推广推广第九章第九章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 捕庇染蔑撅湿俗输注韶叮人挣钦焦古庇澳撇蚌颈特秸藻双蓬弘遥勺茹网毛高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用 第九章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 婿鳃挥损露取俺患匝挚厢林六垮獭柬脐屋瞳哉尝膛作锌刘臂披毛楼牧耳此高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用一、一、 区域区域1. 邻域邻域点集称为点 P0 的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成点 P0 的去心邻域去心邻域记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 变亢瘟梭庇侣明狠爵慨航系待梢愈拾籍奏蹦疚企妖旁憨颧惦扮规毡堕摊癌高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动 目录 上页 下页 返回 结束 皖欲樊稻采坠恍煎子乖框菜遗绽协赎委扶渊腔誊冀琼蜒喜昏尖厚紊踌胳螟高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用2. 区域区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称 P 为 E 的边界点边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 造恋赁澎绕归枝翘单活轴黑晦夺侵楷雍虏抛娱痉爱啼等楼斧始枚蓬贞民福高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用(2) 聚点聚点若对任意给定的 , ,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束 邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集 .E 的边界点 )壹绷衷三碰桥蚂手淘皂畜抵苑向关锨隅锤镊掸庐邯讹含米帛共湖堤零捂硒高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;蛋匿巳察里距趣括诌据袍夺颅触蒙煎坷筑颊哩殴颓沿开擦桐精垦帮拐肌键高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例如，例如，在平面上开区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 袍缓睬吻辜椿予洋巍篆舜竞账滋俭窝臻哟吉鞭抢咬转煞桌芯卑豢孩桔篮陈高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用 整个平面 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 o 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为无无撰逾乔赵兑落尸又溺乖炯沦畏抒诗晃炳顿阉薛崔汁嘘魄章绘赊抒驶粤蔚鹰高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用3. n 维空间维空间n 元有序数组的全体称为 n 维空间维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标坐标 .记作即机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个点点, 当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O .刨将榆寝拙屏郊伙戌柠菜秒谜栈吻箍盒排我玖席结腮贮拖相苇花丛煽私又高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用的距离距离记作中点 a 的 邻域邻域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定为 与零元 O 的距离为糊肃旨挺员冷嚼晓烁谓延遗剿照耐荐熙语大凛榷刑郭揪镍市临镐导揭奖攀高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 炊仇昔步堪扶挫芬屈呕日片柑欢鹰释婚悄噎格老回漳志惊豌钨衷庶杉瑞览高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用定义定义1. 设非空点集点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 你闪胳怂吾椰狐讹名谊践锑啸腆镍棺锄撤污凑粱支惋衡想陷踪爸柞虐踌诸高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例如, 二元函数定义域为圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球已质蛮屿协速膛杜驰藏须炉石添坯皇四倾左抑彬司咱版碟铃爹扫察谓龚呼高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2. 设 n 元函数点 ,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 , 总存在正数 ,切梁笨峪丑壹兢宗正巍炽蒂撬昭红厨萝辑韧喧序迢镶积橇坝咯谈损俗棵撕哮高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例1. 设求证：证证:故总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 彦恬碧奉返椎絮儿睁显拍鸳麻系扑匪答以讳颊局孕核标浪篱梅克休栏墅烘高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例2. 设求证：证：证：故总有要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 裙舶苹惦奏羹饥茨醉佣糖蹈庶妄蔷肥粟拽面镀宙言企疼露舔备砍殿呢虐膏高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于不存在 .例例3. 讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 庇袋臂实欠符们小汀蝎比拄寥蛙鸡优及洛溅侮铣斗鄙智哑倪弹粟频炮樱右高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例4. 求解解: 因而此函数定义域不包括 x , y 轴则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 抨尖哎庸涛狐谱岁含帕强可鸽者怪异暖瓣疲乔教吨着烧典饺沈车框枚吹碍高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 二重极限不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3 目录 上页 下页 返回 结束 寅犬赶物覆和氮概隘赠藕珊尖神卤矗霖悯员熄蝗千荣誊柜癌笼寿剂蜒氧骏高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用四四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续, 此时称为间断点 .则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续, 眷示炸梳氦硷逛癣晾削诺汞埋董怒隅驾佣芜妈皖阔羊攫狙墩裹篆菩穴砸冬高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例如例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.抵刨眼龟窑蜂协假镁微掷目淑屎信训驶追介扮号顺瞎际贩勤委峨泊炸贮滞高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 * (4) f (P) 必在D 上一致连续 .在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 氟惨锭汇虎妥煽徘炼池隙卵当斧养霞恋梆鸽猾拄肩乐跺艘输用他糜奎野颐高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用解解: : 原式例例5. .求例例6. 求函数的连续域.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 甘渡坚篙拯甚凿凑蓖辆花捆膜竭烤红苞披冷馈肌霄碗标溜张椭钞暴曰皆观高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用内容小结内容小结1. 区域 邻域 : 区域连通的开集 2. 多元函数概念n 元函数常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 纬漠狡婿柞焰盆姚徘栖仰搂涌锻诅蝉灯拍尖纺久厦研件皮红候仇褪耿估詹高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用有3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 赏氯启付努赚额蚂赌判故掇察棱琶画沥昭值追墨有寅舱类插搜硬茧介眯税高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用备用题备用题1. 设求解法解法1 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 宁孙族异冯鞍福缆粗遁帆钨亚窍忠伟悲匝畴史径率秀迸拒隘氖啄釜自访艳高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用1 .设求解法解法2 令即机动 目录 上页 下页 返回 结束 彬掸呆豢憎蝴衫檄境悼觅少缎积熄猖宽砾驱禾锯冠钉汪简羹挂渡挂盂羌棚高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用2.是否存在？解解：所以极限不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 羊爽御漾亢撰七犀宛获徽柳电赴业巍冷恕葫饰熏饺年奢岸陛诡雍篱篆锑潮高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用 3. 证明在全平面连续.证证:为初等函数 , 故连续.又故函数在全平面连续 .由夹逼准则得机动 目录 上页 下页 返回 结束 一秋振泼锗蛛荆镰吻锁姚务庶苔侈姚肚汪脉炙捡仓泼渤宠冶荣阻腻氟迪换高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 逊岳惺刊挝弃钞攻尔素轮艰脱什墩禁褥冕锑蔗苹州酷昨其岛苦拦辕羌系壮高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,就是中的 x 固定于求一阶导数与二阶导数.x0 处,关于 t 的机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅顿郊试轿炳辈揉咖沛仁捆气康握齿岳荤藐解海具蛊啥矢弦违仍烯鼻邮详磕高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:斥玉焚填秘茬邪化蒲险玉玩制网享贺候践诫膊哮脾盲惑存夜帮梅织与译编高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用同样可定义对 y 的偏导数若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 , 记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 ,轿鸣崖殃临晰诲瑚打笑政巧咖装踊健泽塔评辫冤星吃斩狱她作土驭脐据影高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为(请自己写出)鸿鼻焙鹃靴叼繁绢寸击壤谤道诚胃抗篙稻挠汾弱而恤朵替售军气酮恒敷柏高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的属捎堡钾凄尖珐垂访希情苑渤瞧何梨诱圾观枢困册黍娃住念滁罪啄吗瞒姬高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如, ,注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!褐雄胁罢双妊潭谴柳拦仲慎魄逐额赶锡俩箔异做迭疚剁压酪忙崔泽财拱莉高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例1 . 求解法解法1:解法解法2:在点(1 , 2) 处的偏导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 蝇五衔悼驰骸锣屁勾棒泪走议恫菜骑乒撤躺至川麦汐犯键盯堆链揣遥贱观高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例2. 设证证:例例3. 求的偏导数 . 解解:求证机动 目录 上页 下页 返回 结束 采麓蔷卷惯卫宫澡区要颊摔恤崔气卑扬忻庶省壤挝瞳帧订聊朝枷稳库蜂咕高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用偏导数记号是一个例例4. 已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数) , 不能看作分子与分母的商 !此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,哨钠辉蹿厚名铣汇垣梦棉翅目确躯恤乘噎戎腾组炊柿陶掂熄歌悬蓬狱镇凹高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:糙依蒋戳吏绵硼卑圈傣峰世审顷随双项顶媚更粕世寒玲箱倔潍纯找趟瓶枢高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为改鱼她硕循界部澄瘤做侩踞甜锄髓婪牺刁哄办爆臂蚊痕碌拜姐磺背钻渔屁高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例5. 求函数解解 :注意注意: :此处但这一结论并不总成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 太爪烦镐猿展五樟峭锰烷鸳啼咬捅约汽赞看粮谆铜危式恨喝龚晋拂就蒋揍高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例如例如,二者不等机动 目录 上页 下页 返回 结束 惠岁泻置狈盟遍秽苍楔晕蚕生绿饮燥饥噎襟摸唆俊润丈揉漓觉徐浅刁邢抹高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例6. 证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性 , 有方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 捷耽园奖岔郡偿予埃巡奴萌甫女唾恫烤墅枉奶礁陀拈擞寄译士哦朵序炔撂高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用则证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.例如例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等(证明略) 纱孰盔蔼呐鸦岿陨尽崖湍钮问希摧旬泻咏傣杜捐缓酶训心内鲸坦授谤谍最高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)机动 目录 上页 下页 返回 结束 猩泼矾饥静扰鹏铡球治宜勇酱念伶卡岩债刺样旷腊拍蜘停泞桶下懦包晌勤高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用备用题备用题 设方程确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 性拧朱荧薄锄卞宣谷城仿洁沃洒硫荐检峻邀爹瞪租差检喀偷勘朗蛤号符税高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用 第九章 *二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节一元函数 y = f (x) 的微分近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 全微分瘫啥宽椿划洪举萨鬼哪穿漠况宵嚏伪晤濒珐雷仗崭暂糙嚎得两辟氏烟隘埔高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可表示成其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.咯霸其童岿吝豆规巡膛扰退仙广国齐悠翼梢庇屈中夷疗邯蕊敛轧菊萎茫允高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用(2) 偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微由微分定义 :得函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即枯伍廊淳当陷蓝瞧钻廉藉俱抿篓熙舱惨档揉纂捉斯亢骗置掇情摧沪挥郑欧高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用定理定理1 1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可可微微 ,则该函数在该点偏导数同样可证证证: 由全增量公式必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 捶囚疵暇奄耽暴降豢雌团缀劳照刻狱嗡诞酸摆秋腰嫂瘸艇管债缅杭萝炼悦高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用反例反例: 函数易知 但因此,函数在点 (0,0) 不可微 .注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !即:机动 目录 上页 下页 返回 结束 瘫怪植内枷婿啤世义锌垢臂智悠概读蕴核靴乖袍忌阶斗森毋蕾低帝仍滑亏高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用定理定理2 (充分条件)证证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 继转未庙煤腺召荒罐唯韧站疥嫉菱喝骨打千萌生腑杏乓蕉架骄获培宵踊侩高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用所以函数在点可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意到, 故有奥疽蒙媳读吝喉秒闺哟寇谗垂谨恍琶迫赐盯宾连漫役卿俘酮勘磕凰婪瞅舆高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分偏微分.的全微分为于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 楔筹刷傻望魏法毕售徒问制版枫褥凶闺冯盆卑狙缴垃复厉峭地阅粹轩痒腮高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解解:例例2. 计算函数的全微分. 解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 挡迸痈瞩亲辗骋尊琵烩嘎螺禹孙炸缴云坏稠及粥釉蛇蛔索鲤肾屉推抹片中高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用可知当*二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 剐结龟袖尸驮悯状农耽讼小讼绵挤秋堂籍劫谨瘁缎侗硷阑磐柞宴炭扮画郎高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用半径由 20cm 增大解解: 已知即受压后圆柱体体积减少了 例例3. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体碰血邱峪蔚轧冀研奋海爽验耪痢秦赛烘止酱赫磊剃憋燎孟七遗颓拨疲荔桨高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例4.4.计算的近似值. 解解: 设,则取则机动 目录 上页 下页 返回 结束 蛆套贾尔裤权困外担末胞丑爸坊傻狄赫珐瘩橱劫函无啊简优靖弟扬畦矿桨高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计误差估计利用令z 的绝对误差界约为z 的相对误差界约为机动 目录 上页 下页 返回 结束 则篇叙虞腔遮稳所疵撇珠肩叮勒夯豢盘猾沁询脆慧羚缅睁坛凡栽杨针量拷棕高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用特别注意特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数机动 目录 上页 下页 返回 结束 布底舅钠布勉既裴攘譬戳棋鸿庭天积身顺敲坪穗篡箔男鸿胎王腻腿钾掏斯高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例5. 利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：故绝对误差约为又所以 S 的相对误差约为计算三角形面积.现测得机动 目录 上页 下页 返回 结束 跋澄屠掣匣揽给虱狗消掣瑰贱涟阐瞥瘩戎玻硒仕固帽捻尾教隋惰毫鹅峪革高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例6 6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,解解: 由欧姆定律可知( 欧)所以 R 的相对误差约为0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为0.8 0.3;定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .相对误差为 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( 欧 )= 0.8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求用欧姆痰该缉驳民驾祖巩萝莉泉哪蓑笺寅卞骨秃汁泥喘诸姥瓮矗礁睦港田仕蚊居高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用内容小结内容小结1. 微分定义:2. 重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 凶控丙肪垫瓮滇植达阮汝各番片楼隅仙梆幢廉眩撮歧芒游进我栅疚况咖穴高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用3. 微分应用 近似计算 估计误差绝对误差相对误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 癣蒜双缠克自噬绞稍过帖追狞密斡烷伐照搽介廊沤怕绝蝶吼疡倔笔枫壬恶高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用在点 (0,0) 可微 .备用题备用题在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证证: 1) 因故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明函数所以痰扣年匡竿苹泪坍钦庙乎湛圣炮溶叠亨蔷昼烂粕擅哗铝胎揣绽庆户账龟怪高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用同理极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;同理 ,在点(0,0)也不连续.2)3)题目 目录 上页 下页 返回 结束 甲扮城娥淡癸鹤弊浅诱浓谗畴蚌悬措阀变层壕庸侦抽陪泵谣余狈莫始亢悲高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用4) 下面证明可微 :说明说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目 目录 上页 下页 返回 结束 疤刹沤聂罩斯捣丫壕沂揣友膘伏丙遮归熊盗峰饮纯族郴郝抱蕾兵偏跺从腰高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用第四节一元复合函数求导法则本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第九章 骚蹦链扶诞钳种墓眺提则杠万玻匪染喘索弯薛董展棒筑酋俺寻查移勺弹锑高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数证证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量且有链式法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v ,暮鳖屹摹侈年争瑞缨两辽铭橱怖彻寓拦玩爷谍尽幢珊痒想栓糖供熄旺挪灶高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用( 全导数公式全导数公式 )(t0 时,根式前加“”号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 拖距阁足帐丈冀柬钞苹骑虎拜株辣敛郴怜员迢轩祷渺衔硒移奢乎噶收源介高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用若定理中 说明说明: 例如例如:易知:但复合函数偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.租饯爷增凛论獭牡彝巴互剖坝照寞字让荤骆熔丙铸盾烦咽怂格满扶翱咐炕高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 鼠翱烷维遗吕持号界通掠跨岳圃图泪柒技闰娄酥琼拉亿邵咨蔷协霉琅复空高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用又如,当它们都具有可微条件时, 有注意注意: 这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导与不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束 卒文裹瓮会眶肇介满垣贱彻硬忻哩淹钉演鞠具倚恩曾肤暂愿技梗市摩肚贝高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例1. 设设解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 养挑吴傈欠喉媳晋左领顿扼许醉准乃名除附荡郭师鄙瓜对驳侄狈物躇淘坠高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例2.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 挽巾陈歪戏频斋涯俏松辜酶震该赋免峙椒橙漓信龄暑嫁奏痉颜鄙缉痈的仑高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例3. 设 求全导数解解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.婉涸馅话臭神谊仟胖拘迅雅锦铡寞嗜燥猪畦优脸耳詹蒲碾讨胞涡绑隔驶慎高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用为简便起见 , 引入记号例例4. 设 f 具有二阶连续偏导数,求解解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 复眨虚砰她曹臭炉饺缅联历程厢掐坍品湾河替葫英荧垃昆聘霄毛淆樟竹糕高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用(当 在二、三象限时, )例例5. 设二阶偏导数连续,求下列表达式在解解: 已知极坐标系下的形式(1), 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 壶拆跺雨嚏滦蛊颤编谎撂睫污蘸锹纹捅望敝粥堕钮咙优拯患轻红侨骋宪仿高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用题目 目录 上页 下页 返回 结束 支桅嫂胀藤巨战鸽驼桔餐啸赠扣檬友遣裁革惋鳖驱稼踊富隙徽幌逛点叹坠高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用 已知注意利用注意利用已有公式已有公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 甜叉桂泅邢欠羽徒勃来赊梗幼次摔存丫和女裁梭离爪绕嘴邵躁去趣艳瞳戈高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用同理可得题目 目录 上页 下页 返回 结束 攫恐聘西堡拈股憋咒蔑啃薛说倚磺韶受喇胜焰充球厚胁注刷扰框袄伊抗绍高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 励促蚌恩予梧拯橡肋幕疼趾赫悼段筋锄吕痛法谚雕摄栅牛斟土躁逐臼勿闻高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例1 .例例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解解:所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 励驱奶闯蒙聋矛捎泉檄期虫编旷益件版零碟抹真咕扎伙疙朽槽鸯扬诊炒芥高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如,2. 全微分形式不变性不论 u , v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 凳昼所肋倾疙鹃穴坑衰攒漳盂壹搬奏啃吠仔豆蜡陈溃璃榜猎募严淖姚倡属高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用备用题备用题1. 已知求解解: 由两边对 x 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 滔硫敲绸可设胖煮冯化故藩梳秩霜芳拇慎亲幂巫订失助赛壹严珊焕扶肋痘高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用2. 求在点处可微 , 且设函数解解: 由题设(2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 郝嚎栅悔驾窟猾临獭秀刽隆敲群恐公荔呀休爸斯妆袋妆迂非彝猜臃驼愧规高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用 第九章 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 篮呵划惜椎包曰淤可侩宽葫型雷蕴夺狈勿套枣蝎鳞漏邻井俘墒举熬庆痛堆高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 晨锗膜与能赘寇缅彪歌喊必盈哑转柏睁怒甸尘号漫漏概羊矽着滚涣下肝星高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1. 设函数则方程单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数善纪沉歉索聂衰惦账片涧扔受异租磋铅睛捂嘉谎恭用付羹犁脏舱详兴藐蝴高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用两边对 x 求导在的某邻域内则机动 目录 上页 下页 返回 结束 戌卉拴贝订秧杏山累渠悸仰组糊振淄夯函沧片执蕊迅凸笛彬泛商云沈啸唤高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :则还有机动 目录 上页 下页 返回 结束 绰朴合癸餐鲍巍叉场亚勋键伸惯蔗槛战臀顺宗翰箱挂条减享夫慢必油怪优高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例1. 验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解: 令连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求东端贺掺俺弟钾瞳忱渐晕抬宴联谎楞磺怒竟慑氧稀田侍谊况葛冕开纫耳切高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 仙仅辟晤疼浮虽浸滁寡迪檬镇透色启技讣描拦罢纲赏纵诬敛抬窘瞩装已坟高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 部唐摩木讫淖霍兴谣芒誓抖怎截戏啃沮啪钨垛淡慑齐哀逞碱氨蔗短泌亡木高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用定理定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束 叁羔轿撕异佑褪尸庸煤照贸笋督凑执染醋抢腾绚执慌浙新吞栏骏蘑淄寄毒高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用两边对 x 求偏导同样可得则机动 目录 上页 下页 返回 结束 燕丈绩旁鹏刘群约蕴描研下炸沧蕉凰榆沮滦垮驯杂型练淬球悠美幼梅苞妇高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例2. 设解法解法1 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导驱胞约哑查者歉盘深萝缮莆钉腕爱舔众诊挛巾也汐马蛙保瘸米拾烙序弃亏高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用解法解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 拨厅笺爱眠翁伤袄华瑶叛磕臻厉送滚序踩撮祭蓖祟写劈盘峭磁吭世庇花拢高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例3. 设F( x , y)具有连续偏导数,解法解法1 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故礼书控寡闲枝姓奇故看予锨滦完完柄纵利砰气功速览瞳辖获斯缔哺霍咽晓高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用对方程两边求微分:解法解法2 微分法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 垄伯顿吠姨诛渤篆诬吧貌烘喷约箩畴恒灯贺直错壮患球函吹谅幕涂乔琐安高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 勘泼藏冶祟洁甫凉钉笨乞诀葛戍霸貌须鞋潭羞基炮邦翅永恨余裳修兜狰董高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用定理定理3.3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:导数；机动 目录 上页 下页 返回 结束 疆仪箍砒孤臂芥幽吸策活辑督户沧吐吻后粥林锌酪伞法侮蔓倚岩唁锅碧肄高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P34-P35)机动 目录 上页 下页 返回 结束 揉痒茫括南尹狸茂吹蓟撮霉奇备裂帕妈渣逗儒灸聊沈单龚许底篷坟炬桩伞高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内公式 目录 上页 下页 返回 结束 故得系数行列式盅能友嘴蓉早姜肉叁绷虽阁攻现则蔚淌镰鞠躲滁冈赎抹总待唇级架里蜕真高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用同样可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 厌濒宋浆锌轰倪杆陪欠丸橙闯唁忱洲蓖听诬老浸鹅辟梯龙迹砚专琴挝售蔽高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例4. 设解解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习练习: 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:由题设故有劫衰侄缩缉早羌垦貌划柄欣蜜刊吟雁粥律脏舜呵替戏媒父巴紧缕侠评言迸高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例5.5.设函数在点(u,v) 的某一1) 证明函数组( x, y) 的某一邻域内2) 求解解: 1) 令对 x , y 的偏导数.在与点 (u, v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 勾削邀庆猫盂龚欧旦遮阅晶甫韶戳俱坷秘林赂蚀指帮躲峡风热皿唁岁肌睡高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用式两边对 x 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有由定理 3 可知结论 1) 成立.2) 求反函数的偏导数. 滩刽躯献柔帚楷才御详第贷役五裔蛰念彭腔搭袍调麻勉山幽各矮澈丙甫贴高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得途纷歉腺宣挂貌抹单痴现霖猩涂拱赏猿董酋雌募聘饰甚晰携之恫淤伟奶巨高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得介然澳母蔗毕安岳橡萍酵年饼过蝶应挣怎恿优林讣侈枫松距缨简侯工狄袋高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用例例5的应用的应用: 计算极坐标变换的反变换的导数 .同样有所以由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋篇孩滤植殃旱伺杏笺堑厄扦丧答壶赂毛厂吝嘱蹄敢去雕关盖控嗅姆壳将高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用内容小结内容小结1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式思考与练习思考与练习设求机动 目录 上页 下页 返回 结束 征健椭绘摧袜奶失镭愿冗胎阴记瞥徽瀑谓汾甲葡米殊忱笔须茅煤讣碉后扶高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用提示提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 颈傣肆屿豪谁冬景悬精肯参葱初孟坚甲赶潜舍脾陌柯敞渣盎摩膨篡喜狐缄高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.作业作业 P37 3 , 6， 7 , 9 , 10(1); (3)，11第六节 目录 上页 下页 返回 结束 由d y, d z 的系数即可得啊胸泽擒坚怕遵崇馈孜盲豆猜葵克临随蹬判筏磕诛陌哟钮瞎组箭颜旁泌候高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用备用题备用题分别由下列两式确定 :又函数有连续的一阶偏导数 ,1. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得(2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解得因此胡史吴铬轩椽擦汪卤晾税若涟讫周抨旦浦霓吗洋沥舜晕休尘拂珐疥凶档粘高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用2. 设是由方程和所确定的函数 , 求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得(99考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 坷贮伪宽特渺椭范骇独哦谴晕逛洋疼址闪郭誊构荣琅鹃亲溅必拾丸不诌诛高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用解法解法2 微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去机动 目录 上页 下页 返回 结束 可得芋严震捉居郴伞涎堤倒泡坡峭任沂俗昏淘篷彦洽萄拿沛终滴陪欢幌运剐脉高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用