第十八章勾股定理baca2+b2=c218.1勾股定理(1)杨溪中学： 李强 左下图是左下图是2002年在北京年在北京召开的国际数学家大会会徽召开的国际数学家大会会徽数学家毕达哥拉斯的故事数学家毕达哥拉斯的故事A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？直角三角形三边有什么关系？SA+SB=SC两直边的平方和等于斜边的平方两直边的平方和等于斜边的平方探究一探究一ABC 相传2005 年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某中数量关系。图12ABC（2）观察图）观察图12：正方形正方形A中含有中含有 个小个小方格，即方格，即A的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；正方形正方形B中含有中含有 个小个小方格，即方格，即B的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；正方形正方形C中含有中含有 个小个小方格，即方格，即C的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；444488A的面积的面积+ B的面积的面积= C的面积的面积ABC图11（1）观察图）观察图11：正方形正方形A中含有中含有 个小个小方格，即方格，即A的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；正方形正方形B中含有中含有 个小个小方格，即方格，即B的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；正方形正方形C中含有中含有 个小个小方格，即方格，即C的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；99991818A的面积的面积+ B的面积的面积= C的面积的面积对于等腰直角三角形有这样的性质：对于任意直角三角形都有这样的性质吗？两直边的平方和等于斜边的平方两直边的平方和等于斜边的平方看下图ABCA的面的面积积(单位单位长度长度)B的面的面积积(单位单位长度长度)C的面的面积积(单位单位长度长度)图图2图图3A、B、C面积面积关系关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系图图2图图3491392534sA+sB=sC两直角边的平方和两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方ABC探究二探究二：你会求出三角形：你会求出三角形的面积吗？的面积吗？baca2+b2=c2正方形正方形A中含有中含有 个方格，个方格，即即A的面积是的面积是 个单位面个单位面积；积；正方形正方形B中含有中含有 个小方个小方格，即格，即B的面积是的面积是 个单个单位面积；位面积；正方形正方形C中含有中含有 个小个小方格，即方格，即C的面积的面积 个单个单位面积；位面积；9916162525BACcb a c2= (a b)2 + 4(ab)= a2 2ab + b2 + 2ab c2= a2 + b2依据科学理论的证实：一 3 3世纪我国汉代的赵爽指出：四个全等的直角三世纪我国汉代的赵爽指出：四个全等的直角三角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方形的面积角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方形的面积等于小正方形的面积与等于小正方形的面积与4 4个三角形的面积和得：个三角形的面积和得： 两直两直角边的平方和角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方赵爽弦图 “赵爽弦图赵爽弦图”表现了我国古代表现了我国古代人对数学的钻研精神和聪明才智，它人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国数学的骄傲。中国古代的数是我国数学的骄傲。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。的，是三国时期吴国的数学家赵爽。正因为此，这个图案被选为正因为此，这个图案被选为2002年在年在北京召开的国际数学家大会会徽。北京召开的国际数学家大会会徽。在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于5的平方加上7的平方”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。依据科学理论的证实：二 (a + b)(b + a) = c2 + 2(ab) a2 + ab + b2= c2 + aba2 + b2= c2aabbcc伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。ba(a + b)2= c2 + 4(ab)a2 + 2ab + b2= c2 + 2aba2 + b2= c2c依据科学理论的证实：三 目前，世界上共有500多种证明“勾股定理”的方法。定理：定理： 经过证明被确认是正确的命题经过证明被确认是正确的命题叫做定理。叫做定理。cab勾股定理勾股定理如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为斜边为c，那么那么a2+b2=c2即即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾勾股股弦弦、本节课我们经历了怎样的过程？、本节课我们经历了怎样的过程？经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理的过程。索定理，最后学会验证定理的过程。、本节课我们学到了什么？、本节课我们学到了什么？通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。验证数学结论的数形结合思想。