第2课时函数与方程及函数的应用热点考向一函数的零点问题热点考向一函数的零点问题高频考向高频考向考情考情分析分析 201620162017201720182018T21T21T21T21T9T9考向考向解读解读 函数零点所在区间、零点个数及参数的取值函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考常见的题型范围是高考常见的题型, ,主要以选择题、填主要以选择题、填空题或作为解答题某一问的形式出现空题或作为解答题某一问的形式出现. .类型一判断函数零点所在区间及零点个数类型一判断函数零点所在区间及零点个数【典例典例1 1】(1)(1)函数函数f(x)= -logf(x)= -log2 2x x的零点所在区间是的零点所在区间是 ( () )A.(0,1)A.(0,1)B.(1,2)B.(1,2)C.(3,4)C.(3,4)D.(4,+)D.(4,+)(2)(2018(2)(2018茂名一模茂名一模) )定义在定义在R R上函数上函数y=f(x+2)y=f(x+2)的图象的图象关于直线关于直线x=-2x=-2对称对称, ,且函数且函数f(x+1)f(x+1)是偶函数是偶函数. .若当若当x0,1x0,1时时,f(x)=sin x,f(x)=sin x,则函数则函数g(x)=f(x)-eg(x)=f(x)-e-|x|-|x|在区间在区间-2 018,2 018-2 018,2 018上零点的个数为上零点的个数为( () )A.2 017A.2 017B.2 018B.2 018C.4 034C.4 034D.4 036D.4 036【大题小做大题小做】难点难点拆解拆解第第(2)(2)题题判断函数判断函数f(x)f(x)的周期性的周期性; ;在同一坐标系下作出函数图象在同一坐标系下作出函数图象; ;根据图象特点确定零点个数根据图象特点确定零点个数. .【解析解析】(1)(1)选选C.C.因为连续减函数因为连续减函数f(x)= -logf(x)= -log2 2x,x,所以所以f(3)=2-logf(3)=2-log2 230,f(4)= -log30,f(4)= -log2 240,40,所以函数所以函数f(x)= -logf(x)= -log2 2x x的零点所在的区间是的零点所在的区间是(3,4).(3,4).(2)(2)选选D.D.函数函数g(x)=f(x)-eg(x)=f(x)-e-|x|-|x|在区间在区间-2 018,2 018-2 018,2 018上上零点的个数零点的个数函数函数f(x)f(x)的图象与的图象与y=ey=e-|x|-|x|的图象交点个数的图象交点个数. .由由y=f(x+2)y=f(x+2)的图象关于直线的图象关于直线x=-2x=-2对称对称, ,得得f(x)f(x)是偶函数是偶函数, ,即即f(-x)=f(x).f(-x)=f(x).又因为函数又因为函数f(x+1)f(x+1)是偶函数是偶函数, ,所以所以f(x+1)=f(-x+1),f(x+1)=f(-x+1),故故f(x+2)=f(-x)=f(x),f(x+2)=f(-x)=f(x),因此因此,f(x),f(x)是周期为是周期为2 2的偶函数的偶函数. .因为当因为当x0,1x0,1时时,f(x)=sin x,f(x)=sin x,作出作出y=f(x)y=f(x)与与y= y= 图象如图图象如图, , 可知每个周期内有两个交点可知每个周期内有两个交点, ,所以函数所以函数g(x)=f(x)-g(x)=f(x)-e e-|x|-|x|在区间在区间-2 018,2 018-2 018,2 018上零点的个数为上零点的个数为2 0182 0182=4 036.2=4 036.【易错警示易错警示】函数零点存在性定理是零点存在的一个函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件充分条件, ,而不是必要条件而不是必要条件; ;判断零点个数还要根据函判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象数的单调性、对称性或结合函数图象. .【探究追问探究追问】第第(2)(2)题改为题改为: :定义在定义在R R上的奇函数上的奇函数f(x)f(x)满足条件满足条件f(1+x)=f(1-x),f(1+x)=f(1-x),当当x0,1x0,1时时,f(x)=x,f(x)=x,若函数若函数g(x)=|f(x)|-aeg(x)=|f(x)|-ae-|x|-|x|在区间在区间-2 018,2 018-2 018,2 018上有上有4 0324 032个零点个零点, ,则实数则实数a a的取值范围的取值范围是是( () )A.(0,1)A.(0,1)B.(e,eB.(e,e3 3) )C.(e,eC.(e,e2 2) )D.(1,eD.(1,e3 3) )【解析解析】选选B.B.由由f(1+x)=f(1-x)f(1+x)=f(1-x)得得f(x)=f(2-x)f(x)=f(2-x)由由f(x)f(x)为奇函数为奇函数, ,得得f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)由由得得-f(-x)=f(2-x),-f(-x)=f(2-x),所以所以f(x)=-f(2+x),f(x)=-f(2+x),所以所以f(2+x)=-f(4+x),f(2+x)=-f(4+x),所以所以f(x)=f(x+4),f(x)=f(x+4),所以所以f(x)f(x)周期为周期为4,4,因为当因为当x0,1x0,1时时,f(x)=x,f(x)=x,根据根据m(x)=|f(x)|m(x)=|f(x)|与与n(x)=aen(x)=ae-|x|-|x|都是偶函数都是偶函数, ,且图象且图象(x0)(x0)如图如图, ,函数函数g(x)=|f(x)|-aeg(x)=|f(x)|-ae-|x|-|x|在区间在区间-2 018,2 018-2 018,2 018上有上有4 0324 032个零点个零点, ,即即m(x)=|f(x)|m(x)=|f(x)|与与n(x)=aen(x)=ae-|x|-|x|在在0,40,4有且仅有两个交有且仅有两个交点点, ,所以所以 即即eaeeae3 3. .【名师点睛名师点睛】判断函数零点个数的方法判断函数零点个数的方法(1)(1)解方程法解方程法: :若对应方程若对应方程f(x)=0f(x)=0可解可解, ,则通过解方程则通过解方程, ,方程有几个解函数就有几个零点方程有几个解函数就有几个零点. .(2)(2)零点存在性定理零点存在性定理: :利用定理不仅要判断函数在区间利用定理不仅要判断函数在区间a,ba,b上是连续不断的曲线上是连续不断的曲线, ,而且而且f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,还必须还必须结合函数的图象与性质结合函数的图象与性质( (如单调性、奇偶性、周期性、如单调性、奇偶性、周期性、对称性对称性) )才能确定函数有多少个零点才能确定函数有多少个零点. .(3)(3)数形结合法数形结合法: :转化为两个函数图象的交点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题, ,先画出两个函数的图象先画出两个函数的图象, ,两函数图象交点的个数两函数图象交点的个数, ,即是即是函数零点的个数函数零点的个数. .类型二根据零点情况求参数的取值范围类型二根据零点情况求参数的取值范围【典例典例2 2】已知函数已知函数f(x)= f(x)= 若函数若函数g(x)=g(x)=f(x)-k(x+1)f(x)-k(x+1)在在(-,1(-,1恰有两个不同的零点恰有两个不同的零点, ,则实数则实数k k的取值范围是的取值范围是( () )A.1,3)A.1,3)B.(1,3B.(1,3C.2,3)C.2,3)D.(3,+)D.(3,+)【解析解析】选选A.A.函数函数g(x)=f(x)-k(x+1)g(x)=f(x)-k(x+1)在在(-,1(-,1恰有恰有两个不同的零点两个不同的零点, ,等价于等价于y=f(x)y=f(x)与与y=k(x+1)y=k(x+1)的图象在的图象在(-,1(-,1恰有两个不同的交点恰有两个不同的交点, ,画出函数画出函数f(x)=f(x)= 的图象的图象, ,如图如图,y=k(x+1),y=k(x+1)的图象是过定点的图象是过定点(-1,0),(-1,0),斜率为斜率为k k的直线的直线, ,当直线当直线y=k(x+1)y=k(x+1)经过点经过点(1,2)(1,2)时时, ,直线与直线与y=f(x)y=f(x)的图象恰有两个交点的图象恰有两个交点, ,此时此时,k=1,k=1,当直当直线经过点线经过点(0,3)(0,3)时直线与时直线与y=f(x)y=f(x)的图象恰有三个交点的图象恰有三个交点, ,直线在旋转过程中与直线在旋转过程中与y=f(x)y=f(x)的图象恰有两个交点的图象恰有两个交点, ,斜率斜率在在1,3)1,3)内变化内变化, ,所以实数所以实数k k的取值范围是的取值范围是1,3).1,3).【名师点睛名师点睛】已知函数有零点已知函数有零点( (方程有根方程有根) )求参数取值求参数取值范围的常用方法范围的常用方法(1)(1)直接法直接法: :直接根据题设条件构建关于参数的不等式直接根据题设条件构建关于参数的不等式( (组组),),再通过解不等式再通过解不等式( (组组) )确定参数的取值范围确定参数的取值范围. .(2)(2)分离参数法分离参数法: :先将参数分离先将参数分离, ,转化为求函数值域的问转化为求函数值域的问题加以解决题加以解决. .(3)(3)数形结合法数形结合法: :先对解析式变形先对解析式变形, ,在同一平面直角坐标在同一平面直角坐标系中系中, ,画出函数的图象画出函数的图象, ,然后数形结合求解然后数形结合求解. .【考向精练考向精练】1.1.定义在定义在R R上的奇函数上的奇函数f(x),f(x),当当x0x0时时,f(x)=,f(x)= 则关于则关于x x的函数的函数F(x)=f(x)-F(x)=f(x)-a(0a1)a(0a1)的零点个数为的零点个数为 ( () )A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5【解析解析】选选D.D.因为因为f(x)f(x)为奇函数为奇函数, ,所以所以x0x0时时,f(x)=-f(-x),f(x)=-f(-x)画出画出y=f(x)y=f(x)和和y=a(0a1)y=a(0a1)的图象的图象, ,如图如图 共有共有5 5个交点个交点, ,所以所以F(x)F(x)有有5 5个零点个零点. .2.2.已知在区间已知在区间(0,2(0,2上的函数上的函数f(x)= f(x)= 且且g(x)=f(x)-mxg(x)=f(x)-mx在区间在区间(0,2(0,2内有且仅有两个不同的内有且仅有两个不同的零点零点, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是( () )【解析解析】选选A.A.由函数由函数g(x)=f(x)-mxg(x)=f(x)-mx在在(0,2(0,2内有且仅有内有且仅有两个不同的零点两个不同的零点, ,得得y=f(x),y=mxy=f(x),y=mx在在(0,2(0,2内的图象有且内的图象有且仅有两个不同的交点仅有两个不同的交点. .当当y=mxy=mx与与y= -3y= -3在在x(0,1x(0,1相相切时切时,mx,mx2 2+3x-1=0,=9+4m=0,m=- ,+3x-1=0,=9+4m=0,m=- ,结合图象可得结合图象可得当当- m-2- m-2或或0m 00,x(a0,且且a1)a1)的图象有且仅有的图象有且仅有4 4个交点个交点, ,则则a a的取值集合为的取值集合为( () )A.(4,5)A.(4,5)B.(4,6)B.(4,6)C.5C.5D.6D.6【解析解析】(1)(1)选选A.A.函数函数f(x)= f(x)= 的图象如的图象如图所示图所示, ,由由g(x)=-f(-x),g(x)=-f(-x),可得可得g(x)g(x)和和f(x)f(x)的图象关于原点对称的图象关于原点对称, ,作出作出y=g(x)y=g(x)的图象的图象, ,可得可得y=f(x)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x)的图象有的图象有4 4个交点个交点, ,则方程则方程f(x)=g(x)f(x)=g(x)的解的个数为的解的个数为4.4.故选故选A.A.(2)(2)选选C.C.因为因为f(x+2)=f(x),f(x+2)=f(x),所以所以f(x)f(x)的周期为的周期为2,2,在在x-1,1x-1,1时时,f(x)=|x|.,f(x)=|x|.画出函数画出函数f(x)f(x)与与g(x)=logg(x)=loga ax x的图象如图所示的图象如图所示; ;若函数若函数y=f(x)y=f(x)的图象与函数的图象与函数g(x)=logg(x)=loga ax(a0,x(a0,且且a1)a1)的图象有且仅有的图象有且仅有4 4个交点个交点, ,则函数则函数g(x)=logg(x)=loga ax x的图象过的图象过(5,1)(5,1)点点, ,即即a=5.a=5.【名师点睛名师点睛】利用函数的图象与性质确定、应用方程利用函数的图象与性质确定、应用方程根根( (解解) )的个数的方法的个数的方法(1)(1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式合、构建不等式( (方程方程) )求解求解. .(2)(2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解分离参数、转化为求函数的值域问题求解. .【拓展提升拓展提升】(2018(2018信阳二模信阳二模) )已知函数已知函数f(x)(xR)f(x)(xR)满足满足f(-x)=8-f(-x)=8-f(4+x),f(4+x),函数函数g(x)= ,g(x)= ,若函数若函数f(x)f(x)与与g(x)g(x)的图象共的图象共有有168168个交点个交点, ,记作记作P Pi i(x(xi i,y,yi i)(i=1,2,168),)(i=1,2,168),则则(x(x1 1+y+y1 1) )+(x+(x2 2+y+y2 2)+(x)+(x168168+y+y168168) )的值为的值为( () )A.2 018A.2 018B.2 017B.2 017C.2 016C.2 016D.1 008D.1 008【解析解析】选选D.D.函数函数f(x)(xR)f(x)(xR)满足满足f(-x)=8-f(4+x),f(-x)=8-f(4+x),可得可得:f(-x)+f(4+x)=8,:f(-x)+f(4+x)=8,即函数即函数f(x)f(x)关于点关于点(2,4)(2,4)对称对称, ,函数函数g(x)= g(x)= 可知图象关于可知图象关于(2,(2,4)4)对称对称; ;所以函数所以函数f(x)f(x)与与g(x)g(x)的图象共有的图象共有168168个交点即在个交点即在(2,4)(2,4)两边各有两边各有8484个交点个交点. .而每个对称点都有而每个对称点都有: :横坐标之和为横坐标之和为4,4,纵坐标之和为纵坐标之和为8,8,因为有因为有168168个交点个交点, ,即有即有8484组组. .故得故得:(x:(x1 1+y+y1 1)+(x)+(x2 2+y+y2 2)+)+(x+(x168168+y+y168168)=(4+8)84=)=(4+8)84=1 008.1 008.1.(20171.(2017江苏高考江苏高考) )设设f(x)f(x)是定义在是定义在R R上且周期为上且周期为1 1的的函数函数, ,在区间在区间0,1)0,1)上上,f(x)= ,f(x)= 其中集合其中集合D=D= , ,则方程则方程f(x)-lg x=0f(x)-lg x=0的解的个数是的解的个数是_._.【解析解析】由于由于f(x)0,1),f(x)0,1),则需考虑则需考虑1x101x10的情况的情况, ,在此范围内在此范围内,xQ,xQ且且x x Z Z时时, ,设设x= ,p,qNx= ,p,qN* *,p2,p2,且且p,qp,q互质互质, ,若若lg xQ,lg xQ,则由则由lg x(0,1),lg x(0,1),可设可设lg x= ,m,nNlg x= ,m,nN* *, ,m2,m2,且且m,nm,n互质互质, ,因此因此 = ,= ,则则1010n n= ,= ,此时左此时左边为整数边为整数, ,右边不是整数右边不是整数, ,矛盾矛盾, ,因为因为lg xQ,lg xQ,因此因此lg xlg x不可能与每个周期内不可能与每个周期内xDxD对应的部分相等对应的部分相等, ,只需考虑只需考虑lg xlg x与每个周期与每个周期x x D D的部分的交点的部分的交点, ,画出函数图象画出函数图象, ,图中交点除图中交点除(1,0)(1,0)外外, ,其他交点横坐标均其他交点横坐标均为无理数为无理数, ,属于每个周期属于每个周期x x D D的部分的部分, ,且且x=1x=1处处(lg x)= 1,(lg x)= 1,则在则在x=1x=1附近仅有一附近仅有一个交点个交点, ,因此方程解的个数为因此方程解的个数为8 8个个. .答案答案: :8 82.(20182.(2018茂名二模茂名二模) )已知已知f(x)f(x)是定义域为是定义域为(0,+)(0,+)的单的单调函数调函数, ,若对任意的若对任意的x(0,+),x(0,+),都有都有f(f(x)+ x)=f(f(x)+ x)=4,4,且方程且方程|f(x)-3|=a|f(x)-3|=a在区间在区间(0,3(0,3上有两解上有两解, ,则实数则实数a a的的取值范围是取值范围是 世纪金榜导学号世纪金榜导学号( () )A.0a1A.0a1 B.a1 B.a1 C.0a1 C.0a1D.a1D.a1【解析解析】选选A.A.因为因为f(x)f(x)是定义域为是定义域为(0,+)(0,+)的单调函数的单调函数, ,对任意的对任意的x(0,+),x(0,+),都有都有f(f(x)+ x)=4,f(f(x)+ x)=4,所以必存在唯一的正实数所以必存在唯一的正实数m,m,满足满足f(x)+ x=m,f(m)=f(x)+ x=m,f(m)=4,4,所以所以f(m)+ m=a ,f(m)+ m=a ,由由得得:4+ m=m,:4+ m=m,即即 m=m-4,m=m-4,所以所以m= ,m= ,解得解得m=3.m=3.故故f(x)+ x=m=3,f(x)+ x=m=3,所以所以f(x)=3- x,f(x)=3- x,由方程由方程|f(x)-3|=a|f(x)-3|=a在区间在区间(0,3(0,3上有两解上有两解, ,即有即有 =a=a在区间在区间(0,3(0,3上有两解上有两解, ,作出作出y= y= 的图象的图象, ,如图所示如图所示: :结合题意结合题意,0a1.,0a1.热点考向三利用函数模型解决实际问题热点考向三利用函数模型解决实际问题考向剖析考向剖析: :函数的实际应用以二次函数、分段函数模型函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体为载体, ,主要考查函数的最值问题主要考查函数的最值问题. .【典例典例4 4】松江有轨电车项目正在如火如荼地进行中松江有轨电车项目正在如火如荼地进行中, ,通车后将给市民出行带来便利通车后将给市民出行带来便利, ,已知某条线路通车后已知某条线路通车后, ,电车的发车时间间隔电车的发车时间间隔t(t(单位单位: :分钟分钟) )满足满足2t20,2t20,经经市场调研测算市场调研测算, ,电车载客量与发车时间间隔电车载客量与发车时间间隔t t相关相关, ,当当10t2010t20时电车为满载状态时电车为满载状态, ,载客量为载客量为400400人人, ,当当2t102t10时时, ,载客量会减少载客量会减少, ,减少的人数与减少的人数与(10-t)(10-t)的平方的平方成正比成正比, ,且发车时间间隔为且发车时间间隔为2 2分钟时的载客量为分钟时的载客量为272272人人, ,记电车载客量为记电车载客量为p(t).p(t).(1)(1)求求p(t)p(t)的表达式的表达式, ,并求当发车时间间隔为并求当发车时间间隔为6 6分钟时分钟时, ,电车的载客量电车的载客量. .(2)(2)若该线路每分钟的净收益为若该线路每分钟的净收益为Q= -60(Q= -60(元元),),问当发车时间间隔为多少时问当发车时间间隔为多少时, ,该线路每分钟的净收益最该线路每分钟的净收益最大大? ?【审题导引审题导引】(1)(1)要求要求p(t),p(t),先列出先列出_(_(比例系数比例系数) )相关的解析式相关的解析式, ,再利用待定系数法求解再利用待定系数法求解. .(2)(2)要求每分钟净收益的最大值要求每分钟净收益的最大值, ,先写出先写出_的解析式的解析式, ,再再利用基本不等式求解利用基本不等式求解. .p(t)p(t)与与k kQ Q【解析解析】(1)(1)由题意知由题意知,p(t)= ,p(t)= (k(k为常数为常数),),因为因为p(2)=400-k(10-2)p(2)=400-k(10-2)2 2=272,=272,所以所以k=2.k=2.所以所以p(t)= p(t)= 所以所以p(6)=400-2(10-6)p(6)=400-2(10-6)2 2=368.=368.(2)(2)由由Q= -60,Q= -60,可得可得当当2t102t0,x0,且且l-3x0,-3x0,可得函数的定义域为可得函数的定义域为 (2)y=x(2)y=x(l-3x)= 3x(-3x)= 3x(l-3x) = ,-3x) = ,当当x= x= 时时, ,这块长方形场地的面积最大这块长方形场地的面积最大, ,这时的长为这时的长为l-3x= -3x= l, ,最大面积为最大面积为 . .2.(20182.(2018闵行区一模闵行区一模) )某公司举办捐步公益活动某公司举办捐步公益活动, ,参与参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶, ,再将再将牛奶捐赠给留守儿童牛奶捐赠给留守儿童, ,此活动不但为公益事业作出了较此活动不但为公益事业作出了较大的贡献大的贡献, ,公司还获得了相应的广告效益公司还获得了相应的广告效益, ,据测算据测算, ,首日首日参与活动人数为参与活动人数为10 00010 000人人, ,以后每天人数比前一天都增以后每天人数比前一天都增加加15%,3015%,30天后捐步人数稳定在第天后捐步人数稳定在第3030天的水平天的水平, ,假设此项假设此项活动的启动资金为活动的启动资金为3030万元万元, ,每位捐步者每天可以使公司每位捐步者每天可以使公司收益收益0.050.05元元( (以下人数精确到以下人数精确到1 1人人, ,收益精确到收益精确到1 1元元).).(1)(1)求活动开始后第求活动开始后第5 5天的捐步人数天的捐步人数, ,及前及前5 5天公司的捐天公司的捐步总收益步总收益. .(2)(2)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余动资金并有盈余? ?【解析解析】(1)(1)设第设第x x天的捐步人数为天的捐步人数为f(x),f(x),则则f(x)= f(x)= 所以第所以第5 5天的捐步人数为天的捐步人数为f(5)=10 000f(5)=10 000(1+15%)(1+15%)4 417 490.17 490.由题意可知前由题意可知前5 5天的捐步人数成等比数列天的捐步人数成等比数列, ,其中首项其中首项为为10 000,10 000,公比为公比为1.15,1.15,所以前所以前5 5天的捐步总收益为天的捐步总收益为 0.053 371.0.053 371.(2)(2)设活动第设活动第m m天后公司捐步总收益可以收回启动资金天后公司捐步总收益可以收回启动资金并有盈余并有盈余, ,若若1m30,1m30,则则 0.05300 000,0.05300 000,解得解得mlogmlog1.151.159132.3(9132.3(舍舍).).若若m30,m30,则则 0.05300 000,0.05300 000,解得解得x32.87.x32.87.所以活动开始后第所以活动开始后第3333天公司的捐步总收益可以收回启天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余动资金并有盈余. .