1电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论第五章 2024/7/272电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27第五章 线性系统的频域分析频频率分析法是二十世率分析法是二十世纪纪三十年代三十年代发发展起来的一种展起来的一种经经典工程典工程实实用方法，是一种利用用方法，是一种利用频频率特性率特性进进行控制系行控制系统统分析的分析的图图解方法解方法，其其特点特点是利用系是利用系统统的开的开环频环频率特性去判断系率特性去判断系统统的的闭环闭环性能，性能，可方便地用于控制工程中的系可方便地用于控制工程中的系统统分析与分析与设计设计。频频率法用于分析和率法用于分析和设计设计系系统统有如下有如下优优点：点：（1）不必求解系）不必求解系统统的特征根，采用的特征根，采用较为简单较为简单的的图图解方法就可解方法就可研究系研究系统统的的稳稳定性。定性。 （2）系）系统统的的频频率特性可用率特性可用实验实验方法方法测测出。出。 （3）用）用频频率法率法设计设计系系统统，可以忽略噪声的影响。，可以忽略噪声的影响。 3电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27本章内容 基本要求基本要求 第一节 频率特性 第二节 典型环节的频率特性 第三节 系统开环频率特性的绘制 第四节 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 第五节 系统的频率特性及频域性能指标4电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27第一节 频率特性的基本概念 本节本节从从讨论系系统在正弦信号作用下的在正弦信号作用下的稳态响响应出出发，把握，把握频率特性的基本概念。率特性的基本概念。 频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性（图5-1）。 图5-1 正弦信号对线性系统的作用5电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论一、系统对正弦输入信号的稳态输出一、系统对正弦输入信号的稳态输出 设r(t)为正弦信号， 作用于线性定常系统G(s) ，输出响应为c（t）， 则输出信号为同频率的正弦信号，但输出的振幅和相角一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化，如下页图5-2所示： 2024/7/276电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27图5-2 输入输出信号的对比7电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论一阶RC网络2024/7/278电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论一阶RC网络2024/7/279电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27对于一般的系统，对于一般的系统，设设其其传递函数为：传递函数为：已知输入已知输入 ，其拉氏变换，其拉氏变换A A为常量，则系统输出为为常量，则系统输出为为G(s)的极点 (5-1)10电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27若系统无重极点，则（若系统无重极点，则（5-1）式可写为）式可写为(5-2)对（对（5-2）式求拉氏反变换，则得系统的输出信号）式求拉氏反变换，则得系统的输出信号(5-3)待定系数待定系数 其中其中11电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27若系统稳定，均具有负实部，当时，上式中的暂态分量将衰减为零，这时，可得到系统的稳态响应：12电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27将代入稳态响应，并利用欧拉公式，欧拉公式，可求得稳态响应为:13电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27以上分析表明，在正弦信号的作用下，系统的稳态响应仍然是一个正弦函数，其频率与输入信号的频率相同，振幅为输入信号幅值的 倍，相移为同频、变幅、相移同频、变幅、相移14电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论 响应响应2024/7/27解：考虑到频率特性的作用：同频、变幅、相移考虑到频率特性的作用：同频、变幅、相移频率响应的幅值频率响应的幅值15电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论所以频率响应为：2024/7/27频率响应的相角频率响应的相角16电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/2717电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27二、频率特性的定义二、频率特性的定义1、频率响应 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的频率响应，记为c(t)。2、频率特性 系统频率响应c(t)与输入正弦信号r(t)的复数比称为系统的频率特性，是随输入正弦信号角频率变化而变化的复变函数，记为G(j)，即18电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27式中： : 是稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比， 称为幅频特性。 : 是稳态输出信号的相角与输入信号相角之差(相移)， 称为相频特性。 在系统传递函数G(s)中，令s= j，即可得到系统的频率特性。有开环频率特性与闭环频率特性之分。19电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/273、频率特性与传递函数、微分方程表示的关系、频率特性与传递函数、微分方程表示的关系频率特性与传递函数、微分方程表示的关系如图频率特性与传递函数、微分方程表示的关系如图5-3所示。所示。图5-3 系统表示法之间的关系20电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论注意：频率特性是从正弦的稳态响应求出的，但表示的是系统的动态特性。频率特性是指 时的频率响应，在某一个特定 下的频率响应不能表示系统的动态特性。从稳态响应测频率特性，给实验获取频率特性提供了方便，但不稳定的系统频率特性是观察不到的。2024/7/2721电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27三、频率特性表示法三、频率特性表示法频率特性可用频率特性可用解析式或图形解析式或图形来表示。来表示。（一）解析表示（一）解析表示系统开环频率特性可用以下解析式表示：系统开环频率特性可用以下解析式表示：幅幅频频-相相频频形式：形式： 指数形式指数形式(极坐极坐标标) ：三角函数形式：三角函数形式： 实频实频-虚虚频频形式：形式：22电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27（二）系（二）系统频统频率特性常用的率特性常用的图图解形式解形式1. 极坐极坐标图标图奈奎斯特奈奎斯特图图 （Nyquist） 系系统频统频率特性率特性为为幅幅频频-相相频频形式形式 当当 在在0 变变化化时时，相量，相量G(j )的幅的幅值值和相角随和相角随 而而变变化，与此化，与此对应对应的相量的相量G(j ) 的端点在复平面的端点在复平面 G(j )上的运上的运动轨动轨迹就称迹就称为为幅相幅相频频率特性或率特性或 Nyquist曲曲线线。 画有画有 Nyquist曲曲线线的坐的坐标图标图，称，称为为极坐极坐标图标图或或Nyquist图图。23电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27【例例5-1】绘绘制制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系系统统的幅相的幅相频频率特性率特性图图。解：写出解：写出频频率特性的表达式率特性的表达式对对于本于本题题，可以，可以证证明，明，G(j )H(j )的的实实部和虚部部和虚部满满足下式：足下式：上式表明，系上式表明，系统统幅相幅相频频率特性曲率特性曲线线是是G(j )H(j )平面上以平面上以(1/2，j0)为圆为圆心，心， 1/2为为半径的下半半径的下半圆圆（因相角（因相角总总小于零）。小于零）。 24电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27绘制出的幅相频率特性(nyquist)曲线如图5-4所示。或者：图5-4 惯性环节的幅相频率特性25电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/272. 对对数坐数坐标图标图伯德伯德图图（Bode diagram ） 如将系如将系统频统频率特性率特性G(j ) 的幅的幅值值和相角分和相角分别绘别绘在在半半对对数坐数坐 标图标图上，分上，分别别得到：得到： 对对数幅数幅频频特性曲特性曲线线（纵轴纵轴：对对幅幅值值取分取分贝贝数后数后进进行分度；横行分度；横轴轴：对频对频率取以率取以10为为底的底的对对数后数后进进行分度）行分度） 对对数相数相频频特性曲特性曲线线（纵轴纵轴：对对相角相角进进行行线线性分度；横性分度；横轴轴：对对频频率取以率取以10为为底的底的对对数后数后进进行分度），行分度）， 合称合称为为伯德伯德图图(Bode图图)。 对对数幅数幅频频特性特性记为记为 ，单单位位为为分分贝贝（dB)。对对数相数相频频特性特性记为记为 ， 单单位位为为弧度（弧度（rad)。26电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/2727电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论（2）2024/7/2728电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论u纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；u横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不均匀的。2024/7/27半对数坐标图29电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/2730电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论 为了说明对数幅频特性的特点，引进为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率斜率的的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量对应的纵坐标分贝数的变化量。2024/7/27在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。31电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27Bode图图的特点的特点 Bode图图在控制工程在控制工程设计设计和和综综合中，合中， 具有以下具有以下优优点。点。 （1）横坐标按频率取对数分度，低频部分分辨率高，而高频部分分辨粗略。与对实际控制系统（一般为低频系统）的频率分辨要求吻合。 （2）幅频特性取分贝数20Lg|G（s）H（s）|后，使各因子间的乘除运算变为加减运算，在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。32电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27（3）可采用由直）可采用由直线线段构成的段构成的渐渐近特性（或稍加修近特性（或稍加修正）代替精确正）代替精确Bode图图，使，使绘图绘图十分十分简简便。便。 （4）在控制系）在控制系统统的的设计设计和和调试调试中，开中，开环环放大系数放大系数K是最常是最常变变化的参数。而化的参数。而K的的变变化不影响化不影响对对数幅数幅频频特性的形状，只会使幅特性的形状，只会使幅频频特性曲特性曲线线作作上下平移上下平移。 33电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27【例例5-2】绘绘制制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系系统统的的对对数幅数幅频频和和对对数相数相频频特特性曲性曲线线(Bode图图)。 解：由解：由传递传递函数可得系函数可得系统统的的频频率特性：率特性：因此，其对数幅频和对数相频特性为：因此，其对数幅频和对数相频特性为：34电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27得：当从0变化到 时，分别绘制Bode图如下：35电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27 工程工程实实践中，一般采用践中，一般采用分段直分段直线线（渐渐近近线线）来）来绘绘制系制系统对统对数数幅幅频频特性曲特性曲线线L( )，用取有限个，用取有限个频频率点率点计计算相角并描算相角并描绘绘曲曲线线的方法的方法绘绘制制 ( )曲曲线线 。必要。必要时时在一些特殊在一些特殊频频段段进进行修正行修正。 36电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27例如本例中，在低频时，即 时，可以近似认为 ，则有：低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线。在高频时，即 时，则有： 37电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27高高频时：在高频时，即 时，则有： 高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝分贝/十倍频程十倍频程（20dB/Dec，即即频率每增加频率每增加10倍，幅值就下降倍，幅值就下降20dB）的）的直线。直线。 =1/T时，前述两条直线相交，时，前述两条直线相交， =1/T称为称为交接频率交接频率，或，或称为称为转折频率，转角频率转折频率，转角频率。 用用matlab绘制的对数频率特性曲线如图绘制的对数频率特性曲线如图5-5所示。所示。38电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27精确曲线 精确曲线 渐近线 Asymptote Corner frequency Exact curve精确曲线 Exact curve图5-5 惯性环节的对数频率特性（渐近线及精确曲线）用上述近似用上述近似方法方法产产生的生的最大最大误误差差发发生在生在转转折折频频率率处处，为为39电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/27