第九节函数模型及其应用【知【知识识梳理】梳理】1.1.几几类类常常见见的函数模型的函数模型函数模型函数模型函数解析式函数解析式一次函数模型一次函数模型f(x)=ax+b(a,bf(x)=ax+b(a,b为常数为常数,a0),a0)反比例函数模型反比例函数模型f(x)= +b(k,bf(x)= +b(k,b为常数且为常数且k0)k0)二次函数模型二次函数模型f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c为常数为常数,a0),a0)函数模型函数模型函数解析式函数解析式指数函数模型指数函数模型f(x)=baf(x)=bax x+c(a,b,c+c(a,b,c为常数为常数,b0,a0,b0,a0且且a1)a1)对数函数模型对数函数模型f(x)=blogf(x)=bloga ax+c(a,b,cx+c(a,b,c为常数为常数,b0, ,b0, a0a0且且a1)a1)幂函数模型幂函数模型f(x)=axf(x)=axn n+b(a,b+b(a,b为常数为常数,a0),a0)2.2.三种函数模型的性三种函数模型的性质质函数函数性质性质y=ay=ax x(a1)(a1)y=logy=loga ax(a1)x(a1)y=xy=xn n(n0)(n0)在在(0,+)(0,+)上的增减性上的增减性单调单调_单调单调_单调递增单调递增增长速度增长速度越来越越来越_越来越越来越_相对平稳相对平稳递递增增递递增增快快慢慢函数函数性质性质y=ay=ax x(a1)(a1)y=logy=loga ax(a1)x(a1)y=xy=xn n(n0)(n0)图象的图象的变化变化随随x x的增大的增大逐渐表现为逐渐表现为与与_平行平行随随x x的增大逐渐的增大逐渐表现为与表现为与_平平行行随随n n值变化值变化而各有不而各有不同同值的比较值的比较存在一个存在一个x x0 0, ,当当xxxx0 0时时, ,有有logloga axxxxn na0)”“f(x)=x+ (a0)”型函数模型型函数模型 形如形如f(x)=x+ (a0)f(x)=x+ (a0)的函数模型称的函数模型称为为“对对勾勾”函函数模型数模型:(1):(1)该该函数在函数在(-,- (-,- 和和 ,+) ,+)上上单调递单调递增增, ,在在- ,0)- ,0)和和(0, (0, 上上单调递单调递减减. .(2)(2)当当x0x0时时,x= ,x= 时时取最小取最小值值2 ,2 ,当当x0x0时时,x=- ,x=- 时时取最大取最大值值-2 .-2 .【小【小题题快快练练】链链接教材接教材练练一一练练1.(1.(必修必修1P1071P107习题习题3.2A3.2A组组T1T1改改编编) )在某种新型材料的研在某种新型材料的研制中制中, ,实验实验人人员获员获得了下列一得了下列一组实验组实验数据数据. .现现准准备备用下用下列四个函数中的一个近似地表示列四个函数中的一个近似地表示这这些数据的些数据的规规律律, ,其中其中最接近的一个是最接近的一个是( () )A.y=2A.y=2x x B.y=log B.y=log2 2x xC.y= (xC.y= (x2 2-1) D.y=2.61cosx-1) D.y=2.61cosxx x1.951.953.003.003.943.945.105.106.126.12y y0.970.971.591.591.981.982.352.352.612.61【解析】【解析】选选B.B.由表格知当由表格知当x=3x=3时时,y=1.59,y=1.59,而而A A中中y=2y=23 3=8,=8,不合要求不合要求,B,B中中y=logy=log2 23(1,2),C3(1,2),C中中y= (3y= (32 2-1)=4,-1)=4,不合不合要求要求,D,D中中y=2.61cos30,y=2.61cos30).k(k0).写出写出y y关于关于x x的函数关系式的函数关系式, ,并指出并指出这这个函数的定个函数的定义义域域; ;求羊群年增求羊群年增长长量的最大量的最大值值; ;当羊群的年增当羊群的年增长长量达到最大量达到最大值时值时, ,求求k k的取的取值值范范围围. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)根据图象信息根据图象信息, ,确定函数解析式确定函数解析式. .(2)(2)由于最大蓄养量为由于最大蓄养量为m m只只, ,实际蓄养量为实际蓄养量为x x只只, ,则蓄养率则蓄养率为为 , ,故空闲率为故空闲率为1- .1- .建立函数模型后建立函数模型后, ,利用函数的利用函数的最值求羊群年增长量的最大值最值求羊群年增长量的最大值. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)前前1010天满足一次函数关系天满足一次函数关系, ,设为设为y=y=kx+b,kx+b,将点将点(1,10)(1,10)和点和点(10,30)(10,30)代入函数解析式得代入函数解析式得 解得解得 则当则当x=6x=6时时,y= .,y= .答案答案: :(2)(2)根据题意根据题意, ,由于最大蓄养量为由于最大蓄养量为m m只只, ,实际蓄养量为实际蓄养量为x x只只, ,则蓄养率为则蓄养率为 , ,故空闲率为故空闲率为1- ,1- ,由此可得由此可得y= y= kx (0xm);kx (0xm);对原二次函数配方对原二次函数配方, ,得得y=- (xy=- (x2 2-mx)-mx) 即当即当x= x= 时时,y,y取得最大值取得最大值 ; ;由题意知为给羊群留有一定的生长空间由题意知为给羊群留有一定的生长空间, ,则有实际蓄则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量养量与年增长量的和小于最大蓄养量, ,即即0x+ym.0x+ym.因为当因为当x= x= 时时,y,ymaxmax= ,= ,所以所以0 + m,0 + m,解得解得-2k2.-2k0,k0,所以所以0k2.0k2.【母【母题变题变式】式】1.1.若将本例若将本例(2)“(2)“与空与空闲闲率的乘率的乘积积成正比成正比”改改为为“与空与空闲闲率的乘率的乘积积成反比成反比”,”,又如何表示出又如何表示出y y关于关于x x的函数解析的函数解析式式? ?【解析】【解析】根据题意根据题意, ,由于最大蓄养量为由于最大蓄养量为m m只只, ,实际蓄养量实际蓄养量为为x x只只, ,则蓄养率为则蓄养率为 , ,故空闲率为故空闲率为1- ,1- ,因为羊群的年因为羊群的年增长量增长量y y只和实际蓄养量只和实际蓄养量x x只与空闲率的乘积成反比只与空闲率的乘积成反比, ,由由此可得此可得 2.2.若本例若本例(2)(2)牧牧场场中羊群的最大蓄养量中羊群的最大蓄养量为为1000010000只只, ,实际实际蓄养量蓄养量为为80008000只只, ,比例系数比例系数为为k=1,k=1,则则此此时时的年增的年增长长量量为为多少多少? ?【解析】【解析】由题意由题意, ,可知可知y=kx (0xm),y=kx (0xm),此时此时m=10000,x=8000,k=1,m=10000,x=8000,k=1,代入计算可得代入计算可得y=1y=180008000 =1600. =1600.故此时羊群的年增长量为故此时羊群的年增长量为16001600只只. .【规规律方法】律方法】一次函数、二次函数模型一次函数、二次函数模型问题问题的常的常见类见类型及解型及解题题策略策略(1)(1)单单一考一考查查一次函数或二次函数模型一次函数或二次函数模型. .解决此解决此类问题类问题应应注意三点注意三点: :二次函数的最二次函数的最值值一般利用配方法与函数的一般利用配方法与函数的单调单调性解性解决决, ,但一定要密切注意函数的定但一定要密切注意函数的定义义域域, ,否否则则极易出极易出错错; ;确定一次函数模型确定一次函数模型时时, ,一般是借助两个点来确定一般是借助两个点来确定, ,常常用待定系数法用待定系数法; ;解决函数解决函数应应用用问题时问题时, ,最后要最后要还还原到原到实际问题实际问题. .(2)(2)以分段函数的形式考以分段函数的形式考查查. .解决此解决此类问题应类问题应关注以下关注以下三点三点: :实际问题实际问题中有些中有些变变量量间间的关系不能用同一个关系式的关系不能用同一个关系式给给出出, ,而是由几个不同的关系式构成而是由几个不同的关系式构成, ,如出租如出租车车票价与票价与路程之路程之间间的关系的关系, ,应应构建分段函数模型求解构建分段函数模型求解; ;构造分段函数构造分段函数时时, ,要力求准确、要力求准确、简洁简洁, ,做到分段合理、做到分段合理、不重不漏不重不漏; ;分段函数的最分段函数的最值值是各段的最大是各段的最大( (或最小或最小) )值值中的最大中的最大( (或最小或最小) )值值. .易易错错提醒提醒:1.:1.构建函数模型构建函数模型时时不要忘不要忘记记考考虑虑函数的定函数的定义义域域. .2.2.对对构建的构建的较较复复杂杂的函数模型的函数模型, ,要适要适时时地用地用换换元法元法转转化化为为熟悉的函数熟悉的函数问题问题求解求解. .【变变式式训练训练】(2016(2016漳州模漳州模拟拟)“)“活水活水围围网网”养养鱼鱼技技术术具有养殖密度高、具有养殖密度高、经济经济效益好的特点效益好的特点. .研究表明研究表明: “: “活水活水围围网网”养养鱼时鱼时, ,某种某种鱼鱼在一定的条件下在一定的条件下, ,每尾每尾鱼鱼的的平均生平均生长长速度速度v(v(单单位位: :千克千克/ /年年) )是养殖密度是养殖密度x(x(单单位位: :尾尾/ /立方米立方米) )的函数的函数. .当当x x不超不超过过4 4尾尾/ /立方米立方米时时,v,v的的值为值为2 2千千克克/ /年年; ;当当4x204x20时时,v,v是是x x的一次函数的一次函数, ,当当x x达到达到2020尾尾/ /立立方米方米时时, ,因缺氧等原因因缺氧等原因,v,v的的值为值为0 0千克千克/ /年年. .(1)(1)当当0x200x20时时, ,求函数求函数v v关于关于x x的函数解析式的函数解析式. .(2)(2)当养殖密度当养殖密度x x为为多大多大时时, ,鱼鱼的年生的年生长长量量( (单单位位: :千克千克/ /立方米立方米) )可以达到最大可以达到最大? ?并求出最大并求出最大值值. .【解析】【解析】(1)(1)由题意得当由题意得当0x40x4时时,v=2;,v=2;当当4x204x20时时, ,设设v=ax+b,v=ax+b,显然显然v=ax+bv=ax+b在在(4,20(4,20内是减函数内是减函数, ,由已知得由已知得 所以所以 故函数故函数 (2)(2)设年生长量为设年生长量为f(x)f(x)千克千克/ /立方米立方米, ,依题意并由依题意并由(1)(1)可可得得 当当0x40x4时时,f(x),f(x)为增函数为增函数, ,故故f(x)f(x)maxmax=f(4)=42=8;=f(4)=42=8;当当4x204x20时时,f(x)= ,f(x)= f(x)f(x)maxmax=f(10)=12.5.=f(10)=12.5.所以当所以当0x200x20时时,f(x),f(x)的最大值为的最大值为12.5.12.5.即当养殖密度为即当养殖密度为1010尾尾/ /立方米时立方米时, ,鱼的年生长量可以达鱼的年生长量可以达到最大到最大, ,最大值为最大值为12.512.5千克千克/ /立方米立方米. .【加固【加固训练训练】1.(20161.(2016石家庄模石家庄模拟拟) )某种新某种新药药服用服用x x小小时时后血液中的后血液中的残留量残留量为为y y毫克毫克, ,如如图图所示所示为为函数函数y=f(x)y=f(x)的的图图象象, ,当血液当血液中中药药物残留量不小于物残留量不小于240240毫克毫克时时, ,治治疗疗有效有效. .设设某人上午某人上午8:008:00第一次服第一次服药药, ,为为保保证疗证疗效效, ,则则第二次服第二次服药药最最迟迟的的时时间应为间应为( () )A.A.上午上午10:00 B.10:00 B.中午中午12:0012:00C.C.下午下午4:00 D.4:00 D.下午下午6:006:00【解析】【解析】选选C.C.当当x0,4x0,4时时, ,设设y=ky=k1 1x,x,把把(4,320)(4,320)代入代入, ,得得k k1 1=80,=80,所以所以y=80x.y=80x.当当x4,20x4,20时时, ,设设y=ky=k2 2x+b.x+b.把把(4,320),(20,0)(4,320),(20,0)分别代分别代入入可得可得 所以所以y=400-20x.y=400-20x.所以所以y=f(x)= y=f(x)= 由由y240,y240,得得 解得解得3x43x4或或4x8,40),=k (k0),当当x=25x=25时时, ,有有3025-500-k =03025-500-k =0 k=50,k=50,故故y=30x-500-50 (0x100,xNy=30x-500-50 (0100x100时时,y=30x-500-50 -200=30x-50 -700,y=30x-500-50 -200=30x-50 -700,所以所以 (2)(2)设每张门票至少需要设每张门票至少需要a a元元, ,则有则有20a-50 -500020a-50 -5000 20a502 +50020a502 +500 aa5 +2552.24+25=36.2,5 +2552.24+25=36.2,又又a a取整数取整数, ,故取故取a=37.a=37.所以每张门票至少需要所以每张门票至少需要3737元元. .4.(20164.(2016吉林模吉林模拟拟) )某个体某个体经营经营者把开始者把开始6 6个月个月试销试销A,BA,B两种商品的逐月投两种商品的逐月投资资金金额额与所与所获纯获纯利利润润列成下表列成下表: :投资投资A A种商品种商品金额金额( (万元万元) )1 12 23 34 45 56 6获纯利润获纯利润( (万元万元) )0.650.651.391.391.851.852 21.841.841.41.4该经营该经营者准者准备备第第7 7个月投入个月投入1212万元万元经营这经营这两种商品两种商品, ,但但不知投入不知投入A,BA,B两种商品各多少万元才合算两种商品各多少万元才合算. .请请你帮助制你帮助制定一个定一个资资金投入方案金投入方案, ,使得使得该经营该经营者能者能获获得最大得最大纯纯利利润润, ,并按你的方案求出并按你的方案求出该经营该经营者第者第7 7个月可个月可获获得的最大得的最大纯纯利利润润( (结结果保留两位有效数字果保留两位有效数字).).投资投资B B种商品种商品金额金额( (万元万元) )1 12 23 34 45 56 6获纯利润获纯利润( (万元万元) )0.250.250.490.490.760.761 11.261.261.511.51【解析】【解析】以投资额为横坐标以投资额为横坐标, ,纯利润为纵坐标纯利润为纵坐标, ,在平面在平面直角坐标系中画出散点图直角坐标系中画出散点图, ,如图所示如图所示. .观察散点图可以看出观察散点图可以看出,A,A种商品所获纯利润与投资额之种商品所获纯利润与投资额之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟. .由于由于(4,2)(4,2)为最高点为最高点, ,则可设则可设y yA A=a(x-4)=a(x-4)2 2+2,+2,再把点再把点(1,0.65)(1,0.65)代入代入, ,得得0.65=a(1-4)0.65=a(1-4)2 2+2,+2,解得解得a=-0.15,a=-0.15,所以所以y yA A=-0.15(x-4)=-0.15(x-4)2 2+2.+2.B B种商品所获纯利润与投资额之间的变化规律是纯线性种商品所获纯利润与投资额之间的变化规律是纯线性的的, ,可以用一次函数模型进行模拟可以用一次函数模型进行模拟. .设设y yB B=kx+b,=kx+b,取点取点(1,0.25)(1,0.25)和和(4,1)(4,1)代入代入, ,得得0.25=k+b,1=4k+b,0.25=k+b,1=4k+b,解得解得k=0.25,b=0,k=0.25,b=0,所以所以y yB B=0.25x.=0.25x.设第设第7 7个月投入个月投入A,BA,B两种商品的资金分别为两种商品的资金分别为x xA A万元万元,x,xB B万万元元, ,总利润为总利润为p p万元万元, ,那么那么x xA A+x+xB B=12,=12,p=yp=yA A+y+yB B=-0.15(x=-0.15(xA A-4)-4)2 2+2+0.25x+2+0.25xB B, ,所以所以p=-0.15(xp=-0.15(xA A-4)-4)2 2+2+0.25(12-x+2+0.25(12-xA A) )=-0.15x=-0.15xA A2 2+0.95x+0.95xA A+2.6+2.6 当当x xA A= 3.2(= 3.2(万元万元) )时时,p,p取最大值取最大值, ,约为约为4.14.1万元万元, ,此此时时x xB B=8.8(=8.8(万元万元).).即该经营者第即该经营者第7 7个月把个月把1212万元中的万元中的3.23.2万元投资万元投资A A种商品种商品,8.8,8.8万元投资万元投资B B种商品种商品, ,可获得最大利润约为可获得最大利润约为4.14.1万元万元. .考向二考向二函数函数y=x+ y=x+ 模型的模型的应应用用【典例【典例2 2】(2016(2016商丘模商丘模拟拟) )某养殖某养殖场场需定期需定期购买饲购买饲料料, ,已知已知该场该场每天需要每天需要饲饲料料200200千克千克, ,每千克每千克饲饲料的价格料的价格为为1.81.8元元, ,饲饲料的保管料的保管费费与其他与其他费费用平均每千克每天用平均每千克每天0.030.03元元, ,购买饲购买饲料每次支付运料每次支付运费费300300元元. .(1)(1)求求该场该场多少天多少天购买购买一次一次饲饲料才能使平均每天支付的料才能使平均每天支付的总费总费用最少用最少. .(2)(2)若提供若提供饲饲料的公司料的公司规规定定, ,当一次当一次购买饲购买饲料不少于料不少于5 5吨吨时时, ,其价格可享受八五折其价格可享受八五折优优惠惠( (即原价的即原价的85%).85%).问问: :该场该场是否是否应应考考虑虑利用此利用此优优惠条件惠条件? ?请说请说明理由明理由. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)根据条件设根据条件设x x天购买一次饲料可使平天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少均每天支付的总费用最少, ,构造构造“对勾函数对勾函数”求解求解. .(2)(2)根据题意利用函数的单调性求解根据题意利用函数的单调性求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)设该场设该场x(xNx(xN* *) )天购买一次饲料可使天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少平均每天支付的总费用最少, ,平均每天支付的总费用平均每天支付的总费用为为y y1 1. .因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少2000.03=6(2000.03=6(元元),),所以所以x x天饲料的保管费与其他费用天饲料的保管费与其他费用共是共是6(x-1)+6(x-2)+6=(3x6(x-1)+6(x-2)+6=(3x2 2-3x)(-3x)(元元).).从而有从而有y y1 1= (3x= (3x2 2-3x+300)+2001.8= +3x+357-3x+300)+2001.8= +3x+357417,417,当且仅当当且仅当 =3x, =3x,即即x=10x=10时时,y,y1 1有最小值有最小值. .故该场故该场1010天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. .(2)(2)设该场利用此优惠条件设该场利用此优惠条件, ,每隔每隔x x天天(x25)(x25)购买一次购买一次饲料饲料, ,平均每天支付的总费用为平均每天支付的总费用为y y2 2, ,则则y y2 2= (3x= (3x2 2-3x+300)+2001.80.85-3x+300)+2001.80.85= +3x+303(x25).= +3x+303(x25).令令f(x)= +3x(x25),f(x)= +3x(x25),因为因为f(x)=- +3,f(x)=- +3,所以当所以当x25x25时时,f(x)0,f(x)0,即函数即函数f(x)f(x)与与y y2 2在在x25x25时是增函数时是增函数. .所以当所以当x=25x=25时时,y,y2 2取得最小值取得最小值, ,最小值为最小值为390.390.因为因为390417,390417,所以该场应考虑利用此优惠条件所以该场应考虑利用此优惠条件. .【规规律方法】律方法】应应用函数用函数y=x+ y=x+ 模型的关模型的关键键点点(1)(1)明确明确对对勾函数是正比例函数勾函数是正比例函数f(x)=axf(x)=ax与反比例函数与反比例函数f(x)= f(x)= 叠加而成的叠加而成的. .(2)(2)解决解决实际问题时实际问题时一般可以直接建立一般可以直接建立f(x)=ax+ f(x)=ax+ 的模的模型型, ,有有时时可以将所列函数解析式可以将所列函数解析式转转化化为为f(x)=ax+ f(x)=ax+ 的形的形式式. .易易错错提醒提醒:(1):(1)解决此解决此类问题时类问题时一定要关注函数的定一定要关注函数的定义义域域. .(2)(2)利用模型利用模型f(x)=ax+ f(x)=ax+ 求解最求解最值时值时, ,注意取得最注意取得最值时值时等号成立的条件等号成立的条件. .【变变式式训练训练】(2016(2016黄黄冈冈模模拟拟) )近年来近年来, ,某企某企业业每年消每年消耗耗电费约电费约2424万元万元, ,为为了了节节能减排能减排, ,决定安装一个可使用决定安装一个可使用1515年的太阳能供年的太阳能供电设备电设备接入本企接入本企业电业电网网, ,安装安装这这种供种供电电设备设备的工本的工本费费( (单单位位: :万元万元) )与太阳能与太阳能电电池板的面池板的面积积( (单单位位: :平方米平方米) )成正比成正比, ,比例系数比例系数约为约为0.5.0.5.为为了保了保证证正常用正常用电电, ,安装后采用太阳能和安装后采用太阳能和电电能互能互补补供供电电的模式的模式. .假假设设在此模式下在此模式下, ,安装后安装后该该企企业业每年消耗的每年消耗的电费电费C(C(单单位位: :万万元元) )与安装的与安装的这这种太阳能种太阳能电电池板的面池板的面积积x(x(单单位位: :平方米平方米) )之之间间的函数关系是的函数关系是C(x)= (x0,kC(x)= (x0,k为为常数常数).).记记y y为该为该企企业业安装安装这这种太阳能供种太阳能供电设备电设备的的费费用与用与该该企企业业1515年共将消耗的年共将消耗的电费电费之和之和. .(1)(1)试试解解释释C(0)C(0)的的实际实际意意义义, ,并建立并建立y y关于关于x x的函数关系的函数关系式式. .(2)(2)当当x x为为多少平方米多少平方米时时,y,y取得最小取得最小值值? ?最小最小值值是多少万是多少万元元? ?【解析】【解析】(1)C(0)(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为的面积为0 0时的用电费用时的用电费用, ,即未安装太阳能供电设备时即未安装太阳能供电设备时, ,该企业每年消耗的电费该企业每年消耗的电费. .由由C(0)= =24,C(0)= =24,得得k=2400,k=2400,所以所以 (2)(2)因为因为 当且仅当当且仅当 =0.5(x+5), =0.5(x+5),即即x=55x=55时取等号时取等号, ,所以当所以当x x为为5555平方米时平方米时,y,y取得最小值取得最小值, ,为为57.557.5万元万元. .【加固【加固训练训练】1.(20161.(2016绵绵阳模阳模拟拟) )利民工厂某利民工厂某产产品的年品的年产产量在量在150150吨吨至至250250吨之吨之间间, ,年生年生产产的的总总成本成本y(y(万元万元) )与年与年产产量量x(x(吨吨) )之之间间的关系可近似地表示的关系可近似地表示为为y= -30x+4000,y= -30x+4000,则则每吨的每吨的成本最低成本最低时时的年的年产产量量为为( () )A.240A.240吨吨 B.200 B.200吨吨 C.180 C.180吨吨 D.160 D.160吨吨【解析】【解析】选选B.B.依题意依题意, ,得每吨的成本为得每吨的成本为 则则 当且仅当当且仅当 即即x=200x=200时取等号时取等号, ,因此因此, ,当每吨成本最低时当每吨成本最低时, ,年产量为年产量为200200吨吨. .2.(20162.(2016秦皇秦皇岛岛模模拟拟) )某地区要建造一条防洪堤某地区要建造一条防洪堤, ,其横其横断面断面为为等腰梯形等腰梯形, ,腰与底腰与底边夹边夹角角为为60(60(如如图图),),考考虑虑防防洪堤洪堤坚坚固性及石固性及石块块用料等因素用料等因素, ,设计设计其横断面要求面其横断面要求面积积为为9 9 平方米平方米, ,且高度不低于且高度不低于 米米. .记记防洪堤横断面的防洪堤横断面的腰腰长为长为x x米米, ,外周外周长长( (梯形的上底梯形的上底线线段段BCBC与两腰与两腰长长的和的和) )为为y y米米. .要使防洪堤横断面的外周要使防洪堤横断面的外周长长不超不超过过10.510.5米米, ,则则其其腰腰长长x x的范的范围为围为( () )A.2,4 B.3,4A.2,4 B.3,4C.2,5 D.3,5C.2,5 D.3,5【解析】【解析】选选B.B.根据题意知根据题意知, , 其中其中 所以所以 得得BC= BC= 由由 得得2x6.2x6.所以所以y=BC+2x= (2x6),y=BC+2x= (2x6),由由y= 10.5,y= 10.5,解得解得3x4.3x4.因为因为3,43,4 2,6),2,6),所以腰长所以腰长x x的范围是的范围是3,4.3,4.3.(20163.(2016安安庆庆模模拟拟) )为为响响应应中央号召中央号召. .某市某市20162016年年计计划划投入投入600600万元加万元加强强民族文化基民族文化基础设础设施改造施改造. .据据调查调查, ,改造改造后后预计该预计该市在一个月内市在一个月内( (以以3030天天计计),),民族文化旅游人数民族文化旅游人数f(x)(f(x)(万人万人) )与与时间时间x(x(天天) )的函数关系近似的函数关系近似满满足足f(x)=f(x)= , ,人均消人均消费费g(x)(g(x)(元元) )与与时间时间x(x(天天) )的函数关系近的函数关系近似似满满足足g(x)=104-|x-23|.g(x)=104-|x-23|.(1)(1)求求该该市旅游日收益市旅游日收益p(x)(p(x)(万元万元) )与与时间时间x(1x30, x(1x30, xNxN* *) )的函数解析式的函数解析式. .(2)(2)若以最低日收益的若以最低日收益的15%15%为纯为纯收入收入, ,该该市市对纯对纯收入按收入按1.5%1.5%的税率来收回投的税率来收回投资资, ,按此按此预计预计两年内能否收回全部两年内能否收回全部投投资资. .【解析】【解析】(1)(1)由题意知由题意知p(x)=f(x)g(x)=p(x)=f(x)g(x)= (104-|x-23|)(1x30,xN (104-|x-23|)(1x30,xN* *).).(2)p(x)=(2)p(x)=当当1x231x23时时,p(x)= (81+x),p(x)= (81+x) 当且仅当当且仅当x= ,x= ,即即x=9x=9时时,p(x),p(x)取得最小值取得最小值400.400.当当23x3023600,40015%301221.5%=648600,所以所以600600万元的投资可以在两年内收回万元的投资可以在两年内收回. .考向三考向三指数函数与指数函数与对对数函数模型数函数模型【典例【典例3 3】(1)(2015(1)(2015四川高考四川高考) )某食品的保某食品的保鲜时间鲜时间y y( (单单位位: :小小时时) )与与储储藏温度藏温度x(x(单单位位:):)满满足函数关系足函数关系y=ey=ekx+bkx+b(e=2.718(e=2.718为为自然自然对对数的底数数的底数,k,b,k,b为为常数常数).).若若该该食品在食品在00的保的保鲜时间鲜时间是是192192小小时时, ,在在2222的保的保鲜时间鲜时间是是4848小小时时, ,则该则该食品在食品在3333的保的保鲜时间鲜时间是是小小时时. .( (本本题题源自源自A A版必修版必修1P1031P103例例4)4)(2)(2)燕子每年秋天都要从北方燕子每年秋天都要从北方飞飞向南方向南方过过冬冬, ,研究燕子研究燕子的科学家的科学家发现发现, ,两两岁岁燕子的燕子的飞飞行速度可以表示行速度可以表示为为函数函数v=5logv=5log2 2 , ,单单位是位是m/s,m/s,其中其中Q Q表示燕子的耗氧量表示燕子的耗氧量. .试计试计算算: :燕子静止燕子静止时时的耗氧量是多少个的耗氧量是多少个单单位位? ?当一只燕子的耗氧量是当一只燕子的耗氧量是8080个个单单位位时时, ,它的它的飞飞行速度是行速度是多少多少? ?【解题导引】【解题导引】(1)(1)把题设中两组时间与温度的值代入函把题设中两组时间与温度的值代入函数解析式数解析式, ,利用方程思想解题利用方程思想解题. .(2)(2)令令0=5log0=5log2 2 , ,求出求出Q;Q;将将Q=80Q=80代入公式求解代入公式求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)由题意得由题意得 当当x=33x=33时时,y=e,y=e33k+b33k+b=(e=(e11k11k) )3 3e eb b= 192=24.= 192=24.答案答案: :2424(2)(2)由题意知由题意知, ,当燕子静止时当燕子静止时, ,它的速度为它的速度为0,0,代入题目代入题目所给公式可得所给公式可得0=5log0=5log2 2 , ,解得解得Q=10,Q=10,即燕子静止时的耗氧量为即燕子静止时的耗氧量为1010个单位个单位. .将耗氧量将耗氧量Q=80Q=80代入公式得代入公式得v=5logv=5log2 2 =5log=5log2 28=15(m/s),8=15(m/s),即当一只燕子的耗氧量为即当一只燕子的耗氧量为8080个单位时个单位时, ,它的飞行速度为它的飞行速度为15m/s.15m/s.【规规律方法】律方法】应应用指数函数模型的关注点用指数函数模型的关注点(1)(1)指数函数模型的指数函数模型的应应用用类类型型. .常与增常与增长长率相率相结结合合进进行行考考查查, ,在在实际问题实际问题中有人口增中有人口增长长、银银行利率、行利率、细细胞分裂胞分裂等增等增长问题长问题可以利用指数函数模型来解决可以利用指数函数模型来解决. .(2)(2)应应用指数函数模型用指数函数模型时时的关的关键键. .关关键键是是对对模型的判断模型的判断, ,先先设设定模型定模型, ,再将已知有关数据代入再将已知有关数据代入验证验证, ,确定参数确定参数, ,从从而确定函数模型而确定函数模型. .(3)y=a(1+x)(3)y=a(1+x)n n通常利用指数运算与通常利用指数运算与对对数函数的性数函数的性质质求求解解. .【变变式式训练训练】某种病毒某种病毒经经3030分分钟钟繁殖繁殖为为原来的原来的2 2倍倍, ,且且知病毒的繁殖知病毒的繁殖规规律律为为y=ey=ektkt( (其中其中k k为为常数常数,t,t表示表示时间时间, ,单单位位: :小小时时,y,y表示病毒个数表示病毒个数),),则经过则经过5 5小小时时,1,1个病毒能繁个病毒能繁殖殖为为个个. .【解析】【解析】当当t=0.5t=0.5时时,y=2,y=2,所以所以2= ,2= ,所以所以k=2ln2,k=2ln2,所以所以y=ey=e2tln22tln2, ,当当t=5t=5时时,y=e,y=e10ln210ln2=2=21010=1024.=1024.答案答案: :10241024【加固【加固训练训练】1.(20161.(2016湛江模湛江模拟拟) )一个容器装有一个容器装有细细沙沙acmacm3 3, ,细细沙从容沙从容器底下一个器底下一个细细微的小孔慢慢地匀速漏出微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin,tmin后剩余的后剩余的细细沙量沙量为为y=aey=ae-b t-b t(cm(cm3 3),),经过经过8min8min后后发现发现容器内容器内还还有一有一半的沙子半的沙子, ,则则再再经过经过min,min,容器中的沙子只有开容器中的沙子只有开始始时时的八分之一的八分之一. .【解析】【解析】当当t=0t=0时时,y=a;,y=a;当当t=8t=8时时,y=ae,y=ae-8b-8b= a,= a,故故e e-8b-8b= .= .当容器中的沙子只有开始时的八分之一时当容器中的沙子只有开始时的八分之一时, ,即即y=aey=ae-bt-bt= a,e= a,e-bt-bt= =(e= =(e-8b-8b) )3 3=e=e-24b-24b, ,则则t=24,t=24,所以再经过所以再经过16min16min容器中的沙子只有开始时的八分之一容器中的沙子只有开始时的八分之一. .答案答案: :16162.(20162.(2016唐山模唐山模拟拟) )某人某人计计划划购买购买一一辆辆A A型型轿车轿车, ,售价售价为为14.414.4万元万元, ,购买购买后后轿车轿车一年的保一年的保险费险费、汽油、汽油费费、年、年检检费费、停、停车费车费等等约约需需2.42.4万元万元, ,同同时时汽汽车车年折旧率年折旧率约为约为10%(10%(即即这辆车这辆车每年减少它的价每年减少它的价值值的的10%),10%),试问试问: :大大约约使使用多少年后用多少年后, ,花花费费在在该车该车上的上的费费用用( (含折旧含折旧费费) )达到达到14.414.4万元万元? ?【解析】【解析】设使用设使用x x年后花费在该车上的费用达到年后花费在该车上的费用达到14.414.4万万元元, ,依题意可得依题意可得,14.4(1-0.9,14.4(1-0.9x x)+2.4x=14.4.)+2.4x=14.4.化简得化简得:x-60.9:x-60.9x x=0,=0,令令f(x)=x-60.9f(x)=x-60.9x x. .因为因为f(3)=-1.3740,f(3)=-1.3740,所以函数所以函数f(x)f(x)在在(3,4)(3,4)上应有一个零点上应有一个零点. .故大约使用故大约使用4 4年后年后, ,花费在该车上的费用达到花费在该车上的费用达到14.414.4万元万元. .3.3.某地政府某地政府鉴鉴于某种日常食品价格增于某种日常食品价格增长过长过快快, ,欲将欲将这这种种食品价格控制在适当范食品价格控制在适当范围围内内, ,决定决定给这给这种食品生种食品生产产厂家厂家提供政府提供政府补贴补贴, ,设这设这种食品的市种食品的市场场价格价格为为x x元元/ /千克千克, ,政政府府补贴为补贴为t t元元/ /千克千克, ,根据市根据市场调查场调查, ,当当16x2416x24时时, ,这这种食品日供种食品日供应应量量p p万千克、日需量万千克、日需量q q万千克近似地万千克近似地满满足足关系关系:p=2(x+4t-14)(t0),q=24+8ln .:p=2(x+4t-14)(t0),q=24+8ln .当当p=qp=q时时的市的市场场价格称价格称为为市市场场平衡价格平衡价格. .(1)(1)将政府将政府补贴补贴表示表示为为市市场场平衡价格的函数平衡价格的函数, ,并求出函并求出函数的数的值值域域. .(2)(2)为为使市使市场场平衡价格不高于平衡价格不高于2020元元/ /千克千克, ,政府政府补贴补贴至少至少为为多少元多少元/ /千克千克? ?【解析】【解析】(1)(1)由由p=qp=q得得2(x+4t-14)=24+8ln (16x 2(x+4t-14)=24+8ln (16x 24,t0),24,t0),即即 因为因为t= 0,t= 0,所以所以t t是是x x的减函数的减函数. .所以所以t tminmin= = t tmaxmax= = 所以值域为所以值域为 (2)(2)由由(1)(1)知知t= (16x24).t= (16x24).而当而当x=20x=20时时,t= =1.5(,t= =1.5(元元/ /千克千克),),因为因为t t是是x x的减函数的减函数, ,所以欲使所以欲使x20,x20,必须必须t1.5(t1.5(元元/ /千千克克).).要使市场平衡价格不高于要使市场平衡价格不高于2020元元/ /千克千克, ,政府补贴至少为政府补贴至少为1.51.5元元/ /千克千克. .