三、数形结合思想三、数形结合思想总纲目录应用一利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题应用二利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题应用三利用数形结合思想解决解析几何问题应用一利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题应用一利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题例例1(2018天津,14,5分)已知a0,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.答案答案(4,8)解析解析设g(x)=f(x)-ax=方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况:情况一:则4a8.情况二:则不等式组无解.综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).【技法点评】【技法点评】用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出这两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.1.函数f(x)=3-x+x2-4的零点个数是.答案答案2解析解析求函数f(x)=3-x+x2-4的零点个数,即为求函数g(x)=x2-4与h(x)=-的图象的交点个数,在同一直角坐标系中,函数g(x),h(x)的图象如图所示,由图可知,h(x)与g(x)的图象有2个交点,故函数f(x)的零点个数为2.2.已知f(x)=若函数y=f(x)+m的图象与x轴恰有三个不同的交点,则m的取值范围为.答案答案-2,1)解析解析f(x)=的图象如图所示.令y=f(x)+m=0,则f(x)=-m.由图可知,当-1-m2,即-2m1时,函数y=f(x)的图象与直线y=-m恰有三个不同的交点,故当-2m1时,函数y=f(x)+m的图象与x轴恰有三个不同的交点.应用二利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题应用二利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题例例2(2018课标全国,12,5分)设函数f(x)=则满足f(x+1)f(2x)的x的取值范围是()A.(-,-1B.(0,+)C.(-1,0)D.(-,0)答案答案D解析解析f(x)=函数f(x)的图象如图所示.由图可知,当x+10且2x0时,函数f(x)为减函数,故f(x+1)2x.此时x-1.当2x0时,f(2x)1,f(x+1)=1,满足f(x+1)f(2x).此时-1x0.综上,不等式f(x+1)f(2x)的解集为(-,-1(-1,0)=(-,0).【技法点评】【技法点评】求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,把两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答.3.若不等式|x-2a|x+a-1对xR恒成立,则a的取值范围是.答案答案解析解析作出y=|x-2a|和y=x+a-1的简图.依题意可知2a2-2a,故a.4.若不等式k(x+2)-的解集为区间a,b,且b-a=2,则k=.答案答案解析解析y=k(x+2)-过定点(-2,-),显然当k0,分别作出直线y=k(x+2)-与半圆y=,如图.由题意知直线在半圆的上方,由b-a=2,可知b=3,a=1,所以直线y=k(x+2)-过点(1,2),则k=.应用三利用数形结合思想解决解析几何问题应用三利用数形结合思想解决解析几何问题例例3(2018课标全国,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.B.C.D.答案答案D解析解析本题考查直线方程和椭圆的几何性质.由题意易知直线AP的方程为y=(x+a),直线PF2的方程为y=(x-c).联立得y=(a+c),如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=(a+c).因为PF2H=60,PF2=F1F2=2c,PH=(a+c),所以sin60=,即a+c=5c,即a=4c,所以e=.故选D.【技法点评】【技法点评】根据几何意义利用数形结合法解决问题需要熟悉常见的代数形式,主要有:比值可考虑直线的斜率;二元一次式可考虑直线的截距;含根式的分式可考虑点到直线的距离;根式可考虑两点间的距离.5.若实数x,y满足不等式组则x2+y2的最小值是()A.25B.5C.4D.1答案答案B在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示,x2+y2的最小值即表示阴影部分(包含边界)中的点与原点的距离的最小值的平方.由图可知直线x-y+1=0与直线x=1的交点(1,2)到原点最近,故x2+y2的最小值为12+22=5.故选B.6.已知点P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为.答案答案2解析从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,SRtPAC=|PA|AC|=|PA|越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直于直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小值,此时|PC|=3,从而|PA|=2.所以(S四边形PACB)min=2|PA|AC|=2.