专题讲座-根系关系专题讲座-根系关系一、综合题的特征：一、综合题的特征： 综合题是指涉及知识、技能较多，在解法上应综合题是指涉及知识、技能较多，在解法上应用数学思想方法较多，条件较隐蔽，题目的构思较用数学思想方法较多，条件较隐蔽，题目的构思较新颖，新颖， 结构较复杂的一类题目结构较复杂的一类题目. . 按内容可分为代数综合题、几何综合题、代数按内容可分为代数综合题、几何综合题、代数几何综合题几何综合题. . 按结构可分为串联型综合题与并联型综合题按结构可分为串联型综合题与并联型综合题. .以初三知识为主以初三知识为主方程思想，转化思想，分类讨论思想，数形方程思想，转化思想，分类讨论思想，数形结合思想和配方法，换元法，待定系数法等结合思想和配方法，换元法，待定系数法等. .一、综合题的特征： 综合题是指涉及知识、技能较二、解综合题的关键二、解综合题的关键 1.1.熟练掌握双基是解综合题的基础熟练掌握双基是解综合题的基础双基教学到位双基教学到位双基训练到位双基训练到位双基落实到位双基落实到位二、解综合题的关键 1.熟练掌握双基是解综合题的基础双基教2.2.分析综合法是探求综合题解题思路的分析综合法是探求综合题解题思路的 基本方法基本方法 解答综合题首先要认真解答综合题首先要认真审题审题，明确数，明确数学语言的含义，分清题设和结论，挖掘隐学语言的含义，分清题设和结论，挖掘隐含条件的意义与题设条件之间的联系，但含条件的意义与题设条件之间的联系，但最关键的是最关键的是沟通已知条件与未知结论之间沟通已知条件与未知结论之间的联系，的联系，获得正确的解题途径，这时分析获得正确的解题途径，这时分析综合法是最有效的方法综合法是最有效的方法. .2.分析综合法是探求综合题解题思路的 解答综合 分析法分析法是指从问题的结论出发，探求是指从问题的结论出发，探求结论成立所需要的条件的思维方法结论成立所需要的条件的思维方法. 即即从从未知想需知未知想需知. 综合法综合法是指从问题的题设出发，通过一是指从问题的题设出发，通过一系列已经确定的命题，逐步推演、导出结论系列已经确定的命题，逐步推演、导出结论的思维方法的思维方法. 即即由已知想可知由已知想可知 分析综合法分析综合法：从已知和结论两头夹击，：从已知和结论两头夹击，寻求已知与未知之间的联系寻求已知与未知之间的联系. . 3. 3.数学思想方法是解综合题的灵魂数学思想方法是解综合题的灵魂 平时教学要注意渗透，要有意识地用平时教学要注意渗透，要有意识地用 分析法是指从问题的结论出发，探求结论成立所需三、解综合题的程序三、解综合题的程序（4 4步）步）1.1.检索解题信息检索解题信息 2.2.确定主攻方向确定主攻方向 3.3.分析因果联系分析因果联系 4.4.重视解后反思重视解后反思 已知条件已知条件隐含条件隐含条件解题方案解题方案已知与未知已知与未知三、解综合题的程序（4步）1.检索解题信息 2.确定主攻方向无无论论多多么么复复杂杂的的综综合合题题，检检索索题目信息是解题的前提题目信息是解题的前提. .一一要要把把题题目目中中给给出出的的条条件件，即即把把“明明”的信息摆出来；的信息摆出来；二二要要把把题题目目中中隐隐藏藏的的性性质质，即即把把“暗暗”的信息挖出来。的信息挖出来。可可以以说说检检索索题题目目信信息息是是解解综综合合题的基础。题的基础。1 1、检索解题信息：、检索解题信息： 无论多么复杂的综合题，检索题目信息是解题的前提.1、检索解题2 2、确定主攻方向：、确定主攻方向： 在在解解综综合合题题时时，要要根根据据检检索索的的信信息息和和以以往往经经验验确确定定一一个个主主攻攻方方向向，从从而而使使思思路路集集中中起起来来，当当主主攻攻方方向向遇遇到到阻阻碍碍，推推进进无无序序时时，可可以以适适当当调调整整思思路路，从从新新的的角角度度去去寻求解题思路寻求解题思路. .2、确定主攻方向： 在解综合题时，要根据检索的信息和3 3、分析因果联系：、分析因果联系： 题题设设和和结结论论之之间间必必须须架架起起一一座座桥桥梁梁，才才能能沟沟通通它它们们之之间间的的联联系系，要要广广开开思思路路，善善于于寻寻求求知知识识之之间间的的联联系系，灵灵活活处理问题。处理问题。3、分析因果联系： 题设和结论之间必须架起一4 4、解后反思：、解后反思： 解解后后反反思思是是对对分分析析过过程程，解解题题过过程程的的重重新新审审视视，看看看看有有无无偏偏差差，有有无无遗遗漏漏，有有无无“陷陷阱阱”等等，在在解解题题过过程程中中有有什什么么规规律律、思思想想、方方法法以以及及常常见见的的解解题题思思路路、解解题题途途径径等等，这这样样可可以以使使思思路路更更加加严严谨谨有有序序，在教学中应给予重视。在教学中应给予重视。4、解后反思： 解后反思是对分析过程，解题过程5、常规综合题仍唱、常规综合题仍唱主角主角 在代数综合题中，常规综合题仍唱主角。在代数综合题中，常规综合题仍唱主角。代代数数综综合合题题涉涉及及的的主主要要知知识识点点一一般般有有：一一元元二二次次方方程程根根的的判判别别式式，一一元元二二次次方方程程根根与与系系数数的的关关系系，函数的图象及性质等函数的图象及性质等. . 代代数数综综合合题题多多以以一一元元二二次次方方程程根根的的判判别别式式及及根根与与系数关系和求函数解析式的题目出现系数关系和求函数解析式的题目出现. . 代代数数综综合合题题主主要要包包括括三三方方面面：一一是是方方程程型型综综合合题题；二二是是函函数数型型综综合合题题；三三是是方方程程与与函函数数相相结结合合型型综综合题合题. . 要要求求学学生生有有扎扎实实的的基基础础知知识识和和灵灵活活运运用用知知识识，分分析解决问题的能力。析解决问题的能力。5、常规综合题仍唱主角 在代数综合题中，常规综合题仍唱主四、近年中考综合题命题方向：四、近年中考综合题命题方向： 1.1.过于繁难的综合题有所减少过于繁难的综合题有所减少2.2.结合图象特点求解的综合题结合图象特点求解的综合题 有所增多有所增多 3.3.隐含条件的题目频频出现隐含条件的题目频频出现 4.4.新型题逐渐增多新型题逐渐增多 5.5.常规综合题仍唱主角常规综合题仍唱主角 四、近年中考综合题命题方向： 1.过于繁难的综合题有所减少2五五、代数综合题、代数综合题方程方程 与函数与函数 函数函数方程方程知识：知识：与一元二次方程有关的知识与一元二次方程有关的知识 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 与函数有关的知识与函数有关的知识 函数的图象和性质函数的图象和性质 一元二次方程和二次函数的关系一元二次方程和二次函数的关系五、代数综合题方程 与函数 函数方程知识：与一元二次方程有熟练掌握一元二次方程和二次函数间关系熟练掌握一元二次方程和二次函数间关系 一元二次方程：一元二次方程：ax2 + bx + c = 0（a0） 二次函数：二次函数：y = ax2 + bx + c（a0） 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式= b24ac 0，一元二次方程有两个不相等实数根，一元二次方程有两个不相等实数根， 抛物线与抛物线与x轴有两个交点轴有两个交点 =0，一元二次方程有两个相等实数根，一元二次方程有两个相等实数根， 抛物线与抛物线与x轴有一个交点（两交点重合）轴有一个交点（两交点重合） 0 0 ，x x1 1x x2 20 0 ，x x1 1+ x+ x2 200 一元二次方程有两个正实数根一元二次方程有两个正实数根 抛物线与抛物线与x x轴两交点在轴两交点在x x轴正半轴上轴正半轴上. . OA= xOA= x1 1 ，OB= xOB= x2 2 O O，x x1 1x x2 2O O ，x x1 1+ x+ x2 2O0 ，x1x20 ，x1+ x20 O， O，x1x2O 一元二次方程有一正根，一负根，一元二次方程有一正根，一负根， 正根绝对值大正根绝对值大 抛物线与抛物线与x轴两交点一个在轴两交点一个在x轴轴 正半轴上，另一个在正半轴上，另一个在x轴负半轴上，轴负半轴上， 且正半轴上点到原点距离大且正半轴上点到原点距离大. OA= x1 OB= x2 OBOA O，x1x2O O，x1x2O ，x1+ x2OB熟练掌握双基，掌握各知识点之间熟练掌握双基，掌握各知识点之间内在联系，是解综合题的基础内在联系，是解综合题的基础. O，x1x2O ，x1+ x20-4(-n+3)0 （3）(m - - 6)2 - - 4(7 - - n) = = 0（4）- - (m 4)2 4(5 n)0m=2,把把m=2代入（代入（3）,得得n=3.例4 已知m、n均为整数,并且方程:x2-mx-n+例例5 5 （北京市（北京市9494年年中考试题）中考试题） 已知已知x x1 1,x,x2 2是关于是关于x x的方程的方程x x2 2+m+m2 2x+n=0x+n=0的两的两个实数根；个实数根；y y1 1,y,y2 2是关于是关于y y的方程的方程y y2 2+5my+7=0+5my+7=0的的两个实数根，且两个实数根，且x x1 1-y-y1 1=2, x=2, x2 2-y-y2 2=2,=2,求求m m、n n的值的值. . （海淀（海淀9696年年中考试题）中考试题） 已知已知x x1 1,x,x2 2（x x1 1x0 ,得到得到 k 由由 k 且且k为整数为整数 得到得到k=0，1分析：由=94（2k1）0 得到k 由反比 例例7（99年北京市中考试题）年北京市中考试题） 已知：二次函数已知：二次函数 y = x2 + 2ax2b +1 和和 y =x2 +（a3）x + b21 的图象都经过的图象都经过x轴上两个不同轴上两个不同 的点的点M、N， 求求: a、b的值的值. 例7（99年北京市中考试题） 分析：分析： 设设M（x1 ，0）、）、N（x2 ，0） ，x1x2 由由x1 ，x2是是x2 + 2ax2b + 1 = 0两个实数根，两个实数根， 得到得到 x1+ x2 = 2a， x1x2= 2b+1 由由x1 ，x2是是x2 +（a3）x + b21=0的两个实数的两个实数 根，根， 得到得到 x1+ x2 = a3 ，x1x2=1b2 求出求出a、b值后，要进行检验，看函数图象是否与值后，要进行检验，看函数图象是否与x轴轴 有两个交点，再决定取舍有两个交点，再决定取舍 当当a=1、b=0时，时，=0，y = x2 +2ax2b +1与与x轴轴 只有一个交点，应舍去只有一个交点，应舍去.建立方程思想建立方程思想 得到得到 或或 分析：求出a、b值后，要进行检验，看函数图 例例8 （2003年北京市中考题）年北京市中考题）已知：关于已知：关于x的方程的方程x22mx +3m = 0 的两个实数根是的两个实数根是x1 ，x2 ，且且 （x1x2）2=16，如果关于如果关于x的的 另一个方程另一个方程x22mx + 6m9 = 0 的两个实数根都在的两个实数根都在x1和和x2之间，之间， 求求: m的值的值. 例8 （2003年北京市中考题）分析：分析：由由x1 ，x2是方程是方程x22mx + 3m = 0两个实数根两个实数根, 得得 x1+ x2 =2m ， x1x2 =3m 由（由（x1x2）2=16 即：（即：（x1+ x2）24x1x2 =16 得得 4m22m =16, 得得 m1= 1 ，m2 =4 当当m= 1时，时， 方程方程为为x2 +2x3=0 , x1= 3 ， x2=1 方程方程为为x2 +2x15=0 x3= 5 ，x4=3 5，3不在不在3和和1之间，不合题意之间，不合题意 当当 m= 4 时，时， 方程方程为为x28x +12=0 ， x1=2 ，x2=6 方程方程为为x28x +15=0 ， x3=3 ，x4=5 2356 符合题意符合题意 分析：由x1 ，x2是方程x22mx + 3m = 0两 例例9（2003年北京市中考题年北京市中考题改改） 已知：抛物线已知：抛物线 y=x22mx +3m 与与x轴交于轴交于两点（两点（x1 ，0）和（和（x2 ，0）且（且（x1x2）2=16，如果另一抛物线如果另一抛物线 y=x22mx + 6m9 与与x轴的轴的两个交点都在点（两个交点都在点（x1，0）和（和（x2，0）之间，之间， 求求: m的值的值. 例9（2003年北京市中考题改） 例例10 10 （北京市（北京市9595年年中考试题）中考试题）已知已知x x1 1,x,x2 2是关于是关于x x的方程的方程4 4x x2 2-(3m-5)x-6m-(3m-5)x-6m2 2=0=0的两个实数根的两个实数根, ,且且 , ,求求m m的值的值. . 例10 （北京市95年中考试题）分析：分析：由题意知由题意知x1+ x2= ， x1x2= m2 = 2 44（6 m2）0若关于若关于m的一次不等式，先解出的一次不等式，先解出m范围，再求值范围，再求值 若关于若关于m的二次不等式（不解），先求的二次不等式（不解），先求m值，后值，后 检验检验分析：由题意知x1+ x2= ， x1 由由 = 知去掉绝对值符号时，知去掉绝对值符号时， 存在两种情况，要考虑正、负，关键是存在两种情况，要考虑正、负，关键是 确定确定x1与与x2是同号？还是异号？于是转是同号？还是异号？于是转 化为由化为由x1x2= m2 0 由 = 知去掉绝对例例11 （2005年北京市中考试题）年北京市中考试题） 关于关于x的方程的方程(a+2)x2-2ax+a=0有两有两个不相等的实数根个不相等的实数根x1和和x2，并且抛物线并且抛物线y=x2-(2a+1)x+2a-5与与x轴的两个交点分轴的两个交点分别位于点别位于点(2,0)的两旁的两旁. (1)求实数求实数a的取值范围；的取值范围； (2)当当 时，求时，求a的值的值.例11 （2005年北京市中考试题）例例12 （2005年石景山一模试题）年石景山一模试题） 已知关于已知关于x方程方程x2+(2m+1)x+m-5=0（1）求证：无论求证：无论m取何值时，方程总有两取何值时，方程总有两 个不相等的实数根；个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都小于若方程的两个实数根都小于2，求，求m 的取值范围的取值范围. 例12 （2005年石景山一模试题）例例13 （2004年北京市中考试题）年北京市中考试题） 已知：关于已知：关于x的两个方程的两个方程2x2+(m+4)x+m-4=0与与mx2+(n-2)x+m-3=0 方程方程有两个不相等的负实数根，方程有两个不相等的负实数根，方程有两有两个实数根个实数根. （1）求证方程）求证方程的两根符号相同；的两根符号相同； （2）设方程）设方程的两根分别为的两根分别为、，若若：=1:2, 且且n为整数，求为整数，求m的最小整数值。的最小整数值。例13 （2004年北京市中考试题）专题讲座-根系关系专题讲座-根系关系 例例14 14 （20052005年海淀区中考试题）年海淀区中考试题） 已知抛物线已知抛物线 y=xy=x2 2-mx+m-2-mx+m-2 （1 1）求证此抛物线与求证此抛物线与x x轴有两个不同的交点；轴有两个不同的交点； （2 2）若若m m是整数，抛物线是整数，抛物线y=xy=x2 2-mx+m-2-mx+m-2与与x x轴交于轴交于整数点，求整数点，求m m的值；的值； （3 3）在）在(2)(2)的条件下，设抛物线顶点为的条件下，设抛物线顶点为A ,A ,抛物抛物线与线与x x轴的两个交点中右侧交点为轴的两个交点中右侧交点为B.B.若若M M为坐标轴上为坐标轴上一点，且一点，且MA=MB,MA=MB,求点求点M M的坐标的坐标. . 例14 （2005年海淀区中考试题） 例例15 （2001年北京市海淀区）年北京市海淀区）已知：关于已知：关于x的方程的方程 x22（k+1）x + k2 +2k1=0 求证：对于任意实数求证：对于任意实数k，方程方程总有两个不相等总有两个不相等 的实数根；的实数根； 如果如果a是关于是关于 y 的方程的方程 y2（x1+ x22k）y+（x1k）（）（x2k）=0 的根，其中的根，其中x1 ，x2 为方程为方程 的两个实数根，的两个实数根， 求代数式（求代数式（ ） 的值的值. 例15 （2001年北京市海淀区）分析：分析： 欲证方程欲证方程总有两个不相等的实数根，只须证总有两个不相等的实数根，只须证0 0 此题此题=80=80，若，若是一个含有是一个含有k k的代数式，经常用到配方法的代数式，经常用到配方法 由根与系数关系可知由根与系数关系可知 x x1 1 + x+ x2 2 =2=2（k+1k+1） x x1 1x x2 2 = k= k2 2 +2k1+2k1 代入第代入第个方程中，可得到关于个方程中，可得到关于y y的方程的方程 y y2 22y1=02y1=0 （消掉待定系数消掉待定系数k k） a a是关于是关于y y的方程的根，代入可转化为关于的方程的根，代入可转化为关于a a的方程的方程 a a2 22a1=02a1=0， 求出求出a a的值，的值， 再求代数式值即可再求代数式值即可. . 通过解方程求通过解方程求a a，再代入求值很繁，应注意解题技巧，再代入求值很繁，应注意解题技巧， 将将a a2 2 = 2a+1= 2a+1整体代入，可简化运算整体代入，可简化运算. .分析： 由根与系数关系可知 x1 + x2 =2（k+1） 例例16 已知：关于已知：关于x的方程的方程x2 + 3x + m = 0 的两个实数根的倒数和等于的两个实数根的倒数和等于3；关于关于x的方程的方程（k1）x2 +3x2m = 0 有实数根有实数根, 且且k为正整数，为正整数，求代数式求代数式 的值的值. 例16当当m =1m =1时，方程时，方程为为x x2 2 + 3x1=0+ 3x1=0有实有实 数根数根, , 方程方程转化为（转化为（k1k1）x x2 2 + 3x +2=0+ 3x +2=0 由由于于方方程程没没有有指指明明是是一一元元二二次次方方程程，因因 此二次项系数要分等于此二次项系数要分等于0 0与不等于与不等于0 0两种两种 情况进行讨论情况进行讨论 分析分析： 设设方方程程的的两两个个实实数数根根为为x x1 1 ，x x2 2 ，由由根根与与 系数关系得系数关系得 x x1 1+ x+ x2 2= 3= 3，x x1 1 x x2 2=m=m， 又知又知 + = 3, + = 3, 可得可得m= m= 1 1 当m =1时，方程为x2 + 3x1=0有实 当当k1=0时，方程时，方程为一元一次方程为一元一次方程 3x +2=0 有实数根有实数根 k=1 = 0 当当k10时，方程时，方程是一元二次方程是一元二次方程 （k1）x2 +3x +2 = 0 由由=98（k1）0，可求出可求出k ， 又由又由k取正整数，取正整数，k1 得得 k=2 当当k=2时，时， 没有意义，没有意义， k=2舍去舍去 =0当k1=0时，方程为一元一次方程当k10时，方程 例例17 17 已知：二次函数已知：二次函数 y = xy = x2 2(2m+4) x + m(2m+4) x + m2 244 （x x为自变量）的图象与为自变量）的图象与y y轴的交点在原点轴的交点在原点 的下方，与的下方，与x x轴交于轴交于A A、B B两点，点两点，点A A在点在点B B 的左边，且的左边，且A A、B B两点到原点的距离两点到原点的距离AOAO、OBOB 满足满足3 3（OBAOOBAO）=2AO=2AOOB .OB .直线直线y=kx +ky=kx +k 与这个二次函数图象的一个交点与这个二次函数图象的一个交点 为为P P，且且 锐角锐角POBPOB正切值为正切值为4.4. 求这个二次函数的解析式；求这个二次函数的解析式； 确定直线确定直线y=kx + ky=kx + k的解析式的解析式. . 例17 由由3（OBAO）=2AOOB ，得到得到 3（x2 + x1）=2x2x1 从而转化为关于从而转化为关于m的一元二次方程的一元二次方程 3（2m + 4）=2（m24） 求出待定系数求出待定系数 m =1，m = 2（舍去）舍去）. 进而确定二次函数解析式进而确定二次函数解析式 y = x22x3分析：分析：由抛物线与由抛物线与y轴交点在原点下方，得到轴交点在原点下方，得到 m240 ， m2由根与系数关系知由根与系数关系知 x1+ x2=2m+40 ；x1x2= m24 0. 由直线由直线y = kx + k与抛物线交点与抛物线交点P（x ，y） 可知坐标可知坐标x ，y是方程组是方程组 的解，的解， 得到得到 或或 可得到可得到P（1，0）或或P（k+3，k2+4k） 由由tanPOB = 4 知知 = 4 或或 =4 分类讨论，求出直线解析式分类讨论，求出直线解析式 y =2 x+2 或或y = 2x 2 由B（3，0），POB为锐角， 由直线y = kx例例18 18 （20022002年北京市丰台区）年北京市丰台区） 已知：抛物线已知：抛物线 y = xy = x2 2（2a+12a+1）x + ax + a2 2 + a + a (a (a0)0)，经过点经过点A A（x x1 1，0 0）和和B B（x x2 2，0 0） 两点，其中两点，其中x x1 1x x2 2，且且x x1 12 2 + x+ x2 22 2=13.=13.求：（求：（1 1）求这条抛物线的解析式及顶点坐标；）求这条抛物线的解析式及顶点坐标； （2 2）若点）若点C C（5 5，y y1 1）在这条抛物线上，问在这条抛物线上，问 在在y y轴上是否存在点轴上是否存在点P P，使使BCPBCP为直角为直角 三角形，若存在，求出点三角形，若存在，求出点P P的坐标，并的坐标，并 写出直线写出直线PCPC的解析式；若不存在，请说的解析式；若不存在，请说 明理由明理由. .例18 （2002年北京市丰台区） 求：（1）求这条抛物线例例19 （2003年重庆市中考题）年重庆市中考题） 已知：抛物线已知：抛物线y= x2 +（m4）x+2m+4 与与x轴交于点轴交于点A（x1，o），），B（x2，o）两点，两点， 与与y轴交于点轴交于点C，且且x1 x2 ，x1+2x2 = 0，若若 点点A关于关于y轴轴 的对称点是点的对称点是点D.求：求： 过过C、B、D的抛物线的解析式的抛物线的解析式 若若P是（是（1）中所求抛物线的顶点，）中所求抛物线的顶点， H是这条抛物线上异于点是这条抛物线上异于点C的另一点，的另一点， 且且HBP与与CBD面积相等，求直线面积相等，求直线 PH的解析式的解析式.例19 （2003年重庆市中考题）由由x1=2m8，x2=m + 4代入代入 得到得到m1 = 2 m2 = 7由由x1 x2 ，2m8m + 4，得得m 4，所以所以m = 7（舍去）舍去） m=2时，抛物线时，抛物线 y =x22x + 8与与x轴交点轴交点 A（4，0）, B（2，0） , C（0，8） 点点A关于关于y轴对称点轴对称点D（4，0）. 过过C、B、D抛物线解析式为抛物线解析式为 y = a（x2）（）（x4）, a = 1 即：即：y = x26x+8分析：分析： 根据题意得根据题意得 由x1=2m8，x2=m + 4代入 得到m1 = 由由P（3，1），），H（6，8）,可求可求PH解析式解析式 y = x26x + 8 = (x3)21， 顶点顶点P（3，1），）， 设设H（x，y），），由由SBCD = SHBD， 由顶点知点由顶点知点H只在只在x轴上方，轴上方， 得得 = 8 , y= 8 将将y = 8代入代入y = x26x + 8中中 得得x = 6或或x = 0 所以所以H（6，8）或或H（0，8），）， 由由H与与C点不同点不同, 得得H（6，8） 由P（3，1），H（6，8）,可求PH解析式 y 例例20 20 已知：二次函数已知：二次函数 y = xy = x2 2(2m+4) x + m(2m+4) x + m2 244 （x x为自变量）的图象与为自变量）的图象与y y轴的交点在原点轴的交点在原点 的下方，与的下方，与x x轴交于轴交于A A、B B两点，点两点，点A A在点在点B B 的左边，且的左边，且A A、B B两点到原点的距离两点到原点的距离AOAO、OBOB 满足满足3 3（OBAOOBAO）=2AO=2AOOB .OB .直线直线y=kx +ky=kx +k 与这个二次函数图象的一个交点与这个二次函数图象的一个交点 为为P P，且且 锐角锐角POBPOB正切值为正切值为4.4. 求这个二次函数的解析式；求这个二次函数的解析式； 确定直线确定直线y=kx + ky=kx + k的解析式的解析式. . 例20 由由3（OBAO）=2AOOB ，得到得到 3（x2 + x1）=2x2x1 从而转化为关于从而转化为关于m的一元二次方程的一元二次方程 3（2m + 4）=2（m24） 求出待定系数求出待定系数 m =1，m = 2（舍去）舍去）. 进而确定二次函数解析式进而确定二次函数解析式 y = x22x3分析：分析：由抛物线与由抛物线与y轴交点在原点下方，得到轴交点在原点下方，得到 m240 ， m2由根与系数关系知由根与系数关系知 x1+ x2=2m+40 ；x1x2= m24 0. 由直线由直线y = kx + k与抛物线交点与抛物线交点P（x ，y） 可知坐标可知坐标x ，y是方程组是方程组 的解，的解， 得到得到 或或 可得到可得到P（1，0）或或P（k+3，k2+4k） 由由tanPOB = 4 知知 = 4 或或 =4 分类讨论，求出直线解析式分类讨论，求出直线解析式 y =2 x+2 或或y = 2x 2 由B（3，0），POB为锐角， 由直线y = kx例例21 已知已知: :如图如图, ,把矩形纸片把矩形纸片OABCOABC放入直角坐标系放入直角坐标系XOYXOY中中, ,使使OAOA、 OC OC分别落在分别落在x x轴、轴、y y轴的正半轴上轴的正半轴上, ,连结连结AC,AC,将将ABCABC沿沿ACAC翻翻 折折, ,点点B B落在该坐标平面内落在该坐标平面内, ,设这个落点为设这个落点为D,CDD,CD交交x x轴于点轴于点E.E. 如果如果CE=5,OCCE=5,OC、OEOE的长是关于的长是关于x x的方程的方程x x2 2+(m-1)x+12=0+(m-1)x+12=0的的 两个根两个根, ,并且并且OCOE.OCOE. （1 1）求点求点D D的坐标；的坐标； （2）如果点如果点F F是是ACAC的中点的中点, ,判断点判断点(8,-20)(8,-20)是否在过是否在过D D、F F两点的直线上两点的直线上, ,并说明理由并说明理由. .xyOCBADEF例21 已知:如图,把矩形纸片OABC放入直角坐标系XOY5DxyOCBAEGHF分析分析:(1)要求要求D点的坐标，需知点的坐标，需知D到两坐标轴的距离，到两坐标轴的距离， 由由CE=5及及OCOC、OEOE的长是关于的长是关于x x的方程的方程x x2 2+(m-1)x+12=0+(m-1)x+12=0 的两个根的两个根, ,并且并且OCOEOCOE 再由翻折及矩形的性质，可得再由翻折及矩形的性质，可得COE ADE. 可求得可求得DG、DH.作辅助线作辅助线: DHyy轴于轴于H H，DGxDGx轴于轴于G.G.（2）要）要判断点判断点(8,-20)(8,-20)是否在过是否在过 D D、F F两点的直线上两点的直线上 只须求出直线只须求出直线DF的解析式的解析式可求出可求出OC、OE的长的长.5DxyOCBAEGHF分析:(1)要求D点的坐标，需知D到感谢聆听