7.2 平面图形的面积平面图形的面积1小结小结 思考题思考题 作业作业直角坐标直角坐标下平面图形的面积下平面图形的面积7.2 平面图形的面积平面图形的面积第第7 7章章 定积分的应用定积分的应用极坐标下平面图形的面积极坐标下平面图形的面积 7.2 平面图形的面积平面图形的面积2 回忆回忆的几何意义的几何意义:曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积. . 启示启示 一般曲线围成区域的面积也可以一般曲线围成区域的面积也可以用定积分来计算用定积分来计算.定积分定积分 下面曲线均假定是下面曲线均假定是连续连续曲线曲线. 注注等于介于等于介于y = f (x), 直线直线x = a, x = b与与x轴之间轴之间 7.2 平面图形的面积平面图形的面积3求这两条曲线及求这两条曲线及直线直线x = a, x = b所围成的区域的所围成的区域的面积面积A.面积微元面积微元dA为为它对应的它对应的(1) 即即区间区间一、直角坐标一、直角坐标下平面图形的面积下平面图形的面积设在区间设在区间a, b上上, 曲线曲线y = f (x)位于曲线位于曲线y = g(x)的上方的上方, 在在a, b上任取一个上任取一个小小 7.2 平面图形的面积平面图形的面积4(2) 由曲线由曲线 x = f (y),和直线和直线y = c, x = d所围成的区域的所围成的区域的 面积面积A.面积微元面积微元dA为为它对应的它对应的区间区间x = g(y) 在在c, d上任取一个上任取一个小小 7.2 平面图形的面积平面图形的面积5例例解解 画草图画草图,求两曲线交点的坐标以便求两曲线交点的坐标以便解方程组解方程组:交点交点面积微元面积微元法一法一 选选 为积分变量为积分变量,确定积分限确定积分限, 7.2 平面图形的面积平面图形的面积6法二法二 选选 y为积分变量为积分变量,面积微元面积微元法三法三 将图形看成将图形看成: 0, 3上方的三角形上方的三角形减去减去在在2, 3上方的曲边梯形上方的曲边梯形, 再再加上加上0, 2下方的曲边梯形下方的曲边梯形: 7.2 平面图形的面积平面图形的面积7(3) 平面图形平面图形(如图如图)面积为面积为设设f (x)、 g(x)在在a, b上连续上连续, 则曲线则曲线y = f (x)、 y = g(x)与直线与直线x = a, x = b所围成的所围成的 7.2 平面图形的面积平面图形的面积8解解两曲线的交点两曲线的交点画草图画草图, 7.2 平面图形的面积平面图形的面积9解解曲线的参数方程为曲线的参数方程为由对称性由对称性,作变量代作变量代换换,例例其中其中总面积等于总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积.不易积分不易积分. 一般地一般地, 当曲线用参数方程当曲线用参数方程表示时表示时, 都可以用类似的变量代都可以用类似的变量代换法处理换法处理. 7.2 平面图形的面积平面图形的面积10解解 面积面积作变量代作变量代换换求摆线求摆线(旋轮线旋轮线)与与x轴所围图形的面积轴所围图形的面积. 7.2 平面图形的面积平面图形的面积11面积微元面积微元曲边扇形的面积曲边扇形的面积由极坐标方程由极坐标方程给出的平面曲线给出的平面曲线所围成的面积所围成的面积A.和射线和射线曲曲边边扇扇形形二、二、极坐标下平面图形的面积极坐标下平面图形的面积 7.2 平面图形的面积平面图形的面积12解解由对称性知总面积由对称性知总面积= 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积例例求双纽线求双纽线所围平面图形的面积所围平面图形的面积. 7.2 平面图形的面积平面图形的面积13解解 利用利用对称性对称性知知例例求心形线求心形线所围平面图形的所围平面图形的面积面积 7.2 平面图形的面积平面图形的面积14解解求交点求交点由对称性由对称性2例例 求心形线求心形线的公共部分的面积的公共部分的面积.所围图形与圆盘所围图形与圆盘 7.2 平面图形的面积平面图形的面积15解解交点交点由对称性由对称性是双纽线方程是双纽线方程.极坐标方程极坐标方程:极坐标方程极坐标方程: 7.2 平面图形的面积平面图形的面积16解解 利用对称性知利用对称性知的公共部分面积的公共部分面积. 7.2 平面图形的面积平面图形的面积17答案答案(1)成的面积最小成的面积最小.(2)之间图形面积之间图形面积.答案答案 7.2 平面图形的面积平面图形的面积18解解之间图形面积之间图形面积.对称性对称性 所求面积所求面积A为在第一象限中为在第一象限中由直线由直线x轴轴及椭圆及椭圆所围图形面积的所围图形面积的 8倍倍.将椭圆将椭圆化为化为极坐标极坐标方程方程.(2)将将代入椭圆代入椭圆得得 7.2 平面图形的面积平面图形的面积19 7.2 平面图形的面积平面图形的面积20解解求由抛物线求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形与过焦点的弦所围成的图形设设记记面积的最小值面积的最小值. .焦点焦点焦点焦点(变变)弦弦(1)(2) 求交点求交点 7.2 平面图形的面积平面图形的面积21(3) 设设因为因为S(k)单减单减所以所以求由抛物线求由抛物线与过焦点的弦所围成的与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值图形面积的最小值. . 7.2 平面图形的面积平面图形的面积22求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形 (注意恰当的注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化积分有助于简化积分分平面图形的方法有分平面图形的方法有:分竖条分竖条, 分横条分横条, 分成扇形分成扇形, 分成圆环分成圆环.的面积的面积.运算运算)三、小结三、小结 7.2 平面图形的面积平面图形的面积23思考题思考题位置无关位置无关.分别分别表示从点表示从点向抛物线向抛物线引出的两条切线的切点引出的两条切线的切点.在点在点的切线方程的切线方程:即即又又解解 7.2 平面图形的面积平面图形的面积24于是切线于是切线的方程分别为的方程分别为所围图形的所围图形的面积为面积为可见可见A与与x0无关无关, A与点与点P(x0, y0)位置无关位置无关. 7.2 平面图形的面积平面图形的面积25作业作业习题习题7.2 (2517.2 (251页页) )