微积分微分方程总结及练习题通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题3 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法特点特点 型型接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得特点特点 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构: :、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.特征方程为特征方程为特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.7 7、欧拉方程、欧拉方程 欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换 可化为常系数微分方程可化为常系数微分方程.的方程的方程(其中其中形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)，二、典型例题二、典型例题例例1 1解解原方程可化为原方程可化为代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分所求通解为所求通解为例例2 2解解原式可化为原式可化为原式变为原式变为对应齐方通解为对应齐方通解为一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程伯努利方程伯努利方程代入非齐方程得代入非齐方程得原方程的通解为原方程的通解为利用常数变易法利用常数变易法例例3 3解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为例例4 4解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为例例5 5解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为由由解得解得故原方程的通解为故原方程的通解为由由即即例例6 6解解（）由题设可得：（）由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得（）原方程为（）原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为解解例例7 7这是一个欧拉方程这是一个欧拉方程代入原方程得代入原方程得(1)和和(1)对应的齐次方程为对应的齐次方程为(2)(2)的特征方程为的特征方程为特征根为特征根为(2)的通解为的通解为设设(1)的特解为的特解为得得(1)的通解为的通解为故原方程的通解为故原方程的通解为