4. 4. 矩阵的转置运算矩阵的转置运算定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .例例转置矩阵的运算性质：（与其它运算的关系）转置矩阵的运算性质：（与其它运算的关系）例例1 1 已知已知解法解法1解法解法2对称矩阵、反对称矩阵对称矩阵、反对称矩阵定义定义设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 称为称为对称阵对称阵.1.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。说明说明2.方阵分为：对称矩阵、反对称矩阵、非对称也非反对称矩阵三类，方阵分为：对称矩阵、反对称矩阵、非对称也非反对称矩阵三类，所谓判断一个矩阵的对称性指的是：确定该矩阵属于哪一类。所谓判断一个矩阵的对称性指的是：确定该矩阵属于哪一类。判断矩阵对称性方法：判断矩阵对称性方法：例例2例例3例例4例例5 5 设列矩阵设列矩阵 满足满足 证明证明5. 5. 方阵的多项式方阵的多项式说明：说明：1. 1. 一元多项式中，所有的变元都换成一元多项式中，所有的变元都换成矩阵矩阵A,A,常数项要乘一个单位矩阵常数项要乘一个单位矩阵; ;2. 2. 多元矩阵多项式是同阶方矩阵，相多元矩阵多项式是同阶方矩阵，相互相乘或与数相乘得到的表达式互相乘或与数相乘得到的表达式; ;方阵的多项式因式分解：方阵的多项式因式分解：方阵的多项式因式分解：方阵的多项式因式分解：分解成加余项例1 矩阵的因式分解先写出其特征方程，将其因式分解：再将r换回成矩阵：例2 方阵分解成因式加余式其中，余式的低于因式。对角阵的多项式计算：对角阵的多项式计算：对角阵的多项式计算：对角阵的多项式计算：则则例：例：例：例：则则练习一练习一练习一练习一1. 设 C = AB，问矩阵A，B，C的行数、列数之间关系。2. 设 A为反对称矩阵，问 是怎样的矩阵。3. 求所有与 可交换的矩阵。4. 设 ,求 。5. 设 A为3行1列矩阵，如果 ，求第一章第一章 矩矩 阵阵1. 逆矩阵的定义逆矩阵的定义2. 逆矩阵的性质逆矩阵的性质1.1 1.1 矩阵的定义矩阵的定义1.2 1.2 矩阵的运算矩阵的运算1.3 1.3 逆矩阵逆矩阵1.5 1.5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换1.6 1.6 初等矩阵初等矩阵1.4 1.4 分块矩阵分块矩阵1. 逆矩阵的定义逆矩阵的定义 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是可逆的，并把矩阵是可逆的，并把矩阵 称为称为 的逆矩阵的逆矩阵.使得使得第一章第一章第一章第一章 矩矩矩矩 阵阵阵阵3 3 逆矩阵定义逆矩阵定义逆矩阵定义逆矩阵定义 例例 设设若设 和 是 的可逆矩阵， 则有则有可得所以 的逆矩阵是唯一的,即注注1 1： n n阶方阵分成两大类：可逆矩阵、不可逆矩阵阶方阵分成两大类：可逆矩阵、不可逆矩阵. .注注3 3： 如果如果 则则注注2 2： 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的例例 设设解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,则则利用待定系数法利用待定系数法又又因为因为所以所以例例不可逆矩阵举例：不可逆矩阵举例：2. 逆矩阵的性质证明证明证明证明2. 逆矩阵的性质三、三、 逆矩阵的基本问题逆矩阵的基本问题1 1、 逆矩阵的存在问题逆矩阵的存在问题2 2、 逆矩阵的存在时，逆矩阵的求解逆矩阵的存在时，逆矩阵的求解说明：说明： 分成抽象矩阵求解、具体（数字）矩阵求解两分成抽象矩阵求解、具体（数字）矩阵求解两类类. .第第5 5节将解决数字矩阵求逆问题节将解决数字矩阵求逆问题例例1 1如果如果 则它们的逆各是多少？则它们的逆各是多少？抽象矩阵求逆矩阵方法：因式分解法抽象矩阵求逆矩阵方法：因式分解法，求求。例例2 2已知已知抽象矩阵求逆矩阵方法：因式分解法抽象矩阵求逆矩阵方法：因式分解法，证证明明B B可逆，并求可逆，并求。已知已知，例例3 3抽象矩阵求逆矩阵方法：因式分解法抽象矩阵求逆矩阵方法：因式分解法例例4且矩阵且矩阵可逆，可逆，解：解：并求它的逆。并求它的逆。证明证明由于由于已知矩阵已知矩阵可逆，可逆，所以矩阵所以矩阵可逆，可逆，故故可逆可逆，求求。例例5 5已知已知，求：，求：例例6 6一般：一般：