生某种结果的可能性大小。本讲研究不确定环境中的行为准则，内容包括：(1)风险环境中的选择理论预期效用预期效用；(2)无常环境中的选择理论主观概率主观概率。1一、不确定性选择的事例我们先来讨论不确定选择的几个典型事例，并作一些分析。例例1 1 彩票彩票(lottery)发行彩票是一种常见的低成本筹资手段。购买彩票有可能获得奖品，甚至可能获得大奖，有些人就是靠购买彩票碰运气发了家。彩票的种类很多，不同的彩票有着不同的中奖概率分布。面对众多的彩票，消费者究竟是依据什么样的准则进行选择的？他究竟喜欢购买哪一种彩票？这是我们关心的问题。例例2 2 赌博赌博(gamble)赌博是一种典型的依靠随机因素来决定收入的现象，用它可来区别一个人是风险爱好者还是风险厌恶者还是风险中立者。当把通常的体育比赛、打麻将、玩扑克等游戏与收入紧密联系起来时，它们就成了赌博。我们关心的是，当消费者面对一种赌博的时候，他是依据什么来决定参加还是不参加赌博的？例例3 3 择业择业(job-choice)职业各种各样，有些职业具有稳定的收入，而有些职业的收入不稳定，与绩效挂钩。因此，择业也是一种不确定选择问题。2(一) 抽彩选择 现有两种奖品相同的彩票：福利彩票和足球彩票，抽彩者如中奖，即可得自行车一辆。假定福利彩票的中奖概率为p (不中奖的概率便是1-p)，足球彩票的中奖概率为 q (不中奖的概率便是1- q)。购买者如果中奖，就可获得U1个单位的效用；如不中奖，则获得U2个单位的效用(实际上是损失 U2个单位的效用)。 问：抽彩者人喜欢购买哪一种彩票？ 要回答这个问题，需要计算这两种彩票的预期效用，即计算效用的数学期望。用 EU 表示福利彩票的预期效用，EV 表示足球彩票的预期效用：EU = pU1 + (1- p)U2，EV = qU1 + (1- q)U2。 抽彩人究竟会购买哪一种彩票，取决于 EU 与 EV 的比较。如果 EU EV ，则购买福利彩票会预期给购买者带来更大的效用，因而抽彩人更喜欢福利彩票。这样，抽彩人的选择是购买福利彩票。如果 EU 1 p ，q u(50)，即甲参加赌博的预期效用大于不赌的效用，那么甲会参加赌博。如果 EV v(50)，即乙参加赌博的预期效用大于不赌的效用，那么乙会参加赌博。只有当 EU u(50) 且 EV v(50) 时，这场赌博才能开展起来。否则，就有一方不愿意打赌。可见，一个人是否接受赌博，关键看他打赌的预期效用是否大于不赌的效用。 一般地描述一个赌博，则可以这样来说：赌博是一种游戏，输者赢得W1 元(W1 0)；输的概率为 p，赢的概率为1 p。这个赌博可表示为: G = (W1, p; W2,1 p)。某人现有收入W 元，货币收入效用函数为U (r)。如果他不接受赌博 G，则收入 W 元不变，效用为U(W )；如果他接受赌博G, 则预期收入ER和预期效用EU分别为： ER = ER (G,W ) = p (W + W1) + (1 p) (W + W2) EU = EU (G,W ) = p U (W + W1) + (1 p) U (W + W2)82. 公平的赌博对于赌博 G = (W1, p; W2,1- p)，如果 ER (G,W ) = W，即赌博的预期收入等于不赌的收入，则称 G 是公平赌博。不公平赌博分为两种：盈性赌博和亏性赌博。盈性赌博简称盈赌, 是指参赌的预期收入大于不赌的收入: ER(G,W ) W ；亏性赌博简称亏赌, 是指参赌的预期收入小于不赌的收入：ER(G,W ) 0；(3) G 是亏性赌博当且仅当 pW1 + (1- p)W2 2。那么，这个人究竟会选择哪一种工作呢？11工作选择取决于对待风险的态度工作选择取决于对待风险的态度 在这种预期收入相同，但风险不同的两种作面前，一个人究竟选择哪一种工作，取决于他对待风险的态度。如果他是一个风险厌恶者，不喜欢去冒险，那么他就会选择收入比较稳定、风险较小的第二种工作；相反，如果他是一个风险爱好者，喜欢冒险，认为不冒险就发不了财，那么他就会选择有获得高收入的机会但风险较大的第一种工作。 如果两种工作的预期收入不同，比如说第一种工作在 “干得好”和 “干不好” 两种情况下的月收入都比上面所述的收入多 100 元，第二种工作的收入情况还是如上，则 ER1 = 1600(元)，ER2 = 1500(元)。1 = 0.5(2100-1600) + 0.5(1100-1600) = 250000 2 = 0.99(1510-1500) + 0.01(510-1500) = 9900 第一种工作虽然比第二种具有更多的预期收入，但同时也比第二种工作承担更大的风险。富有挑战精神的人(即使为风险厌恶者)可能会选择第一种工作，保守的人可能会选择第二种工作。 在这种预期收入不同、风险不同的工作面前，要回答人们究竟如何具体选择的问题，需要对风险行为进行深入的研究。 12二、预期效用上述事例表明了这样一种现象：在不确定环境中，人们是根据预期效用进行决策的。也就是说，如果消费者对各种带有不确定性的选择方案有一个评价的话，那么这种评价肯定是根据某种预期效用作出的。我们不禁要问：事情真是这样吗？对不确定性行为进行评价的背后果真有预期效用作为支持吗？为了回答这个问题，我们先来研究风险环境中的消费者行为准则，建立预期效用理论。 所谓风险环境是指这样的一种选择环境，其中人们的选择究竟会出现哪种结果依赖于一些自然状态，而这些自然状态出现与否是随机的。不过这种环境中，任何随机事件发生的概率都是客观确定的，不会因人而异。彩票环境就是一种典型的风险选择环境，每种彩票在发行之时都要公布各种奖励的数量以及彩票发行的数量，因而彩票中奖的概率分布从客观上讲是确定的。用 表示风险环境中影响人们选择结果的自然状态的集合，称为(自然)状态空间。用 F 表示 上的事件域，其中每个事件发生的概率都客观存在；用 P : F 0,1 表示事件域 F 上这个客观存在的概率测度。于是, (,F,P) 就是风险环境中客观存在的、影响人们选择结果的概率空间。 (,F,P)也就代表着人们所处的风险环境也就代表着人们所处的风险环境。 13(一) 风险选择集合 假定有 l 种商品供人们选择，即商品空间为 R 。设一切可能的选择结果的全体为集合 S R。称为确定性选择集合确定性选择集合。于是, 风险环境可表示为(S ; , F, P)。 在风险环境中，虽然消费者还是选择 S 中的商品向量，但究竟选择哪个向量则与哪个自然状态出现有关。 若用 x 代表消费者的风险选择，那么 x 的选择结果与 的元素有关：当状态出现时就选择 x()S。即, 风险环境中人们的选择行为是状态空间 上的随机向量。鉴于此，我们用 X 表示所有这样的随机向量的全体：X = X (S ) = x | x : S 是(, F, P)上的随机向量并称 X 为风险选择集合，它表示了风险环境中所有可能且可行的风险选择行为。为了正确理解风险选择集合，需要注意以下两点：ll(1)在 为无限集合的情况下，事件域 F 不是 的幂集。这说明，确实有些事件无法把握，其发生的可能性大小根本不可测。风险环境排除了这类事件(如果包含这类事件，那就是不肯定性了)。(2)并非从 到 S 的任何映射都能代表风险行为。 作为风险行为，就必然要求能够把握行为的风险大小，因而要求必须是随机向量。141. 风险选择与确定性选择的关系 我们得到了两种不同的选择集合：确定性选择集合 S 和风险选择集合 X ，它们之间的关系值得注意。对于 xX ，如果存在 sS 使得 Px() = s =1, 即x() = s 对几乎所有的 成立，则称 x 是退化的风险行为，记作 xs。显然, 任何 sS 都可看成是退化的风险行为： s() = s。这样，我们就有 S X (S )，即风险选择集合 X 是确定性选择集合 S 的扩充。 另外，几乎处处相等的随机向量可视为相同的随机向量。因此，退化的风险行为 xs 也可看成是确定性选择行为 s。 行为 x = (x1, x2, xl)X 的数学期望 Ex = (Ex1, Ex2, Exl) 叫做 x 的预期(向量)。退化的风险行为 xs 的预期就是 s , 即 Exs = s。 一般情况下，我们都希望风险行为的预期是确定性选择集合 S中的向量，这就涉及到对 S 中的向量进行加权平均和取极限，因而要求确定性选择集合S 是凸闭集。今后，凡是需要凡是需要 S 为凸闭集的时为凸闭集的时候，就假定候，就假定 S 为凸闭集，为凸闭集，而不再赘述。 在 S 是凸闭集的假定下，我们有 (xX )( ExS )。因此，风险行为的预期是一种确定性选择行为。152. 风险行为的分布函数表示 随机向量可以用分布函数加以描述，因而风险行为可用其分布函数来表示。风险行为 xX 的分布函数 f 是商品空间 R 上的一个实值函数：(tR )( f (t) = Px() t)。分布函数 f 的密度函数 是满足下面三个条件的 l 元实值函数： 由于随机向量 x 取值于集合 S 之中：( ) ( x()S )，因此可认为 x 的分布密度函数 在集合 S 之外取零值：(tR -S ) ( (t) = 0)。 既然随机向量可与其分布函数(或密度函数)等同看待，风险选择集合X(S )也就可用分布函数集合D(S )来表示： D = D (S ) = f : f 是 X 中的随机向量的分布函数用D (S )代替 X (S )的好处在于D (S )是凸集合。事实上，任何两个分布函数 f 和 g 的加权平均 p f + (1- p) g 都依然是分布函数( 0 p 1)。问题在于 p f + (1- p) g 是否是 X 中的随机向量的分布函数。因此, 要认识 D (S )的凸性，需要解释 p f + (1- p) g的含义。下面就来解释之。lll16 象复合彩票一样，两种风险行为 x, yX 也可以复合。对任何实数 p0, 1，用 p x (1- p) y 表示这样行为：以概率 p 采取行为x，以概率1- p采取行为y，则 p x (1- p) y 也是 X 中的风险行为，称为 x 与 y 的复合行为。 注意, p x (1- p) y与 p x + (1- p) y的含义截然不同。 设 A 为某个概率为 p的事件，则 p x (1- p) y 表示：若事件 A 发生, 按照 x 进行随机选择；若 A 未发生, 按照 y 进行选择。即当A时，( p x (1- p) y)() = x()；当A时，( p x (1- p) y)() = y()。 计算 p x (1- p) y 的概率分布：设 x 的分布函数为 f ，y 的分布函数为 g；对于任意的 tR ，用 B 表示事件 p x (1- p) y t ，根据全概率公式 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A )P(B|A )( A 表示 A 的余事件)可知： P(B) = P p x (1- p) y t = P(A) P p x (1- p) y t | A + P(A ) P p x (1- p) y t | A = p Px t + (1- p) Py u(B)。由此可知：u(100)11% u(110)10% + u(0)1%在此式两边加上 u(0)89% 可得：u(100)11% + u(0)89% u(110)10% + u(0)90%即 u(C ) u(D)，这与实际调查结果 D C 相矛盾。可见，预期效用理论有着不切实际的地方和时候。28(二) 关于主观概率的悖论(Ellsberg Paradox) 袋中有红球、蓝球和绿球共300个，其中红球100个。现有四种形式的赌博 A、B、C、D： A ：从袋中摸出一球，如果为红球，可得1000元。 B ：从袋中摸出一球，如果为篮球，可得1000元。 C ：从袋中摸出一球，若不是红球，可得1000元。 D ：从袋中摸出一球，若不是篮球，可得1000元。 面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率。 通过调查发现，大多数人基本上都认为 A B 且 C D 。作出这种评价的原因可能在于 A 的确定性比 B 高，C 的确定性比 D 高。 用 P 表示赌博者的主观概率测度， u 表示在这个概率测度下的预期效用函数。用 F 表示摸出红球这一事件，G 表示摸出蓝球这一事件。则 F 表示摸出的球不是红球，G 表示摸出的球不是蓝球。 令 p = P(F )，q = P(G )。则 P(F ) = 1- p， P(G ) = 1- q 。计算这四种赌博的效用，可得到： c c c c29Ellsberg Paradox 从 A B 知：( p- q) u(1000) ( p- q) u(0)。 从 C D 知：( p- q) u(1000) ( p- q) u(0)。 这是两个矛盾的不等式！可见，按照主观概率理论，根本不可能让 A B 和 C D 同时成立。然而，调查得到的事实却是如此。因此，主观概率理论也有不切实际的地方和时候。 对于理论与实际之间的这种相悖，一些经济学家认为是理论不完善，需要建立新的理论来解释不确定性行为。而另一些经济学家则认为出现这些悖论的原因在于人们发生了 “视觉错误”。比如，有些时候人们无法判断距离，但这并不意味着要发明一种新的距离概念。因此，预期效用和主观概率理论是正确的。30