第九节第九节 复变函数的导数复变函数的导数与解析函数与解析函数 数学系数学系 贺贺 丹丹第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用29.1 9.1 复变函数导数的概念与性质复变函数导数的概念与性质第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用3设复变函数设复变函数 f 在在 内有定义内有定义,如果极限如果极限存在存在,则称函数则称函数 f 在在 处处可导可导,并称此极限值为并称此极限值为f在点在点 处的处的导数导数,记为记为 ,即即或记为或记为 定义定义结论结论：可微则可导，且：可微则可导，且若函数若函数 在区域在区域 D 内的每一点都可导，则称内的每一点都可导，则称在在 D 内可导内可导. 第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用4例例1. 求求 ( 为正整数为正整数 ) 的导数的导数.解：解：第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用5例例2可导必可导必连续连续,连连续不一续不一定可导定可导第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用6第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用7第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用8第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用9定理定理9.1 （可导的必要条件）可导的必要条件）第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用10例例3证明：证明：第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用11第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用12定理定理9.2 （可微的充要条件）可微的充要条件）第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用13第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用14第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用15由定义由定义9.2可知：可知：9.2 解析函数解析函数一、解析函数一、解析函数第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用16由定理由定理9.2即得：即得：定理定理9.3 （判断解析的充要条件）判断解析的充要条件）第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用17解：解：第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用18解：解：第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用19解解:第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用20解解:第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用21证明证明:第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用22二、调和函数二、调和函数第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用23解：解：第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用24 9.3 初等函数初等函数1. 1. 指数指数函数函数性质：性质：注意注意：第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用252.2.三角函数三角函数性质：性质：， ， 第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用26第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用273. 3. 对数对数函数函数说明：说明：第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用28性质：性质：第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用29解解:第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用304.4.幂函数幂函数性质：性质：第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用31解：解：第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用32 习习 题题 5.95.9 （P72P72）作作1(2)(4)1(2)(4)；2(1)(3)2(1)(3)；3(2)3(2)；9(3)(4)9(3)(4)；10(1)(2)(4)10(1)(2)(4)；1212；13(1)(2)13(1)(2)；1414。业业