1第五章、留第五章、留 数数 主要内容：主要内容： 1 1、孤立奇点类型；、孤立奇点类型； 2 2、留数的计算方法（极点）；、留数的计算方法（极点）； 3 3、通过留数计算积分。、通过留数计算积分。2一、孤立奇点的概念一、孤立奇点的概念定义:如果函数在 不解析, 但在在的某一去心邻域的某一去心邻域内处处解析, 则称为为的孤立奇点的孤立奇点.例例1是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.1 孤孤 立立 奇奇 点点 以洛朗级数为工具，研究一个函数在不解析点（奇点）以洛朗级数为工具，研究一个函数在不解析点（奇点）邻域的情况。邻域的情况。3孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据在其孤立奇点在其孤立奇点的去心邻域的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:1可去奇点可去奇点; 2极点极点; 3本性奇点本性奇点.例例2 2 求函数求函数即在即在的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在的奇点存在, 的孤立奇点的孤立奇点总有总有不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以注意注意: : 孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.4其和函数其和函数为在为在解析的函数解析的函数.说明说明: (1)(2) 无论无论在在是否有定义是否有定义, 如果补充定义如果补充定义则函数则函数在在解析解析.1可去奇点可去奇点如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项, 那么孤立奇点那么孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.1) 定义定义若若 为为 的可去奇点的可去奇点,则则 在圆环域内可展开为在圆环域内可展开为洛朗级数洛朗级数 5 2) 可去奇点的判定可去奇点的判定(1) 由定义判断由定义判断:的洛朗级数无负的洛朗级数无负在在如果如果幂项则幂项则为为的可去奇点的可去奇点.(2) 判断极限判断极限若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则为为的可去奇点的可去奇点.6若补充定义若补充定义:时时,则则在在解析解析.例例3 中不含负幂项中不含负幂项,是是的可去奇点的可去奇点 . 例例4 为为的可去奇点的可去奇点.所以所以为为的可去奇点的可去奇点.无负幂项无负幂项72. 2. 极点极点 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点. .那么孤立奇点那么孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成1)1)定义：定义： 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项, , 8说明说明:1.2.特点特点:(1)(2)的极点的极点 , 则则为函数为函数如果如果92)极点的判定方法极点的判定方法的负幂项为有的负幂项为有的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析, 且且 (1) 由定义判别由定义判别(2) 由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(3) (3) 利用极限判断利用极限判断10解：解：例例5（1） 有理分式函数有理分式函数是二级极点是二级极点, 是一级极点是一级极点.例例5（2）求求 的奇点的奇点, 如果是如果是极点极点, 指出它的级数指出它的级数.11解解 所以所以不是二级极点不是二级极点, 而是一级极点而是一级极点.例例 问问是是的二级极点吗的二级极点吗?注意注意: 不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论 .12本性奇点本性奇点3.如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个那么孤立奇点那么孤立奇点称为称为的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，例如，含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点: 在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内不存在且不不存在且不为为同时同时不存在不存在.13综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m级极点级极点本性奇点本性奇点洛朗级数特点洛朗级数特点存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且不为无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项关于关于的最高幂的最高幂为为14二、函数的零点二、函数的零点1.零点的定义零点的定义不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数如果如果能表示成能表示成其中其中在在解析且解析且m为某一正整数为某一正整数, 那么那么称为称为的的 m 级零点级零点.例例6注意注意: : 不恒等于零的解析函数的不恒等于零的解析函数的零点是孤立的零点是孤立的.（f(z)只有在只有在z0等于等于0，在，在z0的去心领域内不为的去心领域内不为0）152.零点的判定零点的判定零点的充要条件是零点的充要条件是证证 (必要性必要性)由定义由定义:设设的泰勒展开式为的泰勒展开式为:如果如果在在解析解析, 那么那么为为的的级级如果如果为为的的级零点级零点16其中其中展开式的前展开式的前m项系数都为零项系数都为零 ,由泰勒级数的系数由泰勒级数的系数公式知公式知:并且并且17 由于由于知知是是的一级零点的一级零点 .例例7 是是的一级零点的一级零点 .183.零点与极点的关系零点与极点的关系定理定理如果如果是是的的 m 级极点级极点, 那么那么就是就是的的 m 级零点级零点. 反过来也成立反过来也成立.说明说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法简便的方法. .19例例8 函数函数有些什么奇点有些什么奇点, 如果是极点如果是极点, 指出指出它的级它的级.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使的点的点,这些奇点是这些奇点是是孤立奇点是孤立奇点.的一级极点的一级极点.即即20一、留数的引入设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点;内的洛朗级数内的洛朗级数:在在.的某去心邻域的某去心邻域C为邻为邻域内包含域内包含的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线2 留留 数数210 0 22定义定义 记作记作的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则沿则沿内包含内包含的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分的值除的值除后所得的数称为后所得的数称为以以如果如果23二、利用留数求积分说明说明: 留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求积分转化为求被积函数在被积函数在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.1.留数定理留数定理在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤外处处解析外处处解析, C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线, 那么那么立奇点立奇点函数函数24证证证毕证毕两边同时除以两边同时除以 .如图如图252.留数的计算方法留数的计算方法(1) 如果如果为为的可去奇点的可去奇点, 成洛朗级数求成洛朗级数求(2) 如果如果为为的本性奇点的本性奇点, (3) 如果如果为为的极点的极点, 则有如下计算规则则有如下计算规则展开展开则需将则需将26如果如果 为为 的一级极点的一级极点, 那么那么规则规则1 1如果如果 为为 的的 级极点级极点, 规则规则2 2那么那么规则规则3 3 如果如果设设及及在在都解析，都解析，那么那么为为的一级极点的一级极点, 且有且有27规则规则2 2的证明：的证明： 由于 f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0) +., (z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1 +c0(z-z0)m+.,令两端zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)!即得规则2； 当m=1时就是规则1。28规则规则3 3的证明：的证明：令zz0, 即得29例例1 求求在在的留数的留数.解解 因为因为 z = 0 是是 f(z)的的n级极点级极点30利用洛朗展开式求利用洛朗展开式求较方便较方便:解解例例2 求求在在的留数的留数.31说明说明: 如如 为为 m 级极点，当级极点，当 m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时, 可直接展开洛朗级数求可直接展开洛朗级数求来计算留数来计算留数 .2. 在应用规则在应用规则2时时, 级数高反而使计算方便级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则. 一般不将一般不将m取得比实际的级数高取得比实际的级数高但有时把但有时把m取得比实际的取得比实际的如上例取如上例取32例3： 求在的留数.解解: 是是的四级极点的四级极点.在在内将内将展成洛朗级数展成洛朗级数:33例例4 4 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:解解为一级极点为一级极点,为二级极点为二级极点,34由规则1, 得35第五章第五章 留数留数36零点与极点零点与极点 ： 零点定义：零点定义：f(z)=0f(z)=0的点的点定义：留数定理：3738作业： 1、(1) 4、(1) (2) (3) 5、(2) (5) 8、 (1)