学习要求与内容提要学习要求与内容提要目的与要求目的与要求：了解了解在任意有限区间上函数的傅里在任意有限区间上函数的傅里 叶级数展开法；掌握周叶级数展开法；掌握周期函数的期函数的傅傅傅傅 里叶里叶里叶里叶展开、定义和性质；展开、定义和性质；函数的函数的 定义与性质。定义与性质。重点：重点：难点：难点：傅里叶变换傅里叶变换、函数。函数。函数的概念。函数的概念。2 18071807年年1212月月2121日，日，FourierFourier向法国科学院宣布：任意的周向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献:“周期信号都可表示为谐波关系的正周期信号都可表示为谐波关系的正周期信号都可表示为谐波关系的正周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和弦信号的加权和弦信号的加权和弦信号的加权和” 傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权非周期信号都可用正弦信号的加权非周期信号都可用正弦信号的加权非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示积分表示积分表示积分表示” 傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点5.1 5.1 5.1 5.1 傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数3 1.1.波的叠加波的叠加 在普通物理学中在普通物理学中, ,我们已经知道最简单的波是谐波我们已经知道最简单的波是谐波( (正弦波正弦波),),它是形如它是形如 Asin(t+)的波的波, ,其中其中A是振幅是振幅, ,是角频率是角频率, , 是是初相位初相位. .其他的波如矩形波其他的波如矩形波, ,锯齿形波等往往都可以用一系列谐锯齿形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来波的叠加表示出来. .（一）（一）（一）（一） 周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开非正弦周期函数非正弦周期函数: :矩形波矩形波可以用不同频率正弦波叠加构成！可以用不同频率正弦波叠加构成！可以用不同频率正弦波叠加构成！可以用不同频率正弦波叠加构成！45 由上例可以由上例可以推断推断推断推断：一个：一个周期为周期为2l的的函数函数函数函数f f( (x+x+2 2l l)= )= f f( (x x) ) 可以可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加看作是许多不同频率的简谐函数的叠加. .6-l, ,l 上的积分等于上的积分等于 0 . .其中任意两个不同的函数之积在其中任意两个不同的函数之积在 2. 三角函数族及其正交性三角函数族及其正交性引入引入引入引入三角函数族三角函数族三角函数族三角函数族上的积分不等于上的积分不等于 0 .0 .两个相同的函数的乘积在两个相同的函数的乘积在-l, ,l 7证证: :同理可证同理可证 : :任意两个不同的函数之积在任意两个不同的函数之积在-l,l上的积分等于上的积分等于 0 .8同理可证同理可证 : :9两个相同的函数的乘积在两个相同的函数的乘积在-l,l 上的积分不等于上的积分不等于 0 .证证: :10如果周期为如果周期为2l 的函数的函数 f (x)满足满足收敛定理条件收敛定理条件收敛定理条件收敛定理条件,则它可以展开式为下列级数则它可以展开式为下列级数(在在 f (x) 的连续点处的连续点处) 3.3.周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开式式 称为称为f(x) )的的傅傅傅傅里里里里叶级数叶级数叶级数叶级数 .式中式中a0, ak, bk称为函数称为函数f(x)的的傅傅傅傅里里里里叶系数叶系数叶系数叶系数 ; ;问题问题: a0, ak, bk 等于什么等于什么? ?我们利用三角函数族的正交性来求解我们利用三角函数族的正交性来求解11对对在在-l,l逐项积分逐项积分, 得得乘乘 在在-l,l逐项积分并运用正交性逐项积分并运用正交性, 得得由三角函数的正交性由三角函数的正交性0 0由三角函数的正交性得由三角函数的正交性得0 0n=k由三角函数的正交性由三角函数的正交性0 012类似地类似地, , 用用 sin k/l 乘乘 式两边式两边, , 再逐项积分可得再逐项积分可得归纳归纳: :13(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点第一类间断点第一类间断点第一类间断点； (2)在每个周期内只有有限个极值点，则在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数傅里叶级数收敛，收敛，且且在在收敛点收敛点有：有： 在在间断点间断点有：有： 狄里希利定理狄里希利定理 : 若函数若函数f(x)满足条件：满足条件： 4. 4. 傅里叶级数的收敛性定理傅里叶级数的收敛性定理 注注注注: :第一类间断点第一类间断点第一类间断点第一类间断点 如果如果f(x)在间断点在间断点x0处左右极限存在处左右极限存在, 则称点则称点x0为为f(x) 的第一类间断点的第一类间断点.14其中其中(在在 f (x) 的连续点处的连续点处) 如果如果 f (x) 为为奇函数奇函数奇函数奇函数, , 则则a0和和ak均为零，即有均为零，即有傅里叶正弦级数傅里叶正弦级数傅里叶正弦级数傅里叶正弦级数（二）（二）（二）（二） 奇函数和偶函数的傅里叶展开奇函数和偶函数的傅里叶展开奇函数和偶函数的傅里叶展开奇函数和偶函数的傅里叶展开说明：说明：说明：说明：15 如果如果 f (x) 为为偶函数偶函数,则则bk为零，即有为零，即有傅里叶余弦级数傅里叶余弦级数傅里叶余弦级数傅里叶余弦级数(在在 f (x) 的连续点处的连续点处)其中其中注注: : 无论哪种情况无论哪种情况 , , 在在 f (x) 的间断点的间断点 x 处处, ,傅里叶级数傅里叶级数都收敛于都收敛于说明：说明：说明：说明：16当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上时上时, ,变换法变换法令即即在上展成傅里叶级数上展成傅里叶级数周期延拓将将在回代入展开式回代入展开式上的傅里叶级数上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法其傅里叶展开方法: :（三）（三） 有限区间中的函数的傅里叶展开有限区间中的函数的傅里叶展开* *( (自学自学) )17延拓法延拓法在上展成正弦或余弦级数上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓奇或偶式周期延拓18利用利用欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式已知周期为已知周期为 2 l 的周期函数的周期函数f (x)可展开为级数可展开为级数：（四）（四） 复数形式的傅里叶展开复数形式的傅里叶展开19注意到注意到同理同理20傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式: :因此得因此得21例例2 2：矩形波矩形波解：解：coskk=2n: cosk=1k=2n+1: cosk=- -1221. 周期为周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式的函数的傅里叶级数展开公式(x 间断点间断点)其中其中当当f (x)为奇为奇( (偶偶) ) 函数时函数时,为正弦为正弦(余弦余弦) 级数级数. 2. 2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换变换延拓延拓3. 3. 傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式 利用欧拉公式导出利用欧拉公式导出23122425 周期函数的性质是周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大每增大2l，函数值就重复，函数值就重复一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期2l的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓“傅傅傅傅里叶积分里叶积分里叶积分里叶积分”。5.2 5.2 5.2 5.2 傅里叶积分与傅里叶变换傅里叶积分与傅里叶变换傅里叶积分与傅里叶变换傅里叶积分与傅里叶变换考察复数形式的傅里叶级数考察复数形式的傅里叶级数: :（一）（一） 傅里叶变换傅里叶变换26非周期函数的复数形式的非周期函数的复数形式的形式形式形式形式“傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数”: :引入新参量：引入新参量：引入新参量：引入新参量：上式改写为：上式改写为：2627令令有有若若 有限，则非周期函数可以展开为有限，则非周期函数可以展开为称称f(x)的的傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换称称F()的的逆傅里叶变换逆傅里叶变换逆傅里叶变换逆傅里叶变换像函数像函数原函数原函数注意到：注意到：注意到：注意到：28傅里叶积分定理傅里叶积分定理：若函数若函数 f(x) 在区间在区间(- - ，+ + )上满足条件上满足条件: : (1) (1) 在任意有限区间满足狄里希利条件在任意有限区间满足狄里希利条件； (2) (2) 在区间在区间 (-(- ，+ + ) )上绝对可积（即上绝对可积（即 收敛）收敛）， 则则 f(x) 可表为傅里叶积分，且可表为傅里叶积分，且 傅里叶积分值傅里叶积分值= =f f( (x x) )的傅里叶变换式的傅里叶变换式的傅里叶变换式的傅里叶变换式奇函数与偶奇函数与偶函函数的傅里叶变换数的傅里叶变换 傅里叶变换对傅里叶变换对29 当当f(x)是偶函数是偶函数 当当f(x)是奇函数是奇函数 进一步注意到进一步注意到 当当f(x)是偶函数是偶函数 同理同理,当当f(x)是奇函数是奇函数 3031例例1定义定义:矩形函数为矩形函数为将矩形脉冲将矩形脉冲 展开为傅里叶积分。展开为傅里叶积分。解解:矩形脉冲函数的周期为矩形脉冲函数的周期为-T,T, 如右图如右图.(1) (1) 导数定理导数定理（二）（二） 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质根据傅里叶积分定理，根据傅里叶积分定理，32(2) (2) 积分定理积分定理由变上限积分定理：由变上限积分定理：由由导数定理导数定理利用利用导数定理导数定理证明，记证明，记33(3) (3) 相似性定理相似性定理空域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）空域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩） f(x/2)压缩扩展34(4) (4) 延迟定理延迟定理(5) (5) 位移定理位移定理35例例2求：求：的频谱？的频谱？解：解：由由 位移定理位移定理36若若(6) (6) 卷积定理卷积定理和和则则卷积定义卷积定义卷积定义卷积定义37卷积卷积 卷积定理反映了卷积定理反映了两个傅立叶变换之间的关系，它构成了空两个傅立叶变换之间的关系，它构成了空间域和频率域之间的基本关系。卷积对深入理解在傅立叶变换间域和频率域之间的基本关系。卷积对深入理解在傅立叶变换基础上的图像处理技术是十分重要的。基础上的图像处理技术是十分重要的。其中其中 是积分伪变量。是积分伪变量。 两个函数两个函数f(x)和和g(x)的卷积记作的卷积记作f(x)*g(x)，由下式所定义：，由下式所定义：38f( ) 011g(- ) 0-11/2g(x- ) 0-11/2xg( ) 011/2f(x)xg(x)x011011/2例：求如图所示的例：求如图所示的f(x)*g(x)，即，即卷积积分的图解计算卷积积分的图解计算39f ( ) g(x- ) 0-11/211x0 x 1卷积为卷积为：x/2 0-11/2x-1f ( ) g(x- )1x11 x 2卷积为卷积为：1- x/2x0-11/211f (x)* g(x) x/2 0 x 1f(x)*g(x)= 1 - x/2 1 x 2 0 其它其它40（7 7）帕塞瓦尔等式）帕塞瓦尔等式能量守恒能量守恒41( (三三) ) 傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义求和求和振幅谱振幅谱 相位谱相位谱42( (四四) ) 高维傅里叶变换高维傅里叶变换 二维连续函数二维连续函数f (x,y)的傅里叶变换定义的傅里叶变换定义如下：如下： 设设f (x,y)是是两两个个独独立立变变量量x,y的的函函数数，且且在在上上绝绝对对可可积，则定义积分积，则定义积分 为二维连续函数为二维连续函数f (x,y)的的傅里叶变换傅里叶变换，并定义，并定义 为为F(k1,k2)的的逆逆变换变换。 f (x,y)和和F(k1,k2)称为傅里叶变换对。称为傅里叶变换对。（1） （2） 1 1 二维傅里叶变换二维傅里叶变换43例例2 2: : 求函数求函数 的傅里叶变换的傅里叶变换(矩孔费琅和夫衍射矩孔费琅和夫衍射)。 解：由傅里叶变换关系解：由傅里叶变换关系 有有44其幅度谱为其幅度谱为（a a）信号的频谱图）信号的频谱图 （b b）图（）图（a a）的灰度图）的灰度图（幅度谱）（幅度谱）图图 信号的频谱图信号的频谱图 k1F(k1,k2)k2452 2 三维三维FourierFourier变换变换4647其中：其中：485.21, 5491. 1. 源与场源与场 质点质点引力场，引力场， 电荷电荷电场，电场， 热源热源温度场温度场2.2.点源：质点点源：质点点电荷点电荷点热源点热源点光源点光源 点电荷激发的场：点源点电荷激发的场：点源q0位于位于 0处处，场点位于场点位于r 处的处的电场的数学表示电场的数学表示： 3.3.连续分布的源所产生的场连续分布的源所产生的场： 无数个点源产生的场的叠加无数个点源产生的场的叠加。 如何描述点源如何描述点源? ?5.3 5.3 函数函数( (特殊函数特殊函数)50（一）（一）（一）（一） 函数函数函数函数 在物理学中对于在物理学中对于在某种坐标系下高在某种坐标系下高度集中的量，如点电荷、点光源、质点度集中的量，如点电荷、点光源、质点以及又窄又强的电脉冲等，常用一个特以及又窄又强的电脉冲等，常用一个特殊的函数殊的函数函数函数函数函数来描述。来描述。 设质量设质量m均匀分布在均匀分布在长为长为l的线段的线段- -l/2,l/2上（上（如图如图）, 进一步设线的单位长度质量即进一步设线的单位长度质量即线质量密度线质量密度为为 l ：下面我们从质点的描述来引入下面我们从质点的描述来引入 函数函数函数函数51线段总质量：线段总质量：时，线段收缩为质点时，线段收缩为质点(x=0)。设线段在收缩为。设线段在收缩为当线段在当线段在质点的极限下总质量不变，即质点的极限下总质量不变，即，即线段收缩为质点，即线段收缩为质点(x=0)。线质量密度线质量密度线质量密度线质量密度为为当线段在当线段在在总质量不变的条件下：在总质量不变的条件下：在总质量不变的条件下：在总质量不变的条件下：5253引入引入广义函数广义函数广义函数广义函数： 函数函数一般地，我们有一般地，我们有定义定义定义定义1 1 1 1： 且且 量纲为：量纲为：1/x (x)的形象描述见（图示）的形象描述见（图示） 53（二）性质（二）性质（二）性质（二）性质(1) 偶函数偶函数偶函数偶函数定义定义定义定义2 2 函数函数 （筛选性）（筛选性）（筛选性）（筛选性）如果对于任意一个在区间如果对于任意一个在区间 上连续的函数上连续的函数 恒有恒有 为为则称满足上式中的函数则称满足上式中的函数 函数函数， 利用积分形利用积分形利用积分形利用积分形式证式证式证式证5455(2) 阶跃函数或亥维赛单位函数阶跃函数或亥维赛单位函数阶跃函数或亥维赛单位函数阶跃函数或亥维赛单位函数(函数的原函数函数的原函数)(3) 复合函数复合函数复合函数复合函数(尺度变换尺度变换)若若 的实根的实根 全部是单根，则全部是单根，则由变上限积分定理（由变上限积分定理（ 函数是函数是阶跃函阶跃函数的导函数数的导函数）：）：56证明：按定义证明：按定义上面等式两边分别在第上面等式两边分别在第n个根个根xn附近积分：附近积分：例例1即即因因 的实根的实根 全部是单根，则全部是单根，则(4)(4)(4)数傅立叶变换对数傅立叶变换对数傅立叶变换对数傅立叶变换对1x010x0057( ( ( (三三三三) ) ) ) 函数是一种广义函数函数是一种广义函数函数是一种广义函数函数是一种广义函数上述极限是就积分意义上而言的。上述极限是就积分意义上而言的。( (高斯函数高斯函数 ）( (双边指数函数双边指数函数) ) 所以所以所以所以 函数有多种定义函数有多种定义函数有多种定义函数有多种定义：58（四）（四）（四）（四） 函数函数函数函数傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换（五）多（五）多（五）多（五）多维维维维 函数函数函数函数59605.326162