微分几何微分几何1.31.3空间曲线空间曲线 2、密切平面的方程、密切平面的方程 给出 类的曲线（C）： 有因为向量 和 都在平面 上，所以它们的 线性组合 也在平面 上。两边取极限得 在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此只要 这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。密切平面方程为 5、曲率和挠率的一般参数表示式、曲率和挠率的一般参数表示式给出 类的曲线（C）：所以因此由此得到曲率的一般参数的表示式 由可得挠率公式为6、密切园（曲率园）密切园（曲率园） 过曲线（C）上一点 P 的主法线的正侧取线段 PC，使 PC 的长为1/k。以C 为园心，以1/k为半径在密切平面上确定一个园，这个园称为曲线在 P 点的密切园或曲率园，园的中心叫曲率中心，园的半径叫曲率半径。 7、几个例题几个例题例1 园柱螺线的曲率和挠率都是常数。例2 曲率恒为零的曲线是直线。例3 挠率恒为零的曲线是平面曲线。例4 求曲率为 4 ，挠 率为 5 的曲线方程。解解 由题意，可设曲线为园柱螺线 因此得所求园柱螺线为3、4 空间曲线在邻近一点的结构空间曲线在邻近一点的结构给定 类曲线 及其上一点 有 取 为新坐标系，并取 为计算弧长的始点， 则有 。设 为曲线上点 的邻近点的新坐标，则有近似曲线在三个平面上的投影分别为 通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似形状：1、曲线穿过法平面与密切平面，但不穿过从切平面。2、主法向量总是指向曲线凹入的方向，这是主法向量正向的几何意义。3、挠率的符号对曲线的影响见表。3、5 空间曲线论的基本定理空间曲线论的基本定理 曲线上每一点都有确定的曲率和挠率，它们与参数有关，但与刚体运动和坐标变换无关。我们把 称为空间曲线的自然方程。空间曲线论基本定理空间曲线论基本定理 给出闭区间s0,s1上的两个连续函数 ,则除了空间的位置差别外，唯一存在一条空间曲线，使得参数 s 是曲线的自然参数，并且 和 分别为曲线的曲率和挠率，即曲线的自然方程为3、6 一般螺线 1、定义：切线和固定方向作固定角的曲线称为一般螺线。 2、性质： （1）主法线与一个固定方向垂直。 （2）、副法线与一个固定方向作固定角。 证明：设 是固定方向上的一个单位向量。它与切向量作固 定角 ，有 微商 （3）曲率与挠率之比为一个常数。 可以证明，上面的结论也是充分的。 3、一般螺线的一种标准方程 设柱面的母线平行于 z 轴，则可令 ，再设一般螺线的方程为 若令 z=0 , s=0 , 则 于是一般螺线的方程为