第三章第三章第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 因为导数是函数随自变量变化的瞬时变因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数所以可借助导数来研究函数. 但每一点但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数要用导数来来研究函数的全部性态研究函数的全部性态,还需架起新还需架起新的的“桥梁桥梁”.中值定理中值定理(mean value theorem)化率化率, 指导数在某个区间内所具有的一些重指导数在某个区间内所具有的一些重要性质要性质,它们都与自变量区间内部的某个它们都与自变量区间内部的某个中间值有关中间值有关.1罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理小结小结 思考题思考题 作业作业柯西中值定理柯西中值定理第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用推广泰泰勒勒公公式式( (第第三三节节) )2 本节的几个定理都来源于下面的明显的本节的几个定理都来源于下面的明显的在一条光滑的平面曲线段在一条光滑的平面曲线段AB上上,至少有至少有与连接此曲线两端点的弦与连接此曲线两端点的弦平行平行.几何事实几何事实:微分中值定理微分中值定理一点处的切线一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于于x轴的切线轴的切线 .有水平的切线有水平的切线3罗尔罗尔定理定理(1)(2)(3)罗尔罗尔 Rolle,(法法)1652-1719 使得使得如如,微分中值定理微分中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理4微分中值定理微分中值定理费马引理费马引理 费马费马 Fermat,(法法) 1601-1665 有定义有定义,如果对如果对 有有 那么那么证证 对于对于有有 5微分中值定理微分中值定理费马引理费马引理有定义有定义,如果对如果对 有有 那么那么 由极限的保号性由极限的保号性 函数的函数的驻点驻点(Stationary point),稳定点稳定点,临界点临界点(Critical point).6微分中值定理微分中值定理证证罗尔罗尔定理定理(1)(2)(3)使得使得所以最值不可能同时在端点取得所以最值不可能同时在端点取得.使使有有由由费马引理费马引理,7(1) 定理条件不全具备定理条件不全具备, , 注注微分中值定理微分中值定理结论不一定成立结论不一定成立. . 罗尔罗尔定理定理(1)(2)(3)使得使得8(2) 定理条件只是充分的定理条件只是充分的. .本定理可推广为本定理可推广为: :在在( a , b )内可导内可导, ,且且则在则在( a , b )内至少存在一点内至少存在一点使使提示提示证证 F(x)在在a,b上满足罗尔定理上满足罗尔定理 . 设设微分中值定理微分中值定理罗尔罗尔定理定理(1)(2)(3)使得使得注注9例例证证 (1)(2)定理的假设条件满足定理的假设条件满足结论正确结论正确微分中值定理微分中值定理验证罗尔定理的正确性验证罗尔定理的正确性.罗尔定理肯定了罗尔定理肯定了 的存在性的存在性, 一般没必要知道一般没必要知道究竟等于什么数究竟等于什么数, 只要知道只要知道 存在即可存在即可.10例例证证 零点定理零点定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.(1) 存在存在性性微分中值定理微分中值定理11(2) 唯一唯一性性对可导函数对可导函数 f(x), f (x)=0的两实根之间的两实根之间,在方程在方程 的一个实根的一个实根.罗尔定理还指出罗尔定理还指出,至少存在方程至少存在方程满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件.微分中值定理微分中值定理矛盾矛盾, ,故假设不真故假设不真! !12例例试证方程试证方程分析分析注意到注意到:微分中值定理微分中值定理13证证 设设且且 罗尔定理罗尔定理即即试证方程试证方程微分中值定理微分中值定理14注注拉格朗日拉格朗日 Lagrange (法法) 1736-1813 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1)(2)使得使得微分中值定理微分中值定理二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 15几何解释几何解释:分析分析定理的结论就转化为函数定理的结论就转化为函数化为化为罗尔定理罗尔定理.微分中值定理微分中值定理在该点处的切线在该点处的切线平行于弦平行于弦利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件找出一个满足罗尔定理条件的函数的函数. .16证证 作作辅助函数辅助函数由此得由此得拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式且且易知易知微分中值定理微分中值定理微分中值定理微分中值定理17它表明了函数在两点处的函数值它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有在微分学中占有极重要的地位极重要的地位.与导数间的关系与导数间的关系.今后要多次用到它今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数尤其可利用它研究函数微分中值定理微分中值定理18例例证证 如果如果f(x)在某区间上可导在某区间上可导,要分析函要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关数在该区间上任意两点的函数值有何关系系,通常就想到微分中值定理通常就想到微分中值定理.记记利用微分中值定理利用微分中值定理, 得得微分中值定理微分中值定理19Lagrange公式公式可以写成下面的各种形式可以写成下面的各种形式: 它表达了函数增量和某点的它表达了函数增量和某点的注注注注但是增量、但是增量、这是十分方便的这是十分方便的.由由(3)式看出式看出,导数之间的直接关系导数之间的直接关系.微分中值定理微分中值定理导数是个等式关系导数是个等式关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.有限增量定理有限增量定理.20推论推论证证有有由条件由条件,即在即在区间区间I中任意两中任意两点的点的函数值都相等函数值都相等,所以所以,微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1)(2)使得使得21例例证证由由推论推广推论推广微分中值定理微分中值定理自证自证说明说明欲证欲证只需证在只需证在 上上且且使使22例例证证由上式得由上式得设设由由 关键关键微分中值定理微分中值定理 满足拉氏定理的条件满足拉氏定理的条件,23柯西柯西 Cauchy (法法)1789-1859柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得微分中值定理微分中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理广义微分中值定理广义微分中值定理24这两个这两个错错 ! !柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得微分中值定理微分中值定理柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ? ?不一定相同不一定相同25 前面对拉格朗日中值定理的证明前面对拉格朗日中值定理的证明,构造了构造了 现在对现在对两个两个给定的函数给定的函数 f(x)、F(x), 构构造造即可证明柯西定理即可证明柯西定理.辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数微分中值定理微分中值定理 分析分析 上式写成上式写成 用用类类比比法法26柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义注意弦的斜率弦的斜率柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得微分中值定理微分中值定理切线斜率切线斜率27例例证证分析分析结论可变形为结论可变形为即即微分中值定理微分中值定理满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件, , 28罗尔罗尔定理定理拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理柯西柯西中值定理中值定理 罗尔罗尔(Rolle)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中中值定理、柯西中值定理之间的关系值定理、柯西中值定理之间的关系:推广推广推广推广 这三个定理的条件这三个定理的条件都是充分条件都是充分条件,换句话说换句话说, 满足条件满足条件,不满足条件不满足条件, 定理可能成立定理可能成立, 不是必要条件不是必要条件.而而成立成立;不成立不成立.微分中值定理微分中值定理定理定理也可能也可能29应用三个中值定理常解决下列问题应用三个中值定理常解决下列问题(1) 验证定理的正确性验证定理的正确性;(2) 证明方程根的存在性证明方程根的存在性;(3) 引入辅助函数证明等式引入辅助函数证明等式;(4) 证明不等式证明不等式;(5) 综合运用中值定理综合运用中值定理(几次运用几次运用).微分中值定理微分中值定理 关键关键 逆向思维逆向思维,找找辅助函数辅助函数30例例分析分析 将结论交叉相乘得将结论交叉相乘得辅助函数辅助函数F(x)微分中值定理微分中值定理31证证 设辅助函数设辅助函数因此因此F(x)满足满足Rolle定理的条件定理的条件.微分中值定理微分中值定理32即即得得证证毕毕.微分中值定理微分中值定理33试证至少存在一点试证至少存在一点使使法一法一 即即微分中值定理微分中值定理例例证证用柯西中值定理用柯西中值定理. .令令因此因此 满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件, , 则则 f (x) , F(x)在在 1 , e 上上 分析分析即证即证. .34则则f (x)在在 1 , e 上上使使因此因此试证至少存在一点试证至少存在一点使使微分中值定理微分中值定理法二法二 令令满足罗尔中值定理条件满足罗尔中值定理条件, ,分析分析即即35 分析分析微分中值定理微分中值定理36证证即即微分中值定理微分中值定理37四、小结四、小结微分中值定理微分中值定理 常利用逆向思维常利用逆向思维,构造辅助函数构造辅助函数注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤.三个微分中值定理成立的条件三个微分中值定理成立的条件;各微分中值定理的关系各微分中值定理的关系; 证明存在某点证明存在某点,使得函数在该点的导数满使得函数在该点的导数满足一个方程足一个方程.运用罗尔定理运用罗尔定理. 拉格朗日中值定理的各种形式拉格朗日中值定理的各种形式,其关系其关系;38思考题思考题2002年考研数学一年考研数学一, 3分分微分中值定理微分中值定理39作业作业习题习题3-1 (1323-1 (132页页) ) 1. 2. 4. 5. 7. 8. 9. 10. 11.(2) 12. 14. 15.微分中值定理微分中值定理40