1第三节第三节 Newton插值多项式插值多项式2Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数全部基函数 li (x) 都需重新都需重新计算计算。 n较大时，计算量非常大较大时，计算量非常大,故常用于理论分析。故常用于理论分析。3称称 为函数为函数 关于点关于点 的的一阶差商一阶差商.称称 为函数为函数 关于点关于点 的的二二阶差商阶差商.一一. 差商的定义及其性质差商的定义及其性质定义定义2.1:已知函数已知函数f(x)在在n+1个互异节点个互异节点xj( j=0,1,n)上上的函数值分别为的函数值分别为f(xj)( j=0,1, n)4 一般地，一般地，称称 n 阶差商的概念阶差商的概念为函数为函数f(x) 关于关于点点 的的 n 阶差商阶差商规定规定f( (xi) )为为f( (x) )在点在点xi处的处的零阶差零阶差商商. .5差商的基本性质差商的基本性质性质性质1 1：差商可表示为函数值的线性组合，即：差商可表示为函数值的线性组合，即：性质性质2 2：差商关于所含节点是对称的，即：差商关于所含节点是对称的，即：可用归纳法证明67差商的基本性质差商的基本性质性质性质3：设设 在在 存在存在 n 阶导数，且阶导数，且 则则 ，使得，使得:8例例 已知已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求求 f 20, 21, 27 及及 f 20, 21, 27, 28 分析：本题分析：本题 f(x)是一个多项式是一个多项式, 故应利用差商的故应利用差商的性质性质解解: 由差商与导数之间的关系由差商与导数之间的关系 9差商的计算差商的计算-差商表差商表NewtonNewton公式公式NewtonNewton优点优点10已知已知计算三阶差商计算三阶差商解：列表计算解：列表计算 例例 11根据差商的定义，把根据差商的定义，把 x 看成看成 a,b 上的一点，可得：上的一点，可得：12131415其中其中 显然显然 满足插值条件，且次数不超过满足插值条件，且次数不超过 , ,它就它就是插值多项式，其系数为：是插值多项式，其系数为： 我们称我们称 为牛顿插值多项式为牛顿插值多项式. .差商表差商表161)1) 和和 均是均是 n 次多项式次多项式, ,且均满足插值条件且均满足插值条件: :由由插值插值多项式的唯一性多项式的唯一性, , ,因而因而, ,两个公式两个公式的余项是相等的的余项是相等的, ,即即 说明说明:172) 2) 牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，只要再增加一项就行了，即有递推式只要再增加一项就行了，即有递推式: : 差商表差商表18u一次Newton插值多项式N1(x)= f(x0)+fx0,x1(x-x0)u二次Newton插值多项式N2(x)= f(x0)+fx0,x1(x-x0)+fx0,x1,x2(x-x0)(x-x1)N1 1( (x) )19例例 已知已知x=0, 2, 3, 5对应的函数值为对应的函数值为y=1, 3, 2, 5，作，作三次三次Newton插值多项式插值多项式.如再增加如再增加x=6时的函数数时的函数数值为值为6，作四次，作四次Newton插值多项式插值多项式.u解 首先构造差商表 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10三次Newton插值多项式为20u增加x4=6，f(x4)=6作差商表 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 6 6 1 -1/6 -1/4 -11/120四次Newton插值多项为