X12 X12对对X11方法进行改进：方法进行改进：（1） 扩展贸易日和节假日影响的调节功能，增加季节、趋势循环和不规则要素分解模型的选择功能；（2） 新的季节调整结果稳定性诊断功能；（3） 增加X12-ARIMA模型的建模和模型选择功能。 例子：例子：（1） 2010年国庆房地产销售？（2） 农产品销售？（3） 月饼的销售？（4） 羊肉和狗肉销售？ 第七专题时间序列模型（二）本讲要点：本讲要点：一、季节调整、分解与平滑二、单整与协整三、VAR和误差修正模型1234（一） X-N季节调整方法 1954年，美国商务部国势普查局（BCDCC）在美国国家经济研究局（NBER）战前研究的移动平均比法（The Ratio-Moving Average Method）的基础上，开发了关于季节调整的最初的电子计算机程序，开始大规模地对时间序列进行季节调整。此后，季节调整方法不断改进，每次改进都以X再加上序号表示。1960年，发表X-3方法，该方法和以前的程序相比，特异项的代替方法和季节要素的计算方法略有不同。1961年，发表X-10方法。该方法考虑到了根据不规则变动和季节变动的相对大小来选择计算季节要素的移动平均项数。1965年，发表X-11方法，成为一种常用的季节调整方法。 计量经济学课件讨论教师：教师：周靖祥单位：单位：湘潭大学商学院Email1:zjx2010sina.cnEmail2:zhoujingx126.com 一、经济时间序列的季节调整、分解与平滑 内容安排：内容安排：（一） X-N季节调整方法 （二）X11方法（三）趋势分解 （四）指数平滑 中国的春节、国庆节等节假日对经济时间序列也会产生影响。例如，春节影响可以增加当周或前一周商品的零售额。在X12方法中，贸易日和节假日影响可以从不规则要素中同时估计得到。在X12方法中，可以对不规则要素建立ARIMAX模型，包括贸易日和节假日影响的回归变量，而且还可以指明奇异值的影响，并在估计其他回归影响的同时消除。注注意意：E-views中的节假日调整只针对美国，不能应用于其他国家（中国：圣诞节和万圣节中国：圣诞节和万圣节）。2 2 节假日影响的调整节假日影响的调整节假日影响的调整节假日影响的调整利用E-views 软件对一个月度或季度时间序列进行季节调整的操作方法。在E-views工作环境中，打开一个月度或季度时间序列的工作文件，双击需进行数据处理的序列名，进入存放时间序列的工作表中，在序列窗口的工具栏中单击Proc按钮将显示菜单：3 3 季节调整相关操作季节调整相关操作季节调整相关操作季节调整相关操作 （E-viewsE-views软件）软件）软件）软件）（1） Census X12方法方法 E-views进行季节调整时将执行以下步骤： 【1】给出一个被调整序列的说明文件和数据文件； 【2】利用给定的信息执行X12程序； 【3】返回一个输出文件，将调整后的结果存在E-views工作文件中。 X12的E-views接口菜单只是一个简短的描述，E-views还提供一些菜单不能实现的接口功能，更一般的命令接口程序。 调用X12季节调整过程，在序列窗口选择Procs/Seasonal Adjustment / Census X12，打开一个对话框： 什么是季节调整？季节性变动的原因：季节性变动的原因：气候、社会制度及风俗习惯定定义义：月度和季度数据都含有季节变动因素，由于季节因素的影响造成年度周期性变化，遮盖或混淆经济发展中其他客观变化规律，经济分析时必须去掉季节波动的影响，将季节要素从原序列中剔除，这个过程就是“季节调整” （Seasonal Adjustment）季节性调整方法：季节性调整方法：1）X-N季节调整方法【1】 X11方法（X11 Method）指定季节调整分解的形式：乘法；加法；伪加法（此形式必须伴随ARIMA说明）；对数加法。注意乘法；伪加法和对数加法不允许有零和负数。【2】 季节滤波（Seasonal Filter）当估计季节因子时，允许选择季节移动平均滤波，缺省是X12自动确定。 注注意意：如果序列短于20年，X12不允许指定315的季节滤波。（2）季节调整选择（）季节调整选择（Seasonal Adjustment Option）【4】 存调整后的分量序列名（Component Series to save） X12将被调整的序列名作为缺省列在Base name框中，可以改变序列名。多选钮中选择要保存的季节调整后分量序列，X12将加上相应的后缀存在工作文件中： 最终的季节调整后序列（SA）； 最终的季节因子（SF）； 最终的趋势循环序列（TC）； 最终的不规则要素分量（IR）； 季节/贸易日因子（D16）； 假日/贸易日因子（D18）；【3】趋势滤波（Trend Filter (Henderson)） 当估计趋势循环分量时，允许指定亨德松移动平均的项数，可以输入大于1和小于等于101的奇数，缺省是由X12自动选择。（3）ARIMA选择（选择（ARIMA Option） 点击ARIMA Option标签，可出现下列对话框： X12允许在季节调整前对被调整序列建立一个合适的ARIMA模型。【1】 数据转换（Data Transformation） 在配备一个合适的ARMA模型之前允许转换序列： * 缺省是不转换； * Auto选择是根据计算出来的AIC准则自动确定是不做转换还是进行对数转换； * Logistic选择将序列 y 转换为 log(y/(1-y)，序列的值被定义在0和1之间； * Box-Cox power选择要求提供一个参数 ，做下列转换：由每天经济活动的总和组成的月度时间序列受该月各周的影响，这种影响称为贸易日影响（或周工作日影响）。例如，对于零售业在每周的星期一至星期五的销售额比该周的星期六、星期日要少得多。北京周一北京周一周五商场不拥挤？周五商场不拥挤？因此，在某月如果多出的星期天数是一周的前五天，那么该月份销售额将较低；如果多出的星期天数是一周的星期六、星期日，那么该月份销售额将较高。又如，在流量序列中平均每天的影响将产生“月长度”影响。因为在每年中二月份的长度是不相同的，所以这种影响不可能完全被季节因素承受。二二月月份份残残留留的的影影响响被被称称为为润润年年影影响响（28和和29的差异）。的差异）。1 1 贸易日和节假日影响贸易日和节假日影响贸易日和节假日影响贸易日和节假日影响【2】ARIMA说明(ARIMA Spec) 允许在2种不同的方法中选择ARIMA模型。 Specify in-line 选择 要求提供ARIMA模型阶数的说明（p d q）(P D Q) p 非季节的AR阶数 d 非季节的差分阶数 q 非季节的MA阶数 P 季节AR阶数 D 季节差分阶数 Q 季节MA阶数 【3】回归因子选择（Regressors） 允许在ARIMA模型中指定一些外生回归因子，利用多选钮可选择常数项，或季节虚拟变量，事先定义的回归因子可以捕捉贸易日和节假日的影响。 可以在进行季节调整和利用ARIMA模型得到用于季节调整的向前/向后预测值之前，先去掉确定性的影响（例如节假日和贸易日影响）。选择（Adjustment Option）是否进行这项调整？，确定在那一个步骤里调整：在ARIMA步骤，还是X-11步骤？（4）贸易日和节假日影响）贸易日和节假日影响【1】Trading Day Effects消除贸易日影响有2种选择，依赖于序列是流量序列还是存量序列（诸如存货）。对于流量序列还有2种选择，是对周工作日影响进行调整还是对仅对周日-周末影响进行调整。存量序列仅对月度序列进行调整，需给出被观测序列的月天数。【2】Holiday effects 仅对流量序列做节假日调整。对每一个节日，必须提供一个数，是到这个节日之前影响的持续天数。 Easter 复活节 Labor 美国、加拿大的劳工节，九月第一个星期一 Thanksgiving 感恩节（在美国为11月第4个星期4；加拿大为10月第2个星期1） Christmas 圣诞节 注意这些节日只针对美国，不能应用于其他国家。注意这些节日只针对美国，不能应用于其他国家。提供的各种诊断： 季 节 因 素 的 稳 定 性 分 析 （ Stability Analysis of Seasonals） Sliding spans 移动间距 检验被调整序列在固定大小的移动样本上的变化； Historical revisions 历史修正检验被调整序列增加一个新观测值，即增加一个样本时的变化。 其他诊断（Other Diagnostics） 还可以选择显示各种诊断输出。（5） 诊断（诊断（Diagnostics）（二）X11方法 X-11法是美国商务部标准的季节调整方法（乘法模型、加法模型），序列可被分解为趋势项与季节项的乘积或和。乘乘法法模型只适用于序列值都为正的情形。模型只适用于序列值都为正的情形。 如果在季节调整对话框中选择X-11选项，调整后的序列及因子序列会被自动存入E-views工作文件中，在过程的结尾X-11简要的输出及错误信息也会在序列窗口中显示。 关于调整后的序列的名字。E-views在原序列名后加SA，但也可以改变调整后的序列名，这将被存储在工作文件中。 需要注意，季节调整的观测值的个数是有限制的。X-11只作用于含季节数据的序列，需需要要至至少少4整整年年的的数数据，最多能调整据，最多能调整20年的月度数据及年的月度数据及30年的季度数据。年的季度数据。 Tramo（Time Series Regression with ARIMA Noise, Missing Observation, and Outliers）是对具有缺失观测值，ARIMA误差、几种外部影响的回归模型完成估计、预测和插值的程序。Seats（Signal Extraction in ARIMA Time Series)是基于ARIMA模型的将可观测时间序列分解为不可观测分量的程序。这两个程序是有Victor Gomez 和Agustin Maravall 开发的。当选择Pross/Seasonal Adjustment/Tramo Seats 时， E-views执行外部程序，将数据输给外部程序，然后将结果返回E-views。 （三） Tramo/Seats方法 （三）趋势分解 如何将趋势和循环要素进行分解？测定长期趋势有多种方法，比较常用的方法有回归分析方法、移动平均法、阶段平均法(phase average，PA方法)、HP滤波方法和频谱滤波方法（frequency (band-pass) filer， BP滤波）。1、Hodrick-Prescott（HP）滤波 在宏观经济分析中，常常需要分解序列组成成分中的长期趋势，Hodrick-Prescott滤波是被广泛使用的一种方法。该方法在Hodrick and Prescott(1980) 分析战后美国经济周期的论文中首次使用。设Yt是包含趋势成分和波动成分的经济时间序列，YtT是其中含有的趋势成分， YtC是其中含有的波动成分。则 计算HP滤波就是从Yt中将YtT 分离出来 。 一般地，时间序列Yt中的不可观测部分趋势YtT常被定义为下面最小化问题的解： 其中：c(L)是延迟算子多项式： 联合两式，HP滤波的问题就归结为使下面损失函数最小，即： 最小化问题用c(L)YtT2 来调整趋势的变化，并随着 的增大而增大。这里存在一个权衡问题，要在趋势要素对实际序列的跟踪程度和趋势光滑度之间作一个选择。 = 0 时，满足最小化问题的趋势等于序列Yt； 增加时，估计趋势中的变化总数相对于序列中的变化减少，即 越大，估计趋势越光滑； 趋于无穷大时，估计趋势将接近线性函数。一般经验地， 的取值如下： HP滤波处理不赖于经济周期峰和谷的确定。把经济周期看成宏观经济波动对某些缓慢变动路径的偏离，这种路径在期间内单调地增长，所以称之为趋势。使用Hodrick-Prescott滤波来平滑序列，选择Procs/Hodrick Prescott Filter出现下面的HP滤波对话框：对平滑后的序列给一个变量名， E-views有默认值。然后给定平滑参数的值，年度数据取100，季度和月度数据分别取1600和14400。不允许填入非整数的数据。点击OK后，E-views与原序列一起显示处理后的序列。注注意意只只有有包包括括在在当当前前工工作作文文件件样样本本区区间间内内的的数数据才被处理，平滑后序列区间外的数据都为据才被处理，平滑后序列区间外的数据都为NA。 例：利用HP滤波方法求潜在产出和产出缺口 设Yt为我国的季度GDP指标，利用季节调整方法将GDP中的季节因素和不规则因素去掉，得到GDP_TC序列。潜在产出Y*,即趋势利用HP滤波计算出来的YtT来代替，GDP的循环要素Yt序列由式下式计算：GDP的循环要素YtC序列实际上就是围绕趋势线上下的波动，称为GDP缺口序列。它是一个绝对量的产出缺口。也可以用相对量表示产出缺口，本例用Gapt来表示相对产出缺口，可由下式计算得到：（四）指数平滑 指数平滑是可调整预测的简单方法。当只有少数观测值时这种方法是有效的。与使用固定系数的回归预测模型不同，指数平滑法的预测用过去的预测误差进行调整。要用指数平滑法预测，选择Procs/Exponential Smoothing 显示如下对话框：【1】平滑方法：平滑方法：在5种方法中选择一种方法。【2】平平滑滑参参数数：可以指定平滑参数也可以让E-views估计。要估计参数，在填充区内输入字母e，E-views估计使误差平方和最小的参数值。如果估计参数值趋于1，这表明序列趋于随机游走，最近的值对估计将来值最有用。要指定参数值，在填充区内输入参数值，所有参数值在0-1之间，如果你输入的参数值超出这一区间， E-views将会估计这个参数。 【3】平平滑滑后后的的序序列列名名：可以为平滑后的序列指定一个名字，E-views在原序列后加SM指定平滑后的序列名，也可以改变。【4】估估计计样样本本：必须指定预测的样本区间（不管是否选择估计参数）。缺省值是当前工作文件的样本区间。E-views将从样本区间末尾开始计算预测值。【5】季季节节循循环环：可以改变每年季节数（缺省值为每年12个月、4个季度）。这个选项允许预测不规则间距的数据，在空白处输入循环数。 1 1 单指数平滑（一个参数）单指数平滑（一个参数）单指数平滑（一个参数）单指数平滑（一个参数） 这种单指数平滑方法适用于序列值在一个常数均值上下随机波动的情况，无趋势及季节要素。yt 平滑后的序列 计算式如下： , , t = 2, 3, , T其中: , 为平滑因子。 越小， 越平缓，重复迭代可得到： 原原因因：由此可知为什么这种方法叫指数平滑，y 的预测值是 y 过去值的加权平均，而权数被定义为以时间为指数的形式。 2 2 双指数平滑（一个参数）双指数平滑（一个参数）双指数平滑（一个参数）双指数平滑（一个参数） 这种方法是将单指数平滑进行两次（使用相同的参数）。适用于有线线性性趋趋势势的序列。序列y的双指数平滑以递归形式定义为： 其中: 0 1, St 是单指数平滑后的序列，Dt 是双指数平滑序列。注意双指数平滑是阻尼因子为 0 1 的单指数平滑方法。双指数平滑的预测如下： 最后一个表达式表明双指数平滑的预测有线性趋势，截距为 2ST DT ，斜率为 (ST DT )/(1 )， T 是估计样本的期末值。 3 Holt-Winters 3 Holt-Winters 无季节趋势（两个参数）无季节趋势（两个参数）无季节趋势（两个参数）无季节趋势（两个参数） 这种方法适用于具有线性时间趋势无季节变差的情形。这种方法与双指数平滑法一样以线性趋势无季节成分进行预测。双指数平滑法只用了一个参数，这种方法用两个参数。yt 平滑后的序列 由下式给出： 其中: a 表示截距；b表示斜率，即趋势。这两个参数由如下递归式定义：其中: k 0 , , 在0-1之间，为阻尼因子。这是一种有两个参数的指数平滑法。 预测值计算如下：预测值计算如下： 这些预测值具有线性趋势，截距为 aT ，斜率为 bT ， T 是估计样本的期末值。 4 Holt-Winter 4 Holt-Winter加法模型（三个参数）加法模型（三个参数）加法模型（三个参数）加法模型（三个参数） 该方法适用于具有线性时间趋势和加法模型的季节变差。yt 平滑后的序列 由下式给出：其中：at 表示截距，bt 表示斜率， at + bt k 表示趋势，St 为加法模型的季节因子，s 表示季节周期长度，月度数据 s =12，季度数据 s = 4。需要用简单的方法给出季节因子的第一年初值，以及截距和斜率的初值。这三个系数由下面的递归式定义：这三个系数由下面的递归式定义：其中：k 0， 在01之间，为阻尼因子。预测值由下式计算：其中：ST+k-s用样本数据最后一年的季节因子，T 是估计样本的期末值。 5 Holt-winters 5 Holt-winters乘法模型（三个参数）乘法模型（三个参数）乘法模型（三个参数）乘法模型（三个参数） 这种方法适用于序列具有线性趋势和乘法季节变化。yt 的平滑序列 由下式给出：其中：at 表示截距，bt 表示斜率， at + bt k 表示趋势，St 为乘法模型的季节因子，s 表示季节周期长度，月度数据 s =12，季度数据 s = 4。需要用简单的方法给出季节因子的第一年的初值，以及截距和斜率的初值。这三个系数定义如下：这三个系数定义如下：其中：k 0， 在01之间，为阻尼因子。预测值由下式计算 其中：ST+k-s 用样本数据最后一年的季节因子，T 是估计样本的期末值。例（高铁梅，例（高铁梅，2006）：指数平滑方法应用）：指数平滑方法应用 本例利用指数平滑方法对我国上证收盘指数（时间范围：1991年1月-2003年3月）的月度时间序列 (sh_s) 进行拟合和预测。采用五种平滑模型对1991年1月-2002年9月的数据做指数平滑，并利用预测公式得到2002年10月-2003年3月半年的预测值。二、单整与协整内容安排：内容安排： （一）随机过程和平稳性原理（一）随机过程和平稳性原理（一）随机过程和平稳性原理（一）随机过程和平稳性原理 （二）平稳性检验的具体方法（二）平稳性检验的具体方法（二）平稳性检验的具体方法（二）平稳性检验的具体方法 （三）非平稳性数据的处理（三）非平稳性数据的处理（三）非平稳性数据的处理（三）非平稳性数据的处理 （四）协整理论和协整检验（四）协整理论和协整检验（四）协整理论和协整检验（四）协整理论和协整检验 （五）误差修正模型（五）误差修正模型（五）误差修正模型（五）误差修正模型（一）随机过程和平稳性原理一般称依赖于参数时间t的随机变量集合 为随机过程。例，假设样本观察值y1，y2,yt是来自无穷随机变量序列y-2, y-1,y0 ,y1 ,y2 的一部分，则这个无穷随机序列称为随机过程。 1 1 随机过程随机过程随机过程随机过程随机过程中有一特殊情况叫白噪音，其定义如下：如果随机过程服从的分布不随时间改变，且：（对所有t） （对所有t） （ ）那么，这一随机过程称为白噪声。 如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且在任何两时期的协方差值仅依赖于该两时期间的距离或滞后，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，就称它其为平稳的。2 2 平稳性原理平稳性原理平稳性原理平稳性原理平稳随机过程的性质：均值 （对所有t）方差 （对所有t）协方差 （对所有t）其中 即滞后k的协方差或自(身)协方差， 是 和 ，也就是相隔k期的两值之间的协方差。 数据整理（收集和加工）Unit Root 检验Vector Autoregression Theory (VAR)CointegrationError Correction ModelsImpulse Response Functions Variance DecompositionGranger Causality检验非平稳平稳将一个随机游走变量（即非平稳数据）对另一个随机游走变量进行回归可能导致荒谬的结果，传统的显著性检验将告知我们变量之间的关系是不存在的。有时候时间序列的高度相关仅仅是因为二者同时随时间有向上或向下变动的趋势，并没有真正的联系。这种情况就称为“伪回归”（Spurious Regression）。3 3 伪回归伪回归伪回归伪回归（二）平稳性检验的具体方法单位根检验的基本原理： David Dickey和Wayne Fuller的单位根检验（unit root test）即迪基富勒（DF）检验，是在对数据进行平稳性检验中比较经常用到的一种方法。1 1 单位根检验单位根检验单位根检验单位根检验 DF检验的基本思想：从考虑如下模型开始：（*） 其中 即前面提到的白噪音（零均值、恒定方差、非自相关）的随机误差项。由式（*）我们可以得到： （*） （*） （*） 依次将式(*)(*)、(*)代入相邻的上式，并整理，可得： （&）根据 值的不同，可以分三种情况考虑：（1）若 1，则当T时， 0，即对序列的冲击将随着时间的推移其影响逐渐减弱，此时序列是稳定的。 （2）若 1，则当T时， ，即对序列的冲击随着时间的推移其影响反而是逐渐增大的，很显然，此时序列是不稳定的。（3 ）若 =1，则当T时， =1，即对序列的冲击随着时间的推移其影响是不变的，很显然，序列也是不稳定的。 对于式（*），DF检验相当于对其系数的显著性检验，所建立的零假设是：H0 ： 如果拒绝零假设，则称Yt没有单位根，此时Yt是平稳的；如果不能拒绝零假设，我们就说Yt具有单位根，此时Yt被称为随机游走序列（random walk series）是不稳定的。 方程（*）也可以表达成： 其中 = - ， 是一阶差分运算因子。此时的零假设变为：H0： =0。注意到如果不能拒绝H0，则 = 是一个平稳序列，即 一阶差分后是一个平稳序列，此时我们称一阶单整过程（integrated of order 1）序列，记为I (1)。 I (1)过程在金融、经济时间序列数据中是最普遍的，而I (0)则表示平稳时间序列。从理论与应用的角度，DF检验的检验模型有如下的三个： （* ） 其中t是时间或趋势变量，在每一种形式中，建立的零假设都是：H0： 或H0： ，即存在一单位根。上述差别在于是否包含有常数（截距）和趋势项。如果误差项是自相关的，就把（ * ）修改如下：上式中增加了 的滞后项，建立在此基础上的DF检验又被称为增广的DF检验（augmented Dickey-Fuller，简记ADF）。ADF检验统计量和DF统计量有同样的渐近分布，使用相同的临界值。首先，看如何判断检验模型是否应该包含常数项和时间趋势项。经验做法是：考察数据图形。其次，如何判断滞后项数m。在实证中，常用的方法有两种： 2 ADF2 ADF模型检验模型检验模型检验模型检验（1）渐渐进进t检检验验。该种方法需要选择一个较大的m值，然后用t检验确定系数是否显著，如果是显著的，则选择滞后项数为m；如果不显著，则减少m直到对应的系数值是显著的（2）信信息息准准则则。常用的信息准则有AIC信息准则、SC信息准则，一般而言，选择给出了最小信息准则值的m值一般是通过差分处理来消除数据的不平稳性。即对时间序列进行差分，然后对差分序列进行回归。对于金融数据做一阶差分后，即由总量数据变为增长率，一般会平稳。数数据据处处理理的的两两难难：但往往会丢失总量数据的长期信息，而这些信息对分析问题来说又是必要的。这就是通常我们所说的时间序列检验的两难问题。（三）非平稳性数据的处理 （四）协整理论和协整检验 思想：思想：一些经济变量可能是非平稳的，但是它们的线性组合却有可能是平稳的，这种平稳的线性组合被称为协整方程，并且可被解释为变量之间的长期稳定的均衡关系。自变量和因变量之间存在协整关系，就是因变量能被自变量的线性组合所解释，两者之间存在均衡关系，因变量不能被自变量的所解释的部分构成一个残差序列，这个残差序列应该是平稳的。 格兰杰因果关系理论及格兰杰因果关系检验格兰杰因果关系理论及格兰杰因果关系检验 格兰杰因果关系理论的思想是，x是否引起了y，主要看现在的y 能够在多大的程度上被过去的x解释，即加入x的滞后值能否使解释程度提高。 格兰杰因果关系检验的原理 ：H0：（1） 特征根迹检验特征根迹检验(trace检验检验) 由于r个最大特征根可得到r个协整向量，而对于其余k r个非协整组合来说，r+1，k应该为0，于是可得到原假设、备选假设为 相应的检验统计量为 r称为特征根迹统计量。1 Johansen1 Johansen协整检验协整检验协整检验协整检验 （2）当 1 不显著时，接受H10 ，表明只有1个协整向量，依次进行下去，直到接受Hr0，说明存在r个协整向量。这r个协整向量就是对应于最大的r个特征根的经过正规化的特征向量。依次检验这一系列统计量的显著性： （1）当 0 不显著时(即 0 值小于某一显著性水平下的Johansen分布临界值)，接受H00 (r = 0)，表明有k个单位根，0个协整向量(即不存在协整关系)。当 0 显著时(即 0 值大于某一显著性水平下的Johansen分布临界值)，拒绝H00 ，则表明至少有一个协整向量，必须接着检验 1 的显著性。 根据右边假设检验，大于临界值拒绝原假设。继续检验的过程可归纳为如下的序贯过程：1 临界值，拒绝H10 ，表明至少有2个协整向量； r 临界值，接受Hr0，表明只有r个协整向量。 （2）最大特征值检验）最大特征值检验 对于Johansen协整检验，另外一个类似的检验方法是 ：检验统计量是基于最大特征值的，其形式为 其中 r 称为最大特征根统计量，简记为-max统计量。 检验从下往上进行，首先检验0 ，如果 0 临界值，拒绝H00 ，至少有1个协整向量。接受H00 (r = 0)，表明最大特征根为0，无协整向量，否则接受H01，至少有1个协整向量；如果 1 显著，拒绝H10，接受至少有2个协整向量的备择假设H11；依次进行下去，直到接受Hr0，共有r个协整向量。 （3）协整方程的形式）协整方程的形式 与单变量时间序列可能出现均值非零、包含确定性趋势或随机趋势一样，协整方程也可以包含截距和确定性趋势。假设方程可能会出现如下情况（Johansen，1995）：【1】VAR模型 没有确定趋势，协整方程没有截距： 【2】VAR模型没有确定趋势，协整方程有截距项 ：【3】VAR模型有确定性线性趋势，但协整方程只有截距： 【4】VAR模型和协整方程都有线性趋势，协整方程的线性趋势表示为 ： 【5】VAR模型有二次趋势，协整方程仅有线性趋势： 其中 是k ( kr )阶矩阵，它被称为 的正交互余矩阵(orthogonal complement) ，即 。 与 有关的项是协整关系的外部确定项，当确定项同时出现在协整关系的内部和外部时， 的分解不是惟一可识别的。Johansen(1995)指出可将属于误差修正项内的那部分外生项正交地投影于 空间上，所以 是 的0空间，即 。 注意细节：注意细节：【1】 Johansen协整检验的临界值对k =10的序列都是有效的。而且临界值依赖于趋势假设，对于包含其他确定性回归量的模型可能是不适合。例如，VAR模型中如果包含转移(变迁)虚拟变量，可能使水平系列yt 产生一个不连续的线性趋势。【2】 迹统计量和最大特征值统计量的结论可能产生冲突。对这样的情况，建议检验估计得到的协整向量，并将选择建立在协整关系的解释能力上。 为了实现协整检验，从VAR对象或Group(组)对象的工具栏中选择View/Cointegration Test 即可。协整检验仅对已知非平稳的序列有效，所以需要首先对VAR模型中每一个序列进行单位根检验。E-views软件中协整检验实现的理论基础是Johansen (1991, 1995a)协整理论。在Cointegration Test Specification的对话框（下图）中将提供关于检验的详细信息： 2 2 协整检验在协整检验在协整检验在协整检验在E-viewsE-views软件中的实现软件中的实现软件中的实现软件中的实现（3）协整检验的设定）协整检验的设定【1】 确定性趋势的说明 序列也许会有非零均值，或与随机趋势一样有确定趋势。类似地，协整方程也可能会有截距和确定趋势，关于协整的LR检验统计量的渐近分布不再是通常的2分布，它的分布依赖于与确定趋势有关的假设。因此，为了完成这个检验，需要提供关于基本数据的趋势假设。E-views在Deterministic Trend assumption of test对话框中，对前面的5种可能形式提供了检验。如果不能确定用哪一个趋势假设，可以选择Summary of all 5 trend assumption（第6个选择）帮助确定趋势假设的选择。这个选项在5种趋势假设的每一个下面都标明协整关系的个数，可以看到趋势假设检验结果的敏感性。 【2】 外生变量对话框还允许指定包含于VAR模型中的附加的外生变量Xt。常数和线性趋势不应被列在该编辑框中，因为它们在5个Trend Specification选项中得到了指定。假如确实包含外生变量，应当意识到EViews算出的临界值并没有考虑这些变量。 【3】滞后区间（加加+1） 应当用一对数字确定协整检验的滞后区间。需要注意的是：滞后设定是指在辅助回归中的一阶差分的滞后项，不是指原序列。例如，如果在编辑栏中键入“1 2”，协整检验用yt对yt-1，yt-2和其他指定的外生变量作回归，此时与原序列yt有关的最大的滞后阶数是3。对于一个滞后阶数为1的协整检验，在编辑框中应键入“0 0”。 【4】协整检验结果的解释* 协整关系的数量协整关系的数量 输出结果的第一部分给出了协整关系的数量，并以两种检验统计量的形式显示：第一种检验结果是所谓的迹统计量，列在第一个表格中；第二种检验结果是最大特征值统计量，列在第二个表格中。对于每一个检验结果：第一列显示了在原假设成立条件下的协整关系数；第二列是 矩阵按由大到小排序的特征值；第三列是迹检验统计量或最大特征值统计量；第 四 列 是 在 5%显 著 性 水 平 下 的 临 界 值 ； 最 后 一 列 是 根 据MacKinnon-Haug-Michelis (1999) 提出的临界值所得到的P值。* 协整关系协整关系 输出的第二部分给出协整关系 和调整参数 的估计。如果不强加一些任意的正规化条件，协整向量 是不可识别的。在第一块中报告了基于正规化 （其中S11在Johansen(1995a)中作出了定义）的 和 的估计结果。注意：在Unrestricted Cointegrating Coefficients下 的输出结果：第一行是第一个协整向量，第二行是第二个协整向量，以此类推。其余的部分是在每一个可能的协整关系数(r =0，1，k -1)正规化后的估计输出结果。一个可选择的正规化方法是：在系统中，前r个变量作为其余k r个变量的函数。近似的标准误差在可识别参数的圆括号内输出。（五）误差修正模型 两个经济变量存在协整关系，即两者之间有长期均衡关系。但是，在短期内也许会出现失衡。因此，可把协整方程中的误差项看作“均衡误差”，并利用误差项把经济变量之间的短期行为和它的长期值联系起来。若变量间存在协整关系，即表明这些变量间存在着长期稳定的关系，而这种长期稳定的关系是在短期动态过程的不断调整下得以维持。 Engle和Granger将协整与误差修正模型结合起来，建立了向量误差修正模型。只只要要变变量量之之间间存存在在协协整整关关系系，可可以以由由自自回回归归分分布布滞滞后后模模型型导导出出误误差差修修正正模模型型。而在VAR模型中的每个方程都是一个自自回回归归分分布布滞滞后后模模型型，因此，可以认为VEC模型是含有协整约束的VAR模型，多应用于具有协整关系的非平稳时间序列建模。 1 1 向量误差修正模型向量误差修正模型向量误差修正模型向量误差修正模型(VEC) (VEC) 其中的每一个方程都是一个误差修正模型。ecmt-1 = yt-1是误差修正项，反映变量之间的长期均衡关系，系系数数向向量量 反反映映变变量量之之间间的的均均衡衡关关系系偏偏离离长长期期均均衡衡状状态态时时，将将其其调调整整到到均均衡衡状状态态的的调调整整速速度度。所有作为解释变量的差分项的系数反映各变量的短期波动对作为被解释变量的短期变化的影响，可以剔除其中统计不显著的滞后差分项。 其中每个方程的误差项 i (i =1，2，k) 都具有平稳性。一个协整体系由多种表示形式，用误差修正模型表示是当前处理这种问题的普遍方法，即： 如果yt 所包含的k个I (1)过程存在协整关系，不包含外生变量可改写为 ： 考虑一个两变量(y1，y2)的包含误差修正项、但没有滞后差分项的VEC模型。误差修正项是： 则则VEC模型为：模型为： 其中：其中： ，写成单方程形式为：，写成单方程形式为： 其中，系数1，2 代表调整速度。在这个简单的模型中，等式右端惟一的变量是误差修正项。在长期均衡中，这一项为0。然而，如果y1，y2 在上一期偏离了长期均衡，则误差修正项非零，1和2会将其向均衡状态调整。 由于序列y1t，y2t的不同特征，模型可以指定成不同的形式：以下是简单的VEC模型，可以构造结结构构VEC模模型型，还可以考虑VEC模型的Granger因果检验、脉冲响应函数和方差分解。关 于 VAR模 型 和 VEC模 型 更 多 的 讨 论 ， 见 Davidson和Mackinnon（1993）及汉密尔顿（1999）。 【1】 如果两个内生变量y1和y2不含趋势项，并且协整方程有截距，则VEC模型有如下形式 ： 【2】 假设在序列中有线性趋势，则VEC模型有如下形式： 【3】 协整方程中可能有趋势项 t，其形式为： 【4】 如果序列中存在着隐含的二次趋势项 t，等价于VEC模型的括号外也存在线性趋势项，其形式为：（1）如何估计）如何估计VEC模型模型 由于VEC模型的表达式仅仅适用于协整序列，应先运行Johansen协整检验，并确定协整关系数，需要提供协整信息作为VEC对象定义的一部分。 2 2 VEC)VEC)模型在模型在模型在模型在E-viewsE-views软件中的实现向量软件中的实现向量软件中的实现向量软件中的实现向量在VAR对象设定框中，从VAR Type中选择Vector Error Correction项。在VAR Specification栏中，除特殊情况外应该提供与无约束的VAR模型相同的信息：【1】常数或线性趋势项不应包括在Exogenous Series的编辑框中，应定义在Cointegration栏中。【2】在在VEC模模型型中中滞滞后后间间隔隔的的说说明明指指一一阶阶差差分分的的滞滞后后。例如，滞后说明“1 1”将包括VEC模型右侧的变量的一阶差分项的滞后，即VEC模型是两阶滞后约束的VAR模型 。为估计没有一阶差分项的VEC模型，指定滞后的形式为：“0 0”。 （2）在Cointegration栏中定义VEC模型常数和趋势时，必须从5个趋势假设说明中选择一个，也必须在适当的编辑框中填入协整关系的个数，应该是一个小于VEC模型中内生变量个数的正数。 （3）如果想强加约束于协整关系或(和)调整参数，用Restrictions栏（下图）。注意：如果没在VAR Specification栏中单击Vector Error Correction项，这一栏将是灰色的。 含含义义：在有两个协整方程的情况，约束第三个变量外生于协整方程，两个协整方程第一个变量的系数均为1。单击OK按纽即可估计VEC模型，分两步完成：第一步，从Johansen所用的协整检验估计协整关系；第二步，用所估计的协整关系构造误差修正项，并估计包括误差修正项作为回归量的一阶差分形式的VAR模型。 VEC模型估计的输出包括两部分。第一部分，如果不强加约束，EViews将会用系统默认的能可以识别所有的协整关系的正规化方法。系统默认的正规化表述为：将VEC模型中前r个变量作为剩余k r个变量的函数，其中r表示协整关系数，k是VEC模型中内生变量的个数。第二部分输出是在第一步之后以误差修正项作为回归量的一阶差分的VAR模型。误差修正项以CointEq1，CointEq2，表示形式输出。VEC模型输出结果的底部，有系统的两个对数似然值。第一个值标有Log Likelihood(d.f.adjusted)，其计算用自由度修正的残差协方差矩阵，这是无约束的这是无约束的VAR模型的对数似然值模型的对数似然值。标有Log Likelihood的值是以没有修正自由度的残差协方差矩阵计算的，与协整检验所输出的值是可比较的与协整检验所输出的值是可比较的。 （4） VEC系数的获得系数的获得 对于VEC模型，系数的估计保存在三个不同的二维数组中：A，B和C。A包含调整参数；B包含协整向量；C包含短期参数（一阶差方项滞后的系数）。 【1】A的第一个指标是VEC的方程序号，第二个指标是协整方程的序号。例如，A（2，1）表示：VEC的第二个方程中的第一个协整方程的调整系数。 【2】B的第一个指标是协整方程序号，第二个指标是协整方程的变量序号。例如，B（2，1）表示：第二个协整方程中第一个变量的系数。 【3】 C的第一个指标是VEC的方程序号，第二个指标是VEC中一阶差分回归量的变量序号。例如，C(2 , 1)表示：VEC第二个方程中第一个一阶差分回归量的系数。 在VEC模型的名字后面加一个点号和系数元素，就可以获得这些系数，如： var01.a(2,1) var01.b(2,1) var01.c(2,1) 观察A , B和C的每一个元素和被估计系数的对应关系，从VAR的工具栏中选择 View/Representations 即可。三、 向量自回归和误差修正模型传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。 向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型。1 向量自回归理论 VAR(p) 模型的数学表达式是 其中：yt 是 k 维内生变量向量，Xt 是d 维外生变量向量，p是滞后阶数，样本个数为T 。kk维矩阵A1，Ap和kd维矩阵B是要被估计的系数矩阵。t是k维扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关，假设 是t的协方差矩阵，是一个(kk)的正定矩阵。式(9.1.1)可以用矩阵表示为 （1）VAR模型的一般表示： 即含有k个时间序列变量的VAR(p) 模型由k个方程组成，内生变量滞后n阶的VAR(n)模型。 还可以做简单变换，表示为： 其中 是yt关于外生变量Xt回归的残差。可以简写为： 其中 ，是滞后算子L的kk的参 数 矩 阵 。 一 般 称 其 为 非 限 制 性 向 量 自 回 归 模 型(unrestricted VAR)。冲击向量t是白噪声向量，因为t没有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。 下面考虑的VAR模型都是不含外生变量的非限制向量自回归模型，用下式表示： 或 如果行列式detA(L)的根都在单位圆外，则满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均(VMA()形式： 其中其中 对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对 矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得 矩阵的估计量为：其中： 。当VAR的参数估计出来之后，由于A(L)C(L)=Ik，可以得到相应的VMA()模型的参数估计。 由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消除（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。 2 EViews软件中VAR模型的建立和估计 （1）建立）建立VAR模型模型 为创建一个VAR对象，应选择Quick/Estimate VAR或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入var。便会出现下图的对话框： 可以在对话框内添入相应的信息：【1】 选择模型类型（VAR Type）： 无约束向量自回归（Unrestricted VAR）或者向量误差修正（Vector Error Correction）。无约束VAR模型是指VAR模型的简化式。 【2】 在在Estimation Sample编辑框中设置样本区间。编辑框中设置样本区间。 【3】在Lag Intervals for Endogenous编辑框中输入滞后信息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例如，滞后对 1 4表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量。也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如： 2 4 6 9 12 12即为用24阶，69阶及第12阶滞后变量。 【4】 在Endogenous Variables和Exogenous Variables编辑栏中输入相应的内生变量和外生变量。系统通常会自动给出常数c作为外生变量，但是相应的编辑栏中输入c作为外生变量，也可以，因为EViews只会包含一个常数。（2）VAR估计的输出 VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，E-views将会在VAR对象窗口显示如下估计结果： 输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。 输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。残差的协方差的行列式值由下式得出： 其中m是VAR模型每一方程中待估参数的个数， 是k维残差列向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布计算对数似然值： AIC和SC两个信息准则。 3 结构VAR模型(SVAR) VAR模型并没有给出变量之间当期相关关系的确切形式，即在模型的右端不含有内生变量，而这些当期相关关系隐藏在误差项的相关结构之中，是无法解释的。模型中的误差项t是不可观测的，可以被看作是不可解释的随机扰动。结构VAR模型(Structural VAR，SVAR)，实际是指VAR模型的结构式，即在模型中包含变量之间的当期关系。 （1）两变量的）两变量的SVAR模型模型 为了明确变量间的当期关系，首先来研究两变量的VAR模型结构式和简化式之间的转化关系。如含有两个变量(k=2)、滞后一阶(p=1)的VAR模型结构式可以表示为下式: