专题课堂(三)全等三角形 第第13章全等三角形章全等三角形一、运用全等三角形证线段(角)相等类型(1)运用全等三角形证线段相等；(2)运用全等三角形证角相等；(3)运用全等三角形证垂直；(4)运用全等三角形证平行例1如图，点E在ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F.若123，ACAE，求证：ABAD.分析：从结论“求证：ABAD”入手，由AB，AD找一对三角形ABC和ADE，证ABCADE即可，这里A，F，C，D，F，E，A构成“8字形”，因为“8字形”有一对对顶角相等，所以在“8字形”里，只要除对顶角外的一对角相等，则另一对角必相等因此，ABCADE的三个条件就够了解：证明：12，1CAD2CAD，即BACDAE，2EAFD，3CAFD，2E3C.又23，EC，在ABC和ADE中，BACDAE，ACAE，CE，ABCADE(ASA)，ABAD【对应训练】1如图，点A，B，C，D在同一条直线上，EAAD，FDAD，AEDF，ABDC.试说明：ACEDBF.2已知：如图，在ABC，ADE中，BACDAE90，ABAC，ADAE，点C，D，E三点在同一直线上，试猜想BD，CE有何特殊位置关系，并证明解：BDCE先证ABDACE(SAS)，得ABDACE，再利用“8字形”D，C，A，B，D，得BDCACEBACABDBOC(O为AC与BD的交点)，BDCBAC90，BDCE二、中线倍长法类型(1)已知三角形的中线，利用中线倍长法，求中线的取值范围；(2)已知线段的中点，利用中线倍长法，以中点为公共顶点构造全等三角形例2如图，AD为ABC的中线，求证：ABAC2AD.分析：延长AD至点M，使DMAD，连结BM，易证ADCMDB，得BMAC，在ABM中，ABBMAM，即ABAC2AD.解：证明：延长AD至点M，使DMAD，连结BM，在ADC和MDB中，CDBD，ADCMDB，ADMD，ADCMDB(SAS)，BMAC，在ABM中，ABBMAM，即ABAC2AD【对应训练】3在ABC中，AB5，AC3，求中线AD的取值范围解：1AD4三、截长补短法证线段和差问题类型(1)截长法；(2)补短法例3如图，已知ADBC，ABC和BAD的平分线相交于点E，过点E的直线分别交AD，BC于D，C.求证：ABADBC.分析：在AB上截取AMAD，连结EM，可得AMEADE，再想办法证BMEBCE，得BCBM，即得ABAMBMADBC.解：证明：在AB上截取AMAD，连结EM，AE，BE分别平分BAD和ABC，MAEDAE，MBECBE，在AME和ADE中，AMAD，MAEDAE，AEAE，AMEADE(SAS)，AMED，ADBC，CD180，BMEAME180，CBME，又BEBE，BMEBCE(AAS)，BCBM，ABAMBM，ABADBC【对应训练】4如图，在ABC中，B60，BAC与BCA的平分线AD，CE分别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F.求证：ACAECD.5如图，四边形ABCD中，AC90，D60，ABBC，E，F分别在AD，CD上，且EBF60.(1)求证：EFAECF；(2)如图，若F，F分别在AD，DC的延长线上，其他条件不变，求证：EFAECF.解：证明：(1)延长EA至点M，使AMCF，连结BM，ABC360ACD120，易证ABMCBF(SAS)，BMBF，ABMCBF，EBMABEABMABECBFABCEBF1206060EBF，易证BEMBEF(SAS)，EFEMAEAMAECF(2)在AE上截取ANCF，连结BN，易证ABNCBF(SAS)，BNBF，ABNCBF，EBNABC(EBCABN)ABC(EBCCBF)ABCEBF1206060EBF，易证BENBEF(SAS)，EFENAEANAECF