南岸教师进修学院 聂军2015.11.4漫话数学推理主要内容：什么是推理？推理的方式？ 义务教育阶段对培养学生推理能力的要求？推理在小学数学学习中的表现及作用？如何落实学生推理能力的培养？理论角度课标角度教学角度一.什么是推理？小明一岁时，他第一次喊爷爷，于是爷爷死了。没多久他第一次喊妈妈，于是妈妈死了。再后来，他喊爸爸，于是隔壁的王木匠死了。推理：由一个或几个已知判断推出新判断的思维形式。已有判断叫前提,新判断叫结论。 二.推理的方式？1.计算每组算式 55= 88= 1212= 64= 97= 1311=2.已知2525=625,那么2624=（ ） 3.从这几组算式中你有什么发现？能用语言叙述吗？能用字母式表达吗？(a+1)(a-1)=a2-1 4.能证明自己得到的规律吗？ (a+1)(a-1)=a2-a+a-11 =a2-1 5.你能直接写出（100+1）（100-1）的结果吗？ （100+1）（100-1）=1002-1=999925246463144143 624讨论：哪些地方体现了推理？讨论：哪些地方体现了推理？如何对找出来的推理活动分类？如何对找出来的推理活动分类？ 二.推理的方式？ 推理一般包括合情推理和演绎推理.合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。逻辑推理逻辑推理合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理二.推理的方式？归纳推理前提是已知的几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围，是从特殊到一般,从小到大,根据具体原型猜测一般原理，是一种合乎情理的、好像为真的推理。结论是否正确需要证明。A属于BA真则B更可靠类比推理是一种由特殊到特殊或一般到一般的推理,即根据两个（或两类）事物的某些相同或相似的性质,判断在别的性质上也可能相同或相似.A相似B B真则A可能真演绎推理是从一般到特殊的推理,是从一般原理出发推导出特殊事实的思维形式.A包含B,A真则B真二.推理的方式？1.计算每组算式 55= 88= 1212= 64= 97= 1311=2.已知2525=625,那么2624=（ ） 3.从这几组算式中你有什么发现？能用语言叙述吗？能用字母式表达吗？(a+1)(a-1)=a2-1 4.能证明自己得到的规律吗？ (a+1)(a-1)=a2-a+a-11 =a2-1 5.你能直接写出（100+1）（100-1）的结果吗？ （100+1）（100-1）=1002-1=999925246463144143 624演绎推理类比推理演绎推理归纳推理演绎推理演绎推理二.推理的方式？(a+1)(a-1)=a2-1数学家的思考却未停止会不会 (a+2)(a-2)= a2-2，(a+3)(a-3)= a2-3， ？根据(a+1)(a-1)=a2-12， (a+2)(a-2)= a2-22，(a+3)(a-3)= a2-32， 会不会(a+b)(a-b)=a2-b 2 ？当结论用代数语言得以呈现并证明，内心终于踏实了，因为一条普遍真理被发现了。数学就在这不断的归纳，类比，演绎中走向深刻，取得发展和进步。正因如此，数学家才将推理定位于最为核心的三大数学思想之一 。三、义务教育阶段对培养学生推理能力的要求？“不讲证明，数学课就失去了灵魂”（中科院姜伯驹）“只习惯于解决别人的现成问题。不会发现解决真问题。数学落后的真正原因。逻辑推理能力并不一定是靠形式证明来培养。创新能力的培养靠的不是。而是合情推理。”（华南大何小亚）长期以来，数学教学注重采取“形式化”的方式，发展学生的演绎推理能力，忽视了合情推理能力的培养。科学结论（定理，法则，公式等）的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比即通过合情推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明其正确或错误。合情推理有利于激发学习兴趣，培养探究能力和创新精神。数学学习需要演绎推理，也需要合情推理。三、义务教育阶段对培养学生推理能力的要求？课标教学建议：“推理能力贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注意学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。”“教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动，发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力。”三、义务教育阶段对培养学生推理能力的要求？建议表明：义务教育阶段推理能力的培养，必须充分考虑学生的身心特点和认知水平，注意层次性和差异性。而且，在多样化的推理活动中，观察、猜想、操作、实验等活动的难易程度容易把握，这些推理的结果尽管有偶然性和或然性，但它绝不是凭空想象，而是根据一定的事实、情境，基于一定的知识经验做出的合乎情理的探索性的判断。所以，合情推理能力的培养应作为重要培养目标贯穿于义务教育各学段教学的始终。“不仅要教证明，也要教猜想”，要渗透合情推理的思维过程，激活学生的思维。面对问题情境不要把知识和结果和盘托出，而是要引导学生观察、实验、大胆猜想，“从总体观察，你有什么发现？”“大胆猜测一下，它可能是”“动手做出来看看！”让学生努力践行和体验合情推理这一发现真理的思维。 三、义务教育阶段对培养学生推理能力的要求？三、义务教育阶段对培养学生推理能力的要求？小学阶段的数学学习主要是为了帮助学生积累关于数学的直观认识和感性体验，除了完全归纳，小学数学很多数学结论无法在当下进行形式化证明。严格和确凿的推理标准只能让学生对数学望而生畏，畏而生厌（比如乘法交换律的证明）。所以，小学数学更应侧重于组织以“观察操作、直觉想象、猜想与估计”为特征的合情推理活动。 三、义务教育阶段对培养学生推理能力的要求？小学生是怎样学习乘法交换律的？“实物矩阵列不同的乘法提出猜想举例佐证（反驳）肯定结论”小学数学中的所谓“证明”，多数时候是合情推理，并不是演绎证明，实质就是能举出大量有“说服力”的实例或举不出反例。四.推理在小学数学学习中的表现及作用 交流： 寻找小学数学教学中归纳推理,类比推理,演绎推理的实例各一个 ，体会其作用？四.推理在小学数学学习中的表现及作用 （一）合情推理在小学数学学习中的表现和作用1.发现规律或性质（兀值,乘小于1的数积小于这个数,商不变的规律,分数基本性质）2.导出意义或法则、特性（乘分数就是求它的几分之几是多少;同分母分数相加分母不变分子相加,与1和0相关的乘法的积）3.总结运算定律,公式或数量关系（乘法运算定律,三角形面积公式,每份数x份数=总数）4.说明原理（用剪拼,折拼,测量说明内角和180度）四.推理在小学数学学习中的表现及作用 （二）演绎推理在小学数学学习中的表现和作用1.巩固知识.数学练习与应用的本质就是运用一般原理于个别的情境中,就是知识的具体化,思维的演绎。（6/5是最简分数？小数0.040哪些可以去掉？长4宽3的长方形面积？列竖式计算整数乘法算不算演绎推理？）2.推导新知要引导学生主动通过演绎推理派生出新知。（通过合情推理掌握三角形内角和是180度的规律后引导学生进行思维演绎）四.推理在小学数学学习中的表现及作用 四边形、五边形的内角和五.如何落实学生推理能力的培养？小学生的推理能力主要表现：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想或结论，并进一步寻求事实或实例佐证或反驳猜想或结论；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据。在与在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合他人交流的过程中，能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论与质疑。乎逻辑地进行讨论与质疑。五.如何落实学生推理能力的培养？1、加强教师的推理自觉和推理能力用一张长30米，宽20米的长方形铁皮围成一个圆柱，并给它配上相应的底，这个圆柱的体积最大是多少？小明有10块巧克力，他打算连续几天吃完，每天要么吃1块，要么吃几块（均为整数）。吃完这10块巧克力，他一共可以设计出几种吃法？“合情猜测，计算分析”“举例佐证，归纳发现”“形式论证，肯定结论”从简单情形开始思考；化难为易；化繁为简；化陌生为熟悉；化抽象为具体。五.如何落实学生推理能力的培养？2、狠抓概念教学，夯实推理的知识基础推理是由一个或几个已知判断推出新判断的思维形式，它的思维单元是“判断”。而判断是凭借概念对事物的性质和事物间的联系是否存在或是否成立作出肯定或否定的思维形式。可见，有条理的思维和推断将最终取决于学生头脑中是否具备清晰而牢固的数学概念或观念。学习时，应该让学生对数学概念的来源、本质以及概念之间的联系有深刻的理解，为推理打下坚实的基础。（没有周长和长方形特征的掌握，学生便不会有效自主探索归纳出长方形的周长计算公式；运用乘法分配律简便运算时，学生必须以清晰、稳固的乘法分配律知识为基础，才能实现正确，合理，灵活的计算。）对比题：7899781 789978 78991 7899五.如何落实学生推理能力的培养？ 3. 构建推理教学范式，积累推理的基本经验推理能力作为一种智慧技能，其形成是一个缓慢的过程，教不懂也学不会，只能在数学活动中去“悟”，去养成思考的惯性。不管哪一条数学法则，性质，原理或基本数量关系的获得，无一不包含着丰富多彩的数学思维活动，如观察，猜测，画图，操作，列举，举例，归纳，类比等等。我们应当组织引导学生经历这些活动，提供探索交流的空间，并经常引导学生回顾反思数学结论的形成过程和经历过的思维活动，帮助他们感悟和积累推理活动经验。五.如何落实学生推理能力的培养？3. 构建推理教学范式，积累推理的基本经验教学范式：问题实验观察发现猜想验证可能性教学示例：不打开口袋看，怎样知道袋子里是红球多还是白球多？说明：统计推断属于合情推理的范畴，是一种可能性推理。统计推理得到的结论无法用逻辑的方法去证明，只有靠实践证实。因此，探究活动要重视学生经历收集、整理、分析数据，作出推断的全过程。注意：别把“预测的结果”当成“绝对正确的结论”。 五.如何落实学生推理能力的培养？3. 构建推理教学范式，积累推理的基本经验整数乘法运算定律推广到小数教学示例：用字母表示学过的乘法运算定律。选择一个举例说明。你学得这些字母还可以表示什么数？我们的想法正确吗？如何“证明”？举例佐证，结论可靠。我们是怎样获得小数乘法中的运算定律的？教学范式：已有数学事实类比联想猜想佐证结论反思推广应用五.如何落实学生推理能力的培养？3. 构建推理教学范式，积累推理的基本经验多位数乘法练习教学示例：任写一道两位数与11相乘的乘法并算出结果。汇报算式及结果：2311=253， 1145=495，6211=682， 1134=374观察算式及结果：你发现了什么？（提出猜想：有一个乘数是11的两位数乘法，求积的方法可以是“左右一拉，中间一加”）举例验证：猜想成立吗？（合情推理，佐证）如何完善刚才的猜想？（合情推理新发现：“左右一拉，中间一加，满十进加”）举例验证：猜想成立吗？（合情推理，佐证）没有反例，结论可靠性强。刚才我们发现了一个什么计算现象，是如何发现的？（反思过程，积累经验）教学范式：感知猜想验证结论反思推广应用3. 构建推理教学范式，积累推理的基本经验最核心的两步“猜想证明”,要教给学生猜想和证明的方法。例：站在推理的角度教植树问题4、开展专门的推理练习和推理游戏推理练习示例：五.如何落实学生推理能力的培养？推理游戏示例：在三个盒子里，一只装有两个红球，一只装有两个白球，还有一只装有一个白球和一个红球。现在三个盒子上的标签全贴错了，你能只从一只盒子里拿出一个球来，就能确定这三个盒子里各装的是什么吗？4、开展专门的推理练习和推理游戏五.如何落实学生推理能力的培养？通过今天的交流，关于数学推理有了什么收获？小明一岁时，他第一次喊爷爷，于是爷爷死了。没多久他第一次喊妈妈，于是妈妈死了。再后来，他喊爸爸，于是隔壁的王木匠死了。该笑话的幽默结果一定成立吗？ 换一个角度思考,如果小明叫谁谁死这个前提成立的话（即是真理）,这个笑话还能推出哪些结论？ 推论1：小明是木匠的儿子，木匠的爹就应是小明的爷爷，叫爷时应是木匠的爹死；推论2：木匠的“爹”没死，说明木匠的“爹”不是木匠的亲爹；推论3：既然死了的爷爷是小明的真爷爷,死了的木匠是小明的真爸爸，说明死木匠是死爷爷的儿子；推论4：但是死木匠和死爷爷又不是住在一起的一家人，说明死木匠应是死爷爷和木匠妈妈的产品。 推理能让我们更透彻地读懂生活的真相 ！谢谢