32 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 考虑如图所示刚体上的任意两个考虑如图所示刚体上的任意两个质量元，第质量元，第i个质量元个质量元mi，所在，所在处的位矢为处的位矢为 ，施加的外力，施加的外力 第第j个质量元个质量元mj，所在处的位矢，所在处的位矢为为 ，施加的外力，施加的外力 mi和和mj受到的内力分别为受到的内力分别为 和和一、定轴转动定律的推导一、定轴转动定律的推导则质点则质点mi和和mj受到的力矩分别为受到的力矩分别为 两式相加，得两式相加，得上式左边前两项是外力矩的矢量和，上式左边前两项是外力矩的矢量和，后两项是系统内任意两质点相互作用后两项是系统内任意两质点相互作用所产生的力矩，称为内力矩。根据牛所产生的力矩，称为内力矩。根据牛顿第三定律，从图容易看出，刚体上顿第三定律，从图容易看出，刚体上任意两质点的内力矩的矢量和等于零。任意两质点的内力矩的矢量和等于零。因此，刚体上所有质量元相互作用的因此，刚体上所有质量元相互作用的内力矩之和为零。于是，上式可改写内力矩之和为零。于是，上式可改写成成是刚体的总角动量是刚体的总角动量 是转动刚体受到的合外力矩，记为是转动刚体受到的合外力矩，记为 则则 称为定轴刚体的角动量定理。称为定轴刚体的角动量定理。 绕固定轴转动的刚体受到的外力矩等于它的角绕固定轴转动的刚体受到的外力矩等于它的角动量的变化率。动量的变化率。 分别对转动轴分别对转动轴Z投影，则可得到投影，则可得到说明：说明：1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是解决刚体定轴转动问题的基本方程。解决刚体定轴转动问题的基本方程。称为定轴转动刚体的转动定律。称为定轴转动刚体的转动定律。 二、刚体定轴转动的转动定律的应用二、刚体定轴转动的转动定律的应用题目类型题目类型1.已知转动惯量和力矩，求角加速度；已知转动惯量和力矩，求角加速度；2.已知转动惯量和角加速度，求力矩；已知转动惯量和角加速度，求力矩；3.已知力矩和角加速度，求转动惯量。已知力矩和角加速度，求转动惯量。解题步骤解题步骤1.确定研究对象；确定研究对象；2.受力分析；受力分析；3.选择参考系与坐标系；选择参考系与坐标系；4.列运动方程；列运动方程；5.解方程；解方程；6.必要时进行讨论。必要时进行讨论。注意注意以下几点：以下几点：1.力矩与转动惯量必须对力矩与转动惯量必须对同一转轴同一转轴而言的；而言的；2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；速度、角速度的正负；3.当系统中既有转动物体又有平动物体时，则对转当系统中既有转动物体又有平动物体时，则对转动物体按转动定律建立方程，对于平动物体按牛顿动物体按转动定律建立方程，对于平动物体按牛顿定律建立方程。定律建立方程。例、例、一个质量为一个质量为M、半径为、半径为R的定滑轮的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静由静止下落高度止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。时的速度和此时滑轮的角速度。解：解：定轴定轴ORthmv0=0绳绳例例2、一根长为一根长为l、质量为、质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆位置，求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩为重力对O O 的力矩。的力矩。 棒棒上取质元上取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，重力矩为：重力矩为： XOdmgdmx再求角速度再求角速度例例3匀质圆盘的质量为匀质圆盘的质量为m，半径为，半径为R，在水平，在水平桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘与桌桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘与桌面之间的摩擦系数为面之间的摩擦系数为，求圆盘从以角速度，求圆盘从以角速度0旋旋转到静止需要多少时间？转到静止需要多少时间？ 解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支持力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零。持力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零。 在圆盘上任取一个细圆环，半径为在圆盘上任取一个细圆环，半径为r，宽度为，宽度为dr，整个圆环所受摩，整个圆环所受摩擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上各个质点擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上各个质点所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取0的方向为的方向为正方向，则整个圆环所受的力矩为正方向，则整个圆环所受的力矩为 整个圆盘所受的力矩为整个圆盘所受的力矩为 根据转动定律，得根据转动定律，得 角加速度为常量，且与角加速度为常量，且与0的方向相反，表明圆盘作匀减速转动的方向相反，表明圆盘作匀减速转动当圆盘停止转动时，当圆盘停止转动时，=0，则得，则得