2.3.3 2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2.3.4 2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题提出问题提出1.1.平面向量的基本定理是什么？平面向量的基本定理是什么？ 若若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量则对于这一平面内的任意向量a，有且只有，有且只有一对实数一对实数1 1，2 2，使，使a1e12e2.2.2.用坐标表示向量的基本原理是什么？用坐标表示向量的基本原理是什么？设设i、j是与是与x x轴、轴、y y轴同向的两个单位向轴同向的两个单位向量，若量，若axiyj，则，则a( (x x，y y).).3.3.用坐标表示向量，使得向量具有代数用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径的途径. .我们需要研究的问题是，我们需要研究的问题是，向量向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等映等. .探究（一）：探究（一）：平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 思考思考1 1：设设i、j是与是与x x轴、轴、y y轴同向的两个轴同向的两个单位向量，若单位向量，若a=(x=(x1 1，y y1 1),),b=(x=(x2 2，y y2 2),),则则ax x1 1iy y1 1j，b bx x2 2iy y2 2j，根据向量的线，根据向量的线性运算性质，向量性运算性质，向量ab，ab，a（R）如何分别用基底）如何分别用基底i、j表示？表示？ab(x1x2)i(y1y2)j， ab(x1x2)i(y1y2)j， ax1iy1j.思考思考2 2：根据向量的坐标表示，向量根据向量的坐标表示，向量 ab，ab，a的坐标分别如何？的坐标分别如何？ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1).ab(x1x2)i(y1y2)j， ab(x1x2)i(y1y2)j， ax1iy1j.思考思考3 3：如何用数学语言描述上述向量如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？的坐标运算？ 两个向量和（差）的坐标分别等于这两两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标乘原来向量的相应坐标. .ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1).o ox xy yB BA A思考思考4 4：如图如图, ,已知点已知点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )，那么向量那么向量 的坐标如何？一般地，一个的坐标如何？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？任意向量的坐标如何计算？ (x2x1，y2y1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标的有向线段的终点坐标减去始点坐标. .思考思考5 5：在上图中，如何确定坐标为在上图中，如何确定坐标为(x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1) )的点的点P P的位置？的位置？o ox xy yB BA AP(xP(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1) )思考思考6 6：若向量若向量a=(x=(x，y)y)，则，则| |a| |如何计如何计算？若点算？若点A(xA(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )，则，则 如何计算？如何计算？ A Aax xy yO O探究（二）：探究（二）：平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 思考思考1 1：如果向量如果向量a，b共线（其中共线（其中b0），），那么那么a，b满足什么关系？满足什么关系？思考思考2 2：设设a=(x1，y1), ,b=(x2，y2)，若向量若向量a，b共线（其中共线（其中b0），则这两个向量的），则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？坐标应满足什么关系？反之成立吗？ ab.向量向量a，b（b0）共线共线 ax xy yO ObA AB BC CD D思考思考3 3：如何用解析几何观点得出上述结如何用解析几何观点得出上述结论？论？向量向量a，b（b0）共线共线 思考思考4 4：已知点已知点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )，P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，若点若点P P分别是线段分别是线段P P1 1P P2 2的中点、三等分点，的中点、三等分点，如何用向量方法求点如何用向量方法求点P P的坐标？的坐标？x xy yO OP P2 2P P1 1P PP PP P思考思考5 5：一般地，若点一般地，若点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )，P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，点，点P P是直线是直线P P1 1P P2 2上一点，且上一点，且 ，那么点，那么点P P的坐标有何计算公式？的坐标有何计算公式？x xy yO OP P2 2P P1 1P P理论迁移理论迁移 例例1 1 已知已知a=(2,1),=(2,1), b=(=(3,4),3,4),求求 ab，ab，3a4b的坐标的坐标. . ab(1，5)，ab(5，3)，3a4b(6，19). 例例2 2 如图，已知如图，已知 ABCDABCD的三个顶点的的三个顶点的坐标分别是坐标分别是A A（-2-2，1 1）、）、B B（-1,3-1,3）、）、C(3,4)C(3,4)，试求顶点，试求顶点D D的坐标的坐标. .o ox xy yA AB BC CD D D D（2 2，2 2） 例例3 3 已知向量已知向量a=(4=(4，2)2)，b=(6=(6，y),y),且且ab，求，求y y的值的值. .y3 例例4 4 已知点已知点A(-1A(-1，-1)-1)，B(1B(1，3)3)，C C(2(2，5)5)，试判断，试判断A A、B B、C C三点是否共线三点是否共线？，A A、B B、C C三点共线三点共线. . 小结作业小结作业1. 1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表向量的坐标运算是根据向量的坐标表示和向量的线性运算律得出的结论，它示和向量的线性运算律得出的结论，它符合实数的运算规律，并使得向量的运符合实数的运算规律，并使得向量的运算完全代数化算完全代数化. . 2.2.对于两个非零向量共线的坐标表示，对于两个非零向量共线的坐标表示，可借助斜率相等来理解和记忆可借助斜率相等来理解和记忆. . 3.3.利用向量的坐标运算，可以求点的坐利用向量的坐标运算，可以求点的坐标，判断点共线等问题，这是一种向量标，判断点共线等问题，这是一种向量方法，体现了向量的工具作用方法，体现了向量的工具作用. . 作业：作业：P100P100练习练习：2 2，4.4.P101P101习题习题A A组：组：1 1，3 3，4 4，5.5.