习题9.13.设函数 在有界闭区域D上连续且 试证必存在点 使 . 证：证：因为 在有界闭区域上连续，所以 在D 上有最大值M与最小值m，且因 ， 故有 ，积分得 当 时， 习题9.1于是有从而由二元连续函数的介值定理，必存在一点 ，使 即当g（x，y）=0时，所证等式显然成立。习题9.28.设闭区域D： 为D上的连续函数，且 求解：解：设 ，在已知等式两边求区域D上的二重积分有 9. 计算 ，其中D是由曲线 (a0) 和直线 y=-x 围成的区域. 解：解：区域D在极坐标系下D=I=令 r=2asint，有10.计算 ，其中解：解：设 则11.设g(x)0为已知连续函数，在圆域 上计算二重积分 ，其中 为正常数。解:由于区域D关于直线y=x对称，故对连续函数f（x，y）有 因此从而有12.设f(x)为0,1上的单调增加的连续函数，证明：证：由于 同理可得将，相加，并注意到假设即故即 ，由此可推知命题成立。13.设函数f（x）在区间0,1上连续，并设 ，求解： 所以习题9.44.（8）计算 ，其中 为平面曲线 绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域。解法一：解法一：在柱面坐标系下，解法二解法二：采用“先二后一”法 ，7.设函数f（z）在-1, 1上连续，证明 其中 为球体证：证：令 ，则 故8.设f（x）连续，f（0)= a，函数 ，其中 及 ，求解：解：在球面坐标系下化三重积分为三次积分，得 9.假设f(x)在区间0, 1上连续，并且 ，证明：证：证：设 ，则 故因为故习题9.59.设有一半径为R的球体， 是此球的表面上的一个定点，球体上的任一点的密度与该点到 的距离的平方成正比（比例常数k0），求球体的质心坐标.解：解：记所考虑的球体为 ，以 的球心为原点O，射线 为正x轴建立直角坐标系（如图所示),则点 的坐标为（R，0,0），球面的方程为 设 的重心位置为 ，由对称性得而故 因此，球体的重心位置为