积极体现课标理念积极体现课标理念 彰显教科书育人价值彰显教科书育人价值 人教版初中数学教材再认识与再实践人教版初中数学教材再认识与再实践新中国教育出版事业从这里开始万新才万新才人民教育出版社特聘讲师团成员人民教育出版社特聘讲师团成员背背 景景新世纪我国基础教育课程改革新世纪我国基础教育课程改革 借鉴、改革、创新、实践、调整借鉴、改革、创新、实践、调整 如何形成如何形成“继承继承创新创新发展发展”的良性循环？的良性循环？“立德树人立德树人”是教育的根本任务是教育的根本任务育人目标是教育的核心目标育人目标是教育的核心目标数学教育育人目标的核心是学生的数学教育育人目标的核心是学生的数学素养的提升数学素养的提升。数学数学 原课标：原课标：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。 修订后：修订后：数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，特别是随着现代信息技术人类发展和社会进步息息相关，特别是随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。 课程标准的修订（课程标准的修订（2011年版）年版）义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（2011年版）年版）在在基本理念、课程设计思路、课程目标、基本理念、课程设计思路、课程目标、内容标准、实施建议内容标准、实施建议等方面都有变化等方面都有变化四基四基基础知识、基本技能、基础知识、基本技能、 基本思想、基本活动经验基本思想、基本活动经验四能四能发现和提出问题的能力发现和提出问题的能力 分析和解决问题的能力分析和解决问题的能力从从“双基双基”到到“四基四基”： “双基双基”传统是我国数传统是我国数学教育的优势，应在课改中予以保持并赋予新意，学教育的优势，应在课改中予以保持并赋予新意，而而“基本思想基本思想”“”“基本活动经验基本活动经验”是数学素养的是数学素养的重要标志。可以把重要标志。可以把“四基四基”看作学生获得良好数看作学生获得良好数学教育的集中体现。学教育的集中体现。发现和提出问题的能力发现和提出问题的能力：将：将“解决问题解决问题”改为改为“问题解决问题解决”，是为了更加重视学生问题意识的培，是为了更加重视学生问题意识的培养，以及解决问题综合能力的培养。发现问题、养，以及解决问题综合能力的培养。发现问题、提出问题的能力是学生数学问题意识的具体体现，提出问题的能力是学生数学问题意识的具体体现，是培养创新意识所需要的是培养创新意识所需要的。数学教学数学教学 将将 “ 数学学习数学学习”与与“ 数学教学数学教学”合成一条，合成一条，整体阐述数学教学的特征。整体阐述数学教学的特征。教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。与合作者。数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。当的数学学习方法。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、认真听讲、积积极思考极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。动过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。 认真研读、深刻理解认真研读、深刻理解新课标的新课标的精神实质，积极体精神实质，积极体现其基本理念，从现其基本理念，从结构体系构建、学习素材选取、结构体系构建、学习素材选取、学习方法引导、探究过程设计、数学活动组织学习方法引导、探究过程设计、数学活动组织等等方面彰显数学教科书的育人价值，是我们编写人方面彰显数学教科书的育人价值，是我们编写人教版义务教育教科书教版义务教育教科书数学（七数学（七九年级）九年级）（以下简称修订版教科书）时考虑的主要问题。（以下简称修订版教科书）时考虑的主要问题。人教版课标教材特点回顾人教版课标教材特点回顾教材修订的实际做法教材修订的实际做法对教学的一些建议对教学的一些建议报告提纲报告提纲一、人教版课标教材特点回顾一、人教版课标教材特点回顾 1.1.突出背景，强调本质，注重应突出背景，强调本质，注重应用，使学生感到数学是自然的，水用，使学生感到数学是自然的，水到渠成的，使教材具有到渠成的，使教材具有“亲和力亲和力” 2.2.改进教材呈现方式，以恰时改进教材呈现方式，以恰时恰点的问题引导数学活动，体现恰点的问题引导数学活动，体现学习方式的转变学习方式的转变 3.3.强调基础性，坚持强调基础性，坚持“四四基基”不动摇，为学生终身发展不动摇，为学生终身发展打好数学基础打好数学基础 4.4.重视数学思想方法，立重视数学思想方法，立足学生发展，提高教科书的足学生发展，提高教科书的“思想性思想性” 5.5.加强不同领域内容之间的加强不同领域内容之间的联系，突出教科书的联系性联系，突出教科书的联系性 6.6.体现数学的科学价值和文化体现数学的科学价值和文化内涵，反映数学在其它科学和文内涵，反映数学在其它科学和文化进步中的作用化进步中的作用 视频：视频：菲波那契数列菲波那契数列 7.7.积极探索数学课程与信息积极探索数学课程与信息技术的整合，适当体现信息技技术的整合，适当体现信息技术的应用术的应用 8.8.体现层次性和选择性，体现层次性和选择性，将配套教材作为教材建设的将配套教材作为教材建设的有机组成部分有机组成部分现代性现代性-更新知识载体，渗透现代数学思想方法，更新知识载体，渗透现代数学思想方法，引入信息技术引入信息技术实践性实践性-联系社会实际，贴近生活实际联系社会实际，贴近生活实际探究性探究性-创造条件，为学生提供自主活动、自主创造条件，为学生提供自主活动、自主探索的机会，获取知识技能探索的机会，获取知识技能发展性发展性-面向全体学生，满足不同学生发展需要面向全体学生，满足不同学生发展需要趣味性趣味性-文字通俗，形式活泼，图文并茂，趣味文字通俗，形式活泼，图文并茂，趣味直观直观总之总之, ,课标教材特点课标教材特点二、教材修订的实际做法二、教材修订的实际做法审查委员对教材的评价审查委员对教材的评价送审的义务教育数学教科书，经审查认为符合教育部颁布的送审的义务教育数学教科书，经审查认为符合教育部颁布的全日制义务教育数学课程标准全日制义务教育数学课程标准（2011年版年版）的基本理念的基本理念和总体要求和总体要求。主要特色是主要特色是： 1. 注重知识结构的合理性和科学性注重知识结构的合理性和科学性，在科学安排各章顺序在科学安排各章顺序（纵纵向联系向联系）的同时的同时，加强各章的横向联系加强各章的横向联系，组成四大知识板块组成四大知识板块（“数与代数数与代数”“图形与几何图形与几何”“统计与概率统计与概率”“综合与实践综合与实践”）的的有机整体有机整体； 2. 数学概念和基本理论的表述比较准确数学概念和基本理论的表述比较准确，内容素材的选择比较内容素材的选择比较贴近学生的生活实际，关注学生的认知规律，设计了丰富多样的贴近学生的生活实际，关注学生的认知规律，设计了丰富多样的关于综合与实践板块的栏目关于综合与实践板块的栏目，努力做到激发学生兴趣努力做到激发学生兴趣，提高学生提高学生的数学素养的数学素养； 3. 习题作了多层次安排习题作了多层次安排，精心设计各章总结材料精心设计各章总结材料，利于教学利于教学1.1.调整结构、增减内容，构建符合数学逻辑调整结构、增减内容，构建符合数学逻辑和学生心理的教科书体系和学生心理的教科书体系合理的结构体系是教科书育人的载体，通过教科书的体系合理的结构体系是教科书育人的载体，通过教科书的体系结构，学生可以看到数学世界是如何构成的，浩如烟海的结构，学生可以看到数学世界是如何构成的，浩如烟海的数学知识是如何被选择和组织起来的。因此，教科书的体数学知识是如何被选择和组织起来的。因此，教科书的体系结构构建，体现了教科书的育人价值。系结构构建，体现了教科书的育人价值。从各领域内容的前后顺序、内容之间的协调与配合，数学从各领域内容的前后顺序、内容之间的协调与配合，数学内容与相关学科内容的配合，学生的认知特点等角度，调内容与相关学科内容的配合，学生的认知特点等角度，调整了不合理的内容顺序，构建更加符合数学逻辑和学生心整了不合理的内容顺序，构建更加符合数学逻辑和学生心理的教科书体系，以利于学生理解数学知识，形成数学能理的教科书体系，以利于学生理解数学知识，形成数学能力。力。方程方程函数函数一元一次方程（七上）一元一次方程（七上）二元一次方程组（七下）二元一次方程组（七下）一次函数（八下）一次函数（八下）一元二次方程（九上）一元二次方程（九上）二次函数（九上）二次函数（九上）反比例函数（九下）反比例函数（九下） 一次函数后移，使学生学习函数的难点移后。一次函数后移，使学生学习函数的难点移后。 二次函数提前，加强与一元二次方程的联系。二次函数提前，加强与一元二次方程的联系。 反比例函数移后，便于学生理解涉及的一些物理等相反比例函数移后，便于学生理解涉及的一些物理等相关知识。关知识。 一次一次二次二次负一次负一次代数式代数式方程、函数方程、函数整式的加减（七上）整式的加减（七上）一元一次方程（七上）一元一次方程（七上）二元一次方程组（七下）二元一次方程组（七下）整式的乘法与因式分解（八上）整式的乘法与因式分解（八上）分式（八上）分式（八上）二次根式（八下）二次根式（八下）一次函数（八下）一次函数（八下）一元二次方程（九上）一元二次方程（九上）二次函数（九上）二次函数（九上）反比例函数（九下）反比例函数（九下） 二次根式提前，便于解决勾股定理中根式化简等问题。二次根式提前，便于解决勾股定理中根式化简等问题。 分式提前，体现与整式的联系，便于加强学生的运算能力。分式提前，体现与整式的联系，便于加强学生的运算能力。 式的内容相对靠前。式的内容相对靠前。七年级上册（七年级上册（62）第第1章章 有理数（有理数（19）第第2章章 整式的加减（整式的加减（8）第第3章章 一元一次方程（一元一次方程（19）第第4章章 几何图形初步（几何图形初步（16）七年级下册（七年级下册（62）第第5章章 相交线与平行线（相交线与平行线（14）第第6章章 实数（实数（8）第第7章章 平面直角坐标系（平面直角坐标系（7）第第8章章 二元一次方程组（二元一次方程组（12）第第9章章 不等式与不等式组（不等式与不等式组（11）第第10章章 数据的收集整理与描述（数据的收集整理与描述（10）八年级上册（八年级上册（62）第第11章章 三角形（三角形（8）第第12章章 全等三角形（全等三角形（11）第第13章章 轴对称（轴对称（14）第第14章章 整式的乘法与因式分解（整式的乘法与因式分解（14）第第15章章 分式（分式（15）八年级下册（八年级下册（62）第第16章章 二次根式（二次根式（9）第第17章章 勾股定理（勾股定理（9）第第18章章 平行四边形平行四边形 （15） 第第19章章 一次函数（一次函数（17）第第20章章 数据的分析（数据的分析（12）九年级上册（九年级上册（62）第第21章章 一元二次方程（一元二次方程（13）第第22章章 二次函数（二次函数（12）第第23章章 旋转（旋转（9）第第24章章 圆（圆（16）第第25章章 概率初步（概率初步（12）九年级下册（九年级下册（48）第第26章章 反比例函数（反比例函数（8）第第27章章 相似（相似（14）第第28章章 锐角三角函数（锐角三角函数（12）第第29章章 投影与视图（投影与视图（10）全套教材编排顺序全套教材编排顺序除按照课程标准除按照课程标准2011年版的内容标准增减内容外，年版的内容标准增减内容外，降降低难度、减轻负担低难度、减轻负担也是本次修订考虑的一个重要方面，这也是本次修订考虑的一个重要方面，这也是教科书编写的也是教科书编写的“心理性心理性”原则的体现。教科书采取了原则的体现。教科书采取了删除某些次要或繁琐的内容删除某些次要或繁琐的内容（如删去有理数中的（如删去有理数中的“净胜球净胜球”问题）、问题）、将必学内容改为选学内容将必学内容改为选学内容（如将（如将“镶嵌镶嵌”改为改为选学内容）、选学内容）、调整内容顺序调整内容顺序（如将平移中的（如将平移中的“造桥选址问造桥选址问题题”后移到后移到“最短路径问题最短路径问题”的课题学习中）、的课题学习中）、改变处理改变处理方式方式（如（如“有理数乘法法则有理数乘法法则”的处理）等措施，降低教科的处理）等措施，降低教科书的难度，突出学生学习的重点内容。书的难度，突出学生学习的重点内容。在教科书修订过程中，我们特别注意继承人民教育在教科书修订过程中，我们特别注意继承人民教育出版社半个多世纪编写教科书的宝贵经验，发扬教出版社半个多世纪编写教科书的宝贵经验，发扬教科书注重知识体系的合理性、强调数学基础的落实、科书注重知识体系的合理性、强调数学基础的落实、注意数学的逻辑性要求等优良传统，同时充分重视注意数学的逻辑性要求等优良传统，同时充分重视初中学生的认知特点，对于初中学生的认知特点，对于核心的数学概念和重要核心的数学概念和重要的数学思想方法循序渐进地安排的数学思想方法循序渐进地安排。在为学生铺设了。在为学生铺设了合理、有效的认知台阶的同时，也为教师提供了明合理、有效的认知台阶的同时，也为教师提供了明确的、指导性的教学设计思路。确的、指导性的教学设计思路。例例 推理与证明的安排推理与证明的安排直观与推理的结合直观与推理的结合 使推理成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延使推理成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，逐步养成严谨的思维习惯。续，逐步养成严谨的思维习惯。 推理论证不仅是证明或推翻猜想，也是发现新结论的推理论证不仅是证明或推翻猜想，也是发现新结论的重要手段。重要手段。循序渐进循序渐进 “说点儿理说点儿理” “说理说理” “简单推理简单推理” “符号表示推理符号表示推理” 适时安排，起点早适时安排，起点早一以贯之一以贯之七上七上 “几何图形初步几何图形初步” 说点儿理说点儿理七下七下 “相交线与平行线相交线与平行线” 说理说理 简单推理简单推理 用符号表示推理用符号表示推理八上八上 “三角形三角形” 要求学生证明要求学生证明 “全等三角形全等三角形” “轴对称轴对称”八下八下 “勾股定理勾股定理”“”“平行四边形平行四边形”九上九上 “旋转旋转”“”“圆圆”九下九下 “相似相似”一一以以贯贯之之循循序序渐渐进进处理好推理与证明的关键章节处理好推理与证明的关键章节 在在“相交线与平行线相交线与平行线”中，结合实例从中，结合实例从“说理说理”到到“简单推理简单推理”，并正式出现，并正式出现“证明证明”（让学生（让学生看到完整的证明，不要求学生完整证明，要求学看到完整的证明，不要求学生完整证明，要求学生会填空完成一些关键步骤和填理由），注意循生会填空完成一些关键步骤和填理由），注意循序渐进，推理的步骤控制好长度序渐进，推理的步骤控制好长度 正式出现正式出现“证明证明”之前，循序渐进给出严格的推之前，循序渐进给出严格的推理的符号语言理的符号语言在图在图5.1-2中，中，1与与2互补，互补，3也与也与2互补，由互补，由“同角同角的补角相等的补角相等”，可以得出，可以得出1=3同理，同理，2=4这样，这样，我们得到：我们得到： 对顶角相等对顶角相等上面推出上面推出“对顶角相等对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面这个结论的过程，可以写成下面的形式：的形式： 因为因为 1与与2互补，互补，3与与2互补（邻补角的定义），互补（邻补角的定义）， 所以所以 1=3（同角的补角相等）（同角的补角相等）全等三角形中注意体现研究几何问题的思全等三角形中注意体现研究几何问题的思路（性质与判定，实验操作、猜想结论、路（性质与判定，实验操作、猜想结论、证明结论）证明结论）平行四边形中达到高峰平行四边形中达到高峰2.2.加强学习方法的引导，使学生逐步领悟数加强学习方法的引导，使学生逐步领悟数学研究的学研究的“基本套路基本套路”，加深对数学核心，加深对数学核心内容的理解内容的理解在教科书编写过程中，我们特别注意挖掘数学核心知识在教科书编写过程中，我们特别注意挖掘数学核心知识蕴含的思维教育价值，加强学习方法的引导，以问题引蕴含的思维教育价值，加强学习方法的引导，以问题引导学习，使学生经历数学概念的概括过程、数学原理的导学习，使学生经历数学概念的概括过程、数学原理的抽象过程，从中体会数学的研究方法，领悟数学研究的抽象过程，从中体会数学的研究方法，领悟数学研究的“基本套路基本套路”。这有利于学生形成对数学的有一定深度。这有利于学生形成对数学的有一定深度的整体认识，从而体现数学教学的育人价值。的整体认识，从而体现数学教学的育人价值。代数的核心代数的核心运算和运算律运算和运算律解决问题的过程中，则要用代数工具去表示现实解决问题的过程中，则要用代数工具去表示现实事物中的量（式），反映其中的关系（方程、函事物中的量（式），反映其中的关系（方程、函数）和变化过程（函数），将实际问题数）和变化过程（函数），将实际问题“代数化代数化”后再加以解决。后再加以解决。对于对于“数与代数数与代数”的内容，从数的扩充、式的扩的内容，从数的扩充、式的扩展、方程的丰富、到变量与函数的引入，教科书展、方程的丰富、到变量与函数的引入，教科书构建了一个从简单到复杂、从具体到抽象、从常构建了一个从简单到复杂、从具体到抽象、从常量到变量的不断归纳提升的过程，体现了研究代量到变量的不断归纳提升的过程，体现了研究代数的基本方法数的基本方法归纳法。归纳法。在内容展开过程中，充分注意在内容展开过程中，充分注意“有理数有理数”的基础的基础地位和作用，在相关章节（有理数、实数、整式地位和作用，在相关章节（有理数、实数、整式加减、整式乘除、分式、二次根式）的编写中，加减、整式乘除、分式、二次根式）的编写中，加强思想方法的引导，重视加强思想方法的引导，重视“数式通性数式通性”，将式，将式的相关内容与数的概念、运算法则和运算律的类的相关内容与数的概念、运算法则和运算律的类比。同时在小结中，阐述比。同时在小结中，阐述“从数到式从数到式”的研究内的研究内容和方法。容和方法。 数式通性数式通性整式整式对于对于“图形与几何图形与几何”的内容，教科书则力求体现的内容，教科书则力求体现研究几何问题的基本思路、内容和一般方法。研究几何问题的基本思路、内容和一般方法。主要研究图形的性质和判定主要研究图形的性质和判定什么是性质什么是性质组成要素（边、角）之间的关系（位置关组成要素（边、角）之间的关系（位置关系和数量关系）系和数量关系）什么是判定什么是判定组成要素需要具备的条件组成要素需要具备的条件一般到特殊一般到特殊性质和判定的互逆关系性质和判定的互逆关系例如，对于平行四边形，教科书采用从一般到特殊的研究例如，对于平行四边形，教科书采用从一般到特殊的研究思路，即从平行四边形的边、角的特殊性，得到特殊的平思路，即从平行四边形的边、角的特殊性，得到特殊的平行四边形行四边形矩形、菱形、正方形。从它们的组成要素矩形、菱形、正方形。从它们的组成要素（边、角、对角线）之间的位置和数量关系出发，研究它（边、角、对角线）之间的位置和数量关系出发，研究它们的性质；从判定和性质的互逆关系，研究它们的判定方们的性质；从判定和性质的互逆关系，研究它们的判定方法等，教科书不仅在正文中呈现这样的过程，让学生参与法等，教科书不仅在正文中呈现这样的过程，让学生参与到研究过程之中，而且在引言和小结中对这种研究方法给到研究过程之中，而且在引言和小结中对这种研究方法给予引导和归纳总结，让学生体会其中的数学思想。予引导和归纳总结，让学生体会其中的数学思想。 “平行四边形平行四边形”的小结的小结统计是建立在数据的基础上的，本质上是对数据统计是建立在数据的基础上的，本质上是对数据进行推断，进行推断，统计的核心就是数据分析统计的核心就是数据分析，而不是单，而不是单纯的数字计算或绘图。纯的数字计算或绘图。教科书在呈现教科书在呈现“统计与概率统计与概率”的内容时，特别注的内容时，特别注意体现意体现“通过统计数据探究规律通过统计数据探究规律”的的归纳思想归纳思想。注意结合解决具体实际问题的注意结合解决具体实际问题的典型案例典型案例展开相关展开相关内容，并在每一章都安排实践性较强的内容，并在每一章都安排实践性较强的“课题学课题学习习”，让学生在收集数据、整理数据、描述数据、，让学生在收集数据、整理数据、描述数据、分析数据的过程中体会数据中蕴含的信息，学会分析数据的过程中体会数据中蕴含的信息，学会根据问题的背景选择合适的方法，通过数据分析根据问题的背景选择合适的方法，通过数据分析体验数据的随机性。从而发展学生的数据分析观体验数据的随机性。从而发展学生的数据分析观念，感受统计思想，逐步建立用数据说话的习惯。念，感受统计思想，逐步建立用数据说话的习惯。3 3反映背景、重视过程、加强应用，使学生反映背景、重视过程、加强应用，使学生获得数学的基本思想获得数学的基本思想使学生获得数学的基本思想是数学课程的重要目标，也是使学生获得数学的基本思想是数学课程的重要目标，也是提升学生数学素养的重要标志。数学思想是数学学科发生、提升学生数学素养的重要标志。数学思想是数学学科发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓。程教学的精髓。概念和原理的引入强调它的现实背景或数学理论发展的背概念和原理的引入强调它的现实背景或数学理论发展的背景，让学生感到知识的发展是自然而水到渠成的；以问题景，让学生感到知识的发展是自然而水到渠成的；以问题引导学习，使学生经历数学概念的概括过程、数学原理的引导学习，使学生经历数学概念的概括过程、数学原理的抽象过程，从中体会数学的研究方法；通过解决具有真实抽象过程，从中体会数学的研究方法；通过解决具有真实背景的问题，让学生感受数学与生活及其他学科的联系，背景的问题，让学生感受数学与生活及其他学科的联系，体现数学的模型思想，发展学生的应用意识。体现数学的模型思想，发展学生的应用意识。 例例 整式的加减的处理整式的加减的处理 1 用字母表示数，列式表示数量关系，以列式问题为用字母表示数，列式表示数量关系，以列式问题为素材引出有关概念：素材引出有关概念： 2 结合列式问题中的化简，引出同类项的概念，类比结合列式问题中的化简，引出同类项的概念，类比数的运算律引出合并同类项的法则，通过合并同类项进数的运算律引出合并同类项的法则，通过合并同类项进行式子化简行式子化简. 3 结合列式问题中的化简，引出去括号的问题，类比结合列式问题中的化简，引出去括号的问题，类比数的运算律得到去括号的法则；通过去括号，进行式子数的运算律得到去括号的法则；通过去括号，进行式子化简化简. 4 归纳出整式加减法的运算法则归纳出整式加减法的运算法则.一元一次方程的处理一元一次方程的处理4 4发挥章引言的发挥章引言的“先行组织者先行组织者”和章小结和章小结的的“概括提升概括提升”作用，体现知识的整体性作用，体现知识的整体性引言是全章起始的序曲，是全章内容的引导性材料。好引言是全章起始的序曲，是全章内容的引导性材料。好的引言，对于激发学习兴趣、加强基本思想教学、培养的引言，对于激发学习兴趣、加强基本思想教学、培养发现和提出问题的能力等都有重要作用。发现和提出问题的能力等都有重要作用。为更好地发挥章引言的作用，修订版教科书着重从本章为更好地发挥章引言的作用，修订版教科书着重从本章内容的引入、本章内容的概述、本章方法的引导等角度内容的引入、本章内容的概述、本章方法的引导等角度组织相关内容。在具体处理中，不追求组织相关内容。在具体处理中，不追求“实际问题实际问题数学问题数学问题”的单一模式，而是结合具体内容以自然的方的单一模式，而是结合具体内容以自然的方式引入。式引入。平行四边形章引言小结是对全章内容的梳理，是对本章内容所反映的主要思小结是对全章内容的梳理，是对本章内容所反映的主要思想方法归纳概括。修订版教科书的章小结除保留了实验版想方法归纳概括。修订版教科书的章小结除保留了实验版教科书中的教科书中的“本章知识结构图本章知识结构图”和和“回顾与思考回顾与思考”的问题的问题之外，又新加了之外，又新加了“概述概述”内容，对本章的核心知识内容及内容，对本章的核心知识内容及其中包含的数学思想方法等作了言简意赅的归纳概括，帮其中包含的数学思想方法等作了言简意赅的归纳概括，帮助学生对所学内容进行助学生对所学内容进行“去粗取精，由厚到薄去粗取精，由厚到薄”的提炼，的提炼，使其对这章内容的认识有新的提升。使其对这章内容的认识有新的提升。 例：例：“整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解”小结小结本章我们类比数的乘法学习了整式的乘法整式的乘法主本章我们类比数的乘法学习了整式的乘法整式的乘法主要包括幂的运算性质、单项式的乘法、多项式的乘法等要包括幂的运算性质、单项式的乘法、多项式的乘法等利用除法是乘法的逆运算，学习了简单的整式除法并学利用除法是乘法的逆运算，学习了简单的整式除法并学习了因式分解这种与整式的乘法相反方向的变形它们都习了因式分解这种与整式的乘法相反方向的变形它们都是进一步学习的重要基础是进一步学习的重要基础由于整式中的字母表示数，因此数的运算律和运算性质在由于整式中的字母表示数，因此数的运算律和运算性质在整式的运算中仍然成立在整式的乘法中，多项式的乘法整式的运算中仍然成立在整式的乘法中，多项式的乘法要利用分配律转化为单项式的乘法，而单项式的乘法又要要利用分配律转化为单项式的乘法，而单项式的乘法又要利用交换律和结合律转化为幂的运算因此，幂的运算是利用交换律和结合律转化为幂的运算因此，幂的运算是基础，单项式的乘法是关键整式的除法也与此类似基础，单项式的乘法是关键整式的除法也与此类似因式分解是与整式的乘法方向相反的变形整式的乘法是因式分解是与整式的乘法方向相反的变形整式的乘法是把几个整式相乘，得到一个新的整式；而因式分解是把一把几个整式相乘，得到一个新的整式；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘知道了这种关系，不仅有助个多项式化为几个整式相乘知道了这种关系，不仅有助于理解因式分解的意义，而且也可以把整式乘法的过程反于理解因式分解的意义，而且也可以把整式乘法的过程反过来，得到分解因式的方法过来，得到分解因式的方法某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成乘法公式的形某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成乘法公式的形式，利用它们可以简化运算把乘法公式等号两边交换位式，利用它们可以简化运算把乘法公式等号两边交换位置，就得到了分解因式的相应公式置，就得到了分解因式的相应公式 5 5加强探究、重视加强探究、重视“综合与实践综合与实践”，积累，积累数学活动经验、培养创新意识数学活动经验、培养创新意识修订版教科书非常重视学生创新意识的培养，在内容的修订版教科书非常重视学生创新意识的培养，在内容的呈现上努力体现数学思维规律，倡导探究式学习，给学呈现上努力体现数学思维规律，倡导探究式学习，给学生一条观察事物（情景）、发现问题、提出问题、分析生一条观察事物（情景）、发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的线索。问题、解决问题的线索。教科书从知识内容的发展脉络、核心概念、思想方法、教科书从知识内容的发展脉络、核心概念、思想方法、学习过程等方面考虑，在一些关节点上设置学习过程等方面考虑，在一些关节点上设置“思考思考”“探究探究”“归纳归纳”等栏目，使他们通过观察、实验、比较、等栏目，使他们通过观察、实验、比较、归纳、猜想、推理、反思等理性思维活动，促使学生领归纳、猜想、推理、反思等理性思维活动，促使学生领悟数学的本质，提高数学思维能力，积累数学活动经验，悟数学的本质，提高数学思维能力，积累数学活动经验，培养创新意识。培养创新意识。例：三角形全等条件的研究思路教科书编写时，我们还注意了探究的层次性，使教科书编写时，我们还注意了探究的层次性，使操作性活动、思考性活动顺次安排，并注意根据操作性活动、思考性活动顺次安排，并注意根据学生年级的提高、知识储备的增加、学习经验的学生年级的提高、知识储备的增加、学习经验的丰富，不断丰富，不断加强加强“探究探究”的理性思维成分的理性思维成分，提高，提高探究的层次。低年级的探究侧重在通过观察、实探究的层次。低年级的探究侧重在通过观察、实验发现结论上；高年级的探究则侧重在利用已有验发现结论上；高年级的探究则侧重在利用已有的数学概念、结论探究一些解决问题的策略上。的数学概念、结论探究一些解决问题的策略上。“平行四边形的判定平行四边形的判定”的处理的处理思考思考 通过前面的学习，我们知道，平行四边形对边相等、对角相等、对角通过前面的学习，我们知道，平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分。反过来，对边相等、对角相等、对角线互相平分的四边线互相平分。反过来，对边相等、对角相等、对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？也就是说，平行四边形性质定理的逆命题成形是不是平行四边形呢？也就是说，平行四边形性质定理的逆命题成立吗？立吗？ 可以证明，逆命题成立，这样我们得到平行四边形的判定定理：可以证明，逆命题成立，这样我们得到平行四边形的判定定理： 下面我们以对角线互相平分为例来进行证明。下面我们以对角线互相平分为例来进行证明。 平行四边形的判定定理与平行四边形的性质定理互为逆定理，也就是平行四边形的判定定理与平行四边形的性质定理互为逆定理，也就是说，当条件与结论互换以后，所得命题仍然成立。说，当条件与结论互换以后，所得命题仍然成立。 思考思考 我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形。如果只我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形。如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时四边形是平行四边考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时四边形是平行四边形呢？形呢？原来的做法原来的做法 讨论性质时，讨论性质时，k k0 0和和k k0 0的情况同时出现。的情况同时出现。 现在的做法现在的做法 为层次清楚，按照为层次清楚，按照k k0 0和和k k0 0“分类分类”讨论性质，讨论性质，突出与突出与一次函数性质研究方法的类比。一次函数性质研究方法的类比。 k k0 0时：描点画图时：描点画图观察图象观察图象归纳性质（增减性）归纳性质（增减性）回回到解析式解释。到解析式解释。k k0 0时：学生自己探究。时：学生自己探究。不讨论对称等几何性质。不讨论对称等几何性质。还注意呈现合理的探究过程还注意呈现合理的探究过程例：反比例函数性质的讨论例：反比例函数性质的讨论“综合与实践综合与实践”是培养创新意识的重要载体，教科书以是培养创新意识的重要载体，教科书以“课题学习课题学习”和和“数学活动数学活动”的形式安排这部分内容。的形式安排这部分内容。本次修订，我们重新检查了实验版教科书中原有的本次修订，我们重新检查了实验版教科书中原有的“课题课题学习学习”和和“数学活动数学活动”，考察这些内容，考察这些内容“是否有活动性、是否有活动性、综合性、探究性？综合性、探究性？”“与哪些数学知识的联系最密切？与哪些数学知识的联系最密切？”“”“是否便于实施？是否便于实施？”“”“有无更好的数学活动内容和方式有无更好的数学活动内容和方式？”等问题，对原有内容作了适当的增删替换，希望它们等问题，对原有内容作了适当的增删替换，希望它们切实发挥帮助学生积累基本数学活动经验的作用，给学生切实发挥帮助学生积累基本数学活动经验的作用，给学生自己发现和提出问题、独立思考、归纳猜想等提供更大的自己发现和提出问题、独立思考、归纳猜想等提供更大的空间。空间。最短路径问题修订版教科书还更换或删除了一些数学活动，更修订版教科书还更换或删除了一些数学活动，更加注重让学生参与活动的全过程，在过程中动手、加注重让学生参与活动的全过程，在过程中动手、动口、动脑，以积累数学活动经验。动口、动脑，以积累数学活动经验。在教师教学用书中，还对教学中如何开展数学活在教师教学用书中，还对教学中如何开展数学活动提出明确具体的要求。动提出明确具体的要求。一般地，一般地，“数学活动数学活动”的教学要安排如下几个环的教学要安排如下几个环节：节：（1）活动内容的选择；）活动内容的选择；（2）活动的展开过程（要注意学生参与方式的设计，）活动的展开过程（要注意学生参与方式的设计，多使用动手实践、自主探究、合作交流等方式）；多使用动手实践、自主探究、合作交流等方式）；（3）活动过程和结果的展示与评价。）活动过程和结果的展示与评价。明确问题，设计账本明确明确“活动活动1 1”中的关键词，如中的关键词，如“收收”“”“支支”“”“总收入总收入”“”“总支出总支出”“”“总节余总节余”“”“每日平均支出每日平均支出”“”“当月当月”等等；明确完成这个活动要用的数学知识，主要是明确完成这个活动要用的数学知识，主要是“有理数及有理数及其运算其运算”。讨论制作账本的方法，如用表格记录的话，表格中应当讨论制作账本的方法，如用表格记录的话，表格中应当包含哪些项目包含哪些项目。实施方案，记录数据实施方案，记录数据 在这个阶段，学生要按照前面设计的方案，将收支数据详在这个阶段，学生要按照前面设计的方案，将收支数据详实地记录到账本中。实地记录到账本中。展示交流，总结评价展示交流，总结评价 这一环节可以有多种组织方式。这一环节可以有多种组织方式。 安排这个环节的目的是给学生一个表达、展示、交流的机安排这个环节的目的是给学生一个表达、展示、交流的机会，分享活动成果和收获的同时，教师可以了解学生在活会，分享活动成果和收获的同时，教师可以了解学生在活动中数学应用能力的发展状况，也可以看出学生的数学学动中数学应用能力的发展状况，也可以看出学生的数学学习态度。在展示交流中，要注意引导学生对数学活动过程习态度。在展示交流中，要注意引导学生对数学活动过程进行全面反思进行全面反思。6 6努力构建较为完善的训练系统努力构建较为完善的训练系统 例题定位例题定位典型性、示范性典型性、示范性 习题的定位习题的定位为教科书构建训练系统为教科书构建训练系统 练习、习题就是给人做的内容，练习、习题、复习题构练习、习题就是给人做的内容，练习、习题、复习题构成了教科书的训练系统。要经过循序渐进的训练，使学生成了教科书的训练系统。要经过循序渐进的训练，使学生达到对内容理解的逐步深入，双基的落实，能力的提高。达到对内容理解的逐步深入，双基的落实，能力的提高。正文、习题是一个整体，习题是正文的自然延续，是通过正文、习题是一个整体，习题是正文的自然延续，是通过训练帮助学生理解正文内容的。训练帮助学生理解正文内容的。 例习题整体考虑，加强基础题，注意例习题整体考虑，加强基础题，注意题量、梯度。题量、梯度。 教科书的习题与中考题的定位不同，但教科书的习题教科书的习题与中考题的定位不同，但教科书的习题可以兼顾中考（越往后可以兼顾的内容越多），但绝不等可以兼顾中考（越往后可以兼顾的内容越多），但绝不等同于中考题，注意了对中考题进行加工和改造，以训练本同于中考题，注意了对中考题进行加工和改造，以训练本节（章）的核心知识。节（章）的核心知识。三、对教学的一些建议三、对教学的一些建议把整个学段看作一个整体把整个学段看作一个整体理解数学是教好数学的前提理解数学是教好数学的前提提高教材研究的水平提高教材研究的水平重视概念教学重视概念教学加强研究方法的引导，提高课堂教学的思想性加强研究方法的引导，提高课堂教学的思想性提好的问题，设计自然的教学过程提好的问题，设计自然的教学过程重视学生思维能力的培养重视学生思维能力的培养整体是事物的一种真实存在形式。整体是事物的一种真实存在形式。数学是一个整体。数学是一个整体。数学的整体性体现在代数、几何、三角等各数学的整体性体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上同一部分内容中知识的前后逻辑关系上纵向联系、横向联系。纵向联系、横向联系。学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念要逐个学，知识要逐步教。如何处理好这种要逐个学，知识要逐步教。如何处理好这种矛盾，是教学中的核心问题。矛盾，是教学中的核心问题。1.把整个学段看作一个整体把整个学段看作一个整体解解直直角角三三角角形形定定 义义 方方 法法应应 用用已知已知元素元素未知未知元素元素边边边边边角边角角角角角锐角三锐角三角函数角函数两锐角两锐角 互余互余勾股勾股定理定理数学数学思想思想直接应用直接应用实际问题实际问题银杏树叶银杏树叶例例“反比例函数反比例函数”反映的整体性反映的整体性学习基础学习基础：反比例关系，函数、自变量、：反比例关系，函数、自变量、函数值等概念，三种表示形式，函数图像函数值等概念，三种表示形式，函数图像的概念，一次函数、二次函数的研究经验的概念，一次函数、二次函数的研究经验（函数的研究内容、过程和方法）。（函数的研究内容、过程和方法）。研究一类函数的内容、过程研究一类函数的内容、过程：背景：背景概概念念图象与性质图象与性质简单实际应用。简单实际应用。研究方法研究方法：特殊到一般、具体到抽象；数：特殊到一般、具体到抽象；数形结合（画图像、观察图像得性质等）。形结合（画图像、观察图像得性质等）。反比例函数概念的抽象过程反比例函数概念的抽象过程概念的引入概念的引入借助具体事例，从数学概借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；引入概念；概念属性的归纳概念属性的归纳对典型丰富的具体例对典型丰富的具体例证进行属性的分析、比较、综合，归纳不证进行属性的分析、比较、综合，归纳不同例证的共同特征；同例证的共同特征；概念的抽象与概括概念的抽象与概括下定义，给出准确下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；的数学语言描述（文字的、符号的）；概念的辨析概念的辨析以实例为载体分析概念关以实例为载体分析概念关键词的意义（恰当使用反例）；键词的意义（恰当使用反例）；概念的巩固应用概念的巩固应用用概念解决简单问题，用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤；形成用概念作判断的具体步骤；概念的概念的“精致精致”通过概念的综合应用，通过概念的综合应用，建立与相关概念的联系，将概念纳入概念建立与相关概念的联系，将概念纳入概念系统。系统。上述过程与正比例函数、一次函数、二次上述过程与正比例函数、一次函数、二次函数等概念的抽象过程是一脉相承的。函数等概念的抽象过程是一脉相承的。其实，初中教材中的概念编写思路基本上其实，初中教材中的概念编写思路基本上都按照这个都按照这个“套路套路”展开。展开。反比例函数的图象和性质的研究思路反比例函数的图象和性质的研究思路画出图象，并根据图象和函数表达式探索画出图象，并根据图象和函数表达式探索其性质。其性质。上述过程体现了研究一个数学对象的性质上述过程体现了研究一个数学对象的性质的一般过程与方法。的一般过程与方法。概念辨析概念辨析成反比例的量和关系：成反比例的量和关系：xy=k（定值），这里（定值），这里x和和y都是可以变化的；都是可以变化的；反比例函数：体现的反比例函数：体现的“变化规律变化规律”是是“变量变量y随变量随变量x的变化而变化，且它们的积的变化而变化，且它们的积xy保持不保持不变变”。关键词：反比例；函数。关键词：反比例；函数。y=1/x2 ，y是是x2的反比例函数，对吗？的反比例函数，对吗？注意：自变量是注意：自变量是x而不是而不是x2；“反比例函数反比例函数”是是“自变量与对应的函数值成反比例关系自变量与对应的函数值成反比例关系”。2.2.“理解数学理解数学”是教好数学的前提是教好数学的前提 理解数学就是要了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑意理解数学就是要了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，把握概念的多元联系表义，理解内容所反映的思想方法，把握概念的多元联系表示，挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观示，挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观资源。资源。理解教学内容，弄清理解教学内容，弄清“是什么是什么” ；理解教学内容之间的联系，在概念体系中认识核心概念；理解教学内容之间的联系，在概念体系中认识核心概念； 理解教学内容所反映的思想方法。理解教学内容所反映的思想方法。 例：微软面试题例：微软面试题地球上有多少个这样的点:往南走1公里,往东走1公里,再往北走1公里,你能回到原来的出发点?（1）漫不经心的回答:没有（2）小心的回答：1个（3）数学化的回答：无数个点空间想像空间想像一般模型满足下列两条件之一,便能回到出发点（1）A与A重合（2）B与B重合ABAB例例 直觉的误导直觉的误导有一张有一张8 cm8 cm的正方形的纸片，面积是的正方形的纸片，面积是64 cm2。把这张纸片按图。把这张纸片按图24-1所示剪开，把剪出的所示剪开，把剪出的4个小块按图个小块按图24-2所示重新拼合，这样就得到了一所示重新拼合，这样就得到了一个长为个长为13cm，宽为，宽为5cm的长方形，面积是的长方形，面积是65 cm2。这是可能的吗？。这是可能的吗？ 图图24-1 图图24-2说明说明这是一个直觉与逻辑不符的例子，希望学这是一个直觉与逻辑不符的例子，希望学生通过学习体会到：对于数学的结论，完全凭借生通过学习体会到：对于数学的结论，完全凭借直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。 一般来说，学生应当是不会相信图一般来说，学生应当是不会相信图25 -2中纸片的中纸片的面积是面积是65 cm2，但又无法说明为什么观察的结果是错，但又无法说明为什么观察的结果是错误的。进一步引导学生思考，如果观察是错误的，那误的。进一步引导学生思考，如果观察是错误的，那么错误可能出在哪里呢？学生通过逻辑思考，可以推么错误可能出在哪里呢？学生通过逻辑思考，可以推断只有一个可能：图断只有一个可能：图25 -2中纸片所示图形不是长方形，中纸片所示图形不是长方形，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积。然后，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积。然后，可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角，发现可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角，发现确实不像是直角。可以告诉学生，这个想法是正确的，确实不像是直角。可以告诉学生，这个想法是正确的，但最好能够给出证明，引导学生经历一个由合情推理但最好能够给出证明，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。到演绎推理的过程。 在实际教学中可以引导学生先看图、再让学生分在实际教学中可以引导学生先看图、再让学生分组将图剪开，动手操作发现矛盾（组将图剪开，动手操作发现矛盾（64=65？）。然后，？）。然后，尝试找出理由并尝试证明，最后表达收获。尝试找出理由并尝试证明，最后表达收获。9394设计的数学活动，设计的数学活动， 综合与实践；积累综合与实践；积累思考的活动经验思考的活动经验传授传授数学推理的思想数学推理的思想例：概率教学中的一些错误理解例：概率教学中的一些错误理解必然事件与概率为必然事件与概率为1 1等价，不可能事件与概率为等价，不可能事件与概率为0 0等价，等价，随机事件的概率大于随机事件的概率大于0 0而小于而小于1 1 。频率的稳定值就是概率的估计值。频率的稳定值就是概率的估计值。 随着试验次数的增加，频率就越来越接近于概率。随着试验次数的增加，频率就越来越接近于概率。用频率估计概率，一定要大量重复试验。用频率估计概率，一定要大量重复试验。例：例：0.9990.9991？例：总体与个体的定义例：总体与个体的定义 学校要了解七年级学生的身高情况，进行抽样调学校要了解七年级学生的身高情况，进行抽样调查，总体是（查，总体是（ ）。）。 (A)全校学生全校学生 (B)全校学生的身高全校学生的身高 (C)七年级所有学生七年级所有学生 (D)七年级所有学生的身高七年级所有学生的身高中国大百科全书中国大百科全书数学数学 “总体又称母体，是一个统计问题所研究的对象的全体，总总体又称母体，是一个统计问题所研究的对象的全体，总体中的每一个单元成员称为个体。例如，研究工厂生产的某种体中的每一个单元成员称为个体。例如，研究工厂生产的某种产品质量时，该工厂的全体这种产品是总体，每件这种产品是产品质量时，该工厂的全体这种产品是总体，每件这种产品是个体；为治理某一江水的污染问题，以个体；为治理某一江水的污染问题，以500毫升水为单位进行各毫升水为单位进行各种化验，这条江的江水是总体，每种化验，这条江的江水是总体，每500毫升的水是个体。毫升的水是个体。” “为了进行统计推断，需要对总体给出数学描述，一般的统为了进行统计推断，需要对总体给出数学描述，一般的统计问题中只涉及个体的一个或几个数量指标，因此数学上常把计问题中只涉及个体的一个或几个数量指标，因此数学上常把个体的数量指标个体的数量指标X（一维的或多维的）取值的全体作为总体，指（一维的或多维的）取值的全体作为总体，指标值标值x为个体。为个体。” 每一种说法中，总体与个体是按照同一解释界定的。虽然两每一种说法中，总体与个体是按照同一解释界定的。虽然两种说法不尽相同，但是前者所说的总体、个体与后者所说的总种说法不尽相同，但是前者所说的总体、个体与后者所说的总体、个体之间存在一一对应关系，这就是说两者所反映的总体体、个体之间存在一一对应关系，这就是说两者所反映的总体和个体的从属关系是完全一致的。两者仅有说法上的差别，而和个体的从属关系是完全一致的。两者仅有说法上的差别，而本质相同，它们并不矛盾。本质相同，它们并不矛盾。 机会的数学机会的数学陈希孺陈希孺 部分推断整体的特点，在抽样调查中看得很清楚。一个群部分推断整体的特点，在抽样调查中看得很清楚。一个群体（人群或任何同类对象，如工厂、学校等由个体组成的集体）体（人群或任何同类对象，如工厂、学校等由个体组成的集体），在统计学上称为总体（母体）。我们所要了解的，是该群体，在统计学上称为总体（母体）。我们所要了解的，是该群体作为一个整体的某项指标或性质。典型的例子是上一节所讲的作为一个整体的某项指标或性质。典型的例子是上一节所讲的一省农民的平均收入，这个一省农民的平均收入，这个“平均收入平均收入”是一个整体性质，用是一个整体性质，用统计学的语言说，是一个总体指标。我们抽取该省一部分农民统计学的语言说，是一个总体指标。我们抽取该省一部分农民在统计学上称为样本或子样，所抽出的农民人数称为样本在统计学上称为样本或子样，所抽出的农民人数称为样本量量做调查而有关总体指标（即全省农民平均收入）的结论，做调查而有关总体指标（即全省农民平均收入）的结论，即依这一部分的情况做出。即依这一部分的情况做出。 把所有研究对象作为总体，每一研究对象作为个体，能简把所有研究对象作为总体，每一研究对象作为个体，能简明地反映调查范围及总体与个体的从属关系。在调查多种明地反映调查范围及总体与个体的从属关系。在调查多种数量指标的问题中，用全体研究对象作为总体，每一研究数量指标的问题中，用全体研究对象作为总体，每一研究对象作为个体，对应于不同个体取多维数量指标值，表达对象作为个体，对应于不同个体取多维数量指标值，表达更方便、简明和清晰。更方便、简明和清晰。 直接把所有研究对象的数量指标取值作为总体，可以强调直接把所有研究对象的数量指标取值作为总体，可以强调调查目的，而且对导出总体的分布的表述也比较自然。调查目的，而且对导出总体的分布的表述也比较自然。 在总体和个体的概念上，重点是它们之间的从属关系，而在总体和个体的概念上，重点是它们之间的从属关系，而不在于不影响这种关系的的定义方式上。很多概念不必过不在于不影响这种关系的的定义方式上。很多概念不必过度挖掘，只要学生明白其基本意义就可以，度挖掘，只要学生明白其基本意义就可以，过分强调非本过分强调非本质的表述，可能导致重点的偏离。质的表述，可能导致重点的偏离。教材的呈现教材的呈现3.提高研究教材的水平 “教教材教教材”与与“用教材教用教材教”并重。并重。 仔细分析教材编写意图：教材中的每一句话都是仔细分析教材编写意图：教材中的每一句话都是经过仔细推敲的，教材中的例题是经过反复打磨的，经过仔细推敲的，教材中的例题是经过反复打磨的，习题是经过精挑细选的。习题是经过精挑细选的。 内容顺序不应随意调整；例子不是不可以换，但内容顺序不应随意调整；例子不是不可以换，但换的时候要想清楚理由。换的时候要想清楚理由。? 教什么比怎么教更重要。教什么比怎么教更重要。这就必须深入这就必须深入研研究教材究教材特别是特别是教材的编写意图教材的编写意图。? 再就是再就是研究教材研究教材为什么为什么选取这种素材来承选取这种素材来承载教学内容载教学内容，为什么，为什么创设这种问题情境去展创设这种问题情境去展开教学开教学。 例：负数的引入例：负数的引入例：等腰三角形在轴对称之后研究例：等腰三角形在轴对称之后研究例：例：“数轴数轴”的内容解析的内容解析 数轴是初中数学的核心概念，它是数形结合思想的产物，是把数和形统数轴是初中数学的核心概念，它是数形结合思想的产物，是把数和形统一起来的第一次尝试数轴建立了直线上的点与实数的对应，是一维的坐标一起来的第一次尝试数轴建立了直线上的点与实数的对应，是一维的坐标系数轴使数的概念和运算可以与位置、方向、距离等统一起来，使数有了系数轴使数的概念和运算可以与位置、方向、距离等统一起来，使数有了直观意义这不仅有助于对数的概念的理解，而且还可以从中得到启发而提直观意义这不仅有助于对数的概念的理解，而且还可以从中得到启发而提出新的问题（例如，相反数、绝对值、大小比较等）出新的问题（例如，相反数、绝对值、大小比较等） 用数轴上的点表示实数，就是要使任意一个实数能用唯一确定的点表示，用数轴上的点表示实数，就是要使任意一个实数能用唯一确定的点表示，同时，任意一个点只能表示一个实数（这样要求的意义需要学生逐渐体会）同时，任意一个点只能表示一个实数（这样要求的意义需要学生逐渐体会）在这样的要求下，明确规定原点、方向和单位长度在这样的要求下，明确规定原点、方向和单位长度“三要素三要素”是必须而且是必须而且自然的这时，我们有自然的这时，我们有 原点原点0 0（原点是区分方向的（原点是区分方向的“基准基准”，0 0是区分正负的基准）是区分正负的基准） 单位长度单位长度1 1（单位长度是度量线段长度的单位，（单位长度是度量线段长度的单位，1 1是实数单位，是实数单位，“单位单位”实际上给出了一个统一的标准）实际上给出了一个统一的标准） 方向符号（方向符号（A A，B B两点两点“位置差别位置差别”的定量化必须且只需的定量化必须且只需“方向方向”和和“长长度度”数轴上，方向只有数轴上，方向只有“左左”“”“右右”两种，可以理解为两种，可以理解为“相反方向相反方向”负负数在数轴上与正数具有数在数轴上与正数具有“相反方向相反方向”，其实际意义就是描述现实中的，其实际意义就是描述现实中的“相反相反意义的量意义的量”确定一个实数，需要确定一个实数，需要“符号符号”和和“绝对值绝对值”两个要素，它们正两个要素，它们正好对应了定量化定义好对应了定量化定义A A，B B两点两点“位置差别位置差别”的的“方向方向”和和“长度长度”）例：例：“数轴数轴”中的三个图中的三个图 三次抽象的过程三次抽象的过程4.4.重重视概念教学概念教学概念教学的核心概念教学的核心概括概括（同（同类事物的共同本事物的共同本质特征）特征） 概括是形成和掌握概念的前提；迁移的概括是形成和掌握概念的前提；迁移的实质就是概括；概就是概括；概括是一切思括是一切思维品品质的基的基础；概括能力是思；概括能力是思维能力的基能力的基础。“举三反一三反一”与与“举一反三一反三” 举三反一三反一分化分化用典型、丰富的具体事例，分析、用典型、丰富的具体事例，分析、综合、比合、比较而概括出共同本而概括出共同本质属性；属性； 举一反三一反三类化化把共同本把共同本质属性推广到同属性推广到同类事物中。事物中。 概念教学的基本环节概念教学的基本环节概念的引入概念的引入从数学概念体系的发展过程或解决实际问从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；题的需要引入概念；概念的形成概念的形成提供提供典型丰富的具体例证，进行属性的分典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；概念的明确与表示概念的明确与表示下定义，给出准确的数学语言描述下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；（文字的、符号的）；概念的辨析概念的辨析以实例为载体分析关键词的含义（恰当使以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；用反例）；概念的巩固应用概念的巩固应用用概念作判断的具体事例，形成用概用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；念作判断的具体步骤；概念的概念的“精致精致”纳入概念系统，建立与相关概念的联纳入概念系统，建立与相关概念的联系。系。例：反比例函数概念的教学例：反比例函数概念的教学匀速运匀速运动路程固定，速度与路程固定，速度与时间的关系；商品的关系；商品总价固定，价固定，单价与商品数量的关系；价与商品数量的关系；长方形面方形面积固定，固定，长与与宽的关系；的关系；让学生概括共同本学生概括共同本质特征（函数关系，反比例关系）；特征（函数关系，反比例关系）；下定下定义给出反比例函数的文字和符号描述；出反比例函数的文字和符号描述；辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用，如使用，如让学生思考函数学生思考函数y=1/xy=1/x2 2是不是反比例函数；是不是反比例函数；例例题用概念作判断的用概念作判断的“操作步操作步骤”，强强调“自自变量量x x与相与相应的函数的函数值y y是否成反比例关系是否成反比例关系”，可以用反例，可以用反例让学生分析，学生分析，使学生使学生进一步明确一步明确“求反比例函数求反比例函数”的含的含义；通通过与一般函数概念、正比例函数概念等比与一般函数概念、正比例函数概念等比较，进一步明一步明确反比例函数反映了确反比例函数反映了“一一类事物事物”的的变化化规律，使学生逐步律，使学生逐步学会用反比例函数刻画事物的学会用反比例函数刻画事物的变化化规律。律。关于概念教学的一些要求关于概念教学的一些要求（1 1）采取）采取“归纳式归纳式”进行概念教学，让学生经历概进行概念教学，让学生经历概 念的概括过程；念的概括过程；（2 2）正确、充分地提供概念的变式；）正确、充分地提供概念的变式；（3 3）适当应用反例；）适当应用反例；（4 4）在概念的系统中学习概念，建立概念的）在概念的系统中学习概念，建立概念的“多元多元 联系表示联系表示”；（5 5）精心设计练习，巩固应用概念。）精心设计练习，巩固应用概念。 加加强强数学教学的思想性，是体数学教学的思想性，是体现数学的育人价数学的育人价值的的需要，也是教改需要，也是教改对教学的整体要求，同教学的整体要求，同时有利于学生形有利于学生形成成对数学的整体性数学的整体性认识。不要把数学教学不要把数学教学蜕化化为“解解题教学教学”。提高思想性的做法提高思想性的做法 加加强强“先行先行组织者者”的使用的使用, ,加加强强研究方法的指研究方法的指导。 加加强强过程性。教学内容的呈程性。教学内容的呈现要体要体现数学思数学思维规律，律，引引导学生学生积极探索，通极探索，通过“观察、察、实验、比、比较、归纳、猜、猜想、推理、反思想、推理、反思”等理性思等理性思维活活动，展示数学概念、，展示数学概念、结论的形成的形成过程，促使学生程，促使学生领悟数学的本悟数学的本质，提高学生的数，提高学生的数学思学思维能力。能力。5. 加强研究方法的引导，提高课堂教学的思想性加强研究方法的引导，提高课堂教学的思想性例：如何研究平行四例：如何研究平行四边形形研究的研究的问题 一般四一般四边形：形：组成元素、度量（内角和等成元素、度量（内角和等问题）；）； 特殊四特殊四边形：从形：从边的特殊性和角的特殊性入手；的特殊性和角的特殊性入手； 边的特殊的特殊平行四平行四边形：性形：性质和判定；和判定；“性性质”研究的是在研究的是在“平行平行四四边形形”的条件下，它的的条件下，它的组成元素有什么普遍成元素有什么普遍规律，如律，如边的大小关系、的大小关系、内角的关系、内角的关系、对角角线的关系等；的关系等；“判定判定”研究的是具研究的是具备什么条件的四什么条件的四边形才是平行四形才是平行四边形；其他度量形；其他度量问题； 角的特殊角的特殊矩形，矩形，边的特殊的特殊菱形，菱形，边角都特殊角都特殊正方形，正方形，都要研究性都要研究性质和判定。和判定。研究的方法研究的方法 化化归为三角形、平行三角形、平行线等已有知等已有知识。 特殊的平行四特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形：矩形直角直角三角形；菱形三角形；菱形等腰三角形。等腰三角形。 例：类比的研究问题例：类比的研究问题函数的研究函数的研究 正比例函数正比例函数一次函数一次函数二次函数二次函数反比例函数反比例函数概念概念体现概念教学的一般过程体现概念教学的一般过程研究内容研究内容：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性研究方法：研究方法：画函数图象，观察归纳，数形结合等。画函数图象，观察归纳，数形结合等。相关的问题：相关的问题：图象与坐标轴的交点、何时函数值大图象与坐标轴的交点、何时函数值大 于零或小于零等。于零或小于零等。函数性质的讨论函数性质的讨论三步曲三步曲 观察图象观察图象 ，描述变化规律，描述变化规律 （上升、下降）（上升、下降） 结合图、表，用自然语言描述变化规律（结合图、表，用自然语言描述变化规律（y随随x的增大而增的增大而增大或减小）大或减小） 用数学符号语言描述变化规律用数学符号语言描述变化规律反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质先行组织者的应用先行组织者的应用通常的做法：回顾正比例函数的图象和性质，并列出表格，通常的做法：回顾正比例函数的图象和性质，并列出表格，列出解析式、形状、位置、图象趋势、增减性等，接下来列出解析式、形状、位置、图象趋势、增减性等，接下来类比这些内容研究反比例函数的图象和性质。类比这些内容研究反比例函数的图象和性质。 先行组织者策略：要研究反比例函数的图象与性质，首先先行组织者策略：要研究反比例函数的图象与性质，首先思考我们研究过哪些函数的图象和性质？是怎么研究的？思考我们研究过哪些函数的图象和性质？是怎么研究的？要研究那些问题？研究的方法是什么？要研究那些问题？研究的方法是什么？ 例：平方差公式例：平方差公式公式教学的一般过程公式教学的一般过程 一般到特殊的思想方法一般到特殊的思想方法 探究探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） ； （2） ； （3） 上面的几个运算都是形如（上面的几个运算都是形如（ab）的多项式与形如（）的多项式与形如（ab）的多项式相乘，）的多项式相乘，由于由于 因此，对于具有与此相同形式的多项式相乘，因此，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即我们可以直接写出运算结果，即 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差这个公式叫做（乘法的）于这两个数的平方差这个公式叫做（乘法的）平方差公式平方差公式 平方差公式是多项平方差公式是多项式乘法式乘法（ab）（）（mn）中中ma，nb的的特殊情形特殊情形 注意教材中蕴含的数学基本思想注意教材中蕴含的数学基本思想在课程内容和教材中，数学基本思想其在课程内容和教材中，数学基本思想其实是很丰富的，这些思想常常处于潜形实是很丰富的，这些思想常常处于潜形态，教师要成为有心人态，教师要成为有心人何为数学基本思想？何为数学基本思想？数学基本思想是指对数学及其对象、数学概数学基本思想是指对数学及其对象、数学概念和数学结构以及数学方法的本质性认识念和数学结构以及数学方法的本质性认识数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中；它制约着学科发展的主线和逻辑的过程中；它制约着学科发展的主线和逻辑架构；是数学知识和方法在更高层次上的抽架构；是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。如归纳、演绎、抽象、转化、分象与概括。如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、结构、数形结合、随机类、模型、结构、数形结合、随机等。等。如何理解？如何理解？三个常用的概念：三个常用的概念： 数学思想数学思想 数学方法数学方法 数学思想方法数学思想方法 如何使如何使数学思想数学思想从潜形态从潜形态转变为显转变为显形态呢？形态呢？分类分类化归化归归纳归纳初中阶段主要的思想方法初中阶段主要的思想方法数形结合思想数形结合思想函数与方程思想函数与方程思想分类讨论思想分类讨论思想化归思想化归思想变换思想变换思想整体思想整体思想归纳类比思想归纳类比思想估算与猜想思想估算与猜想思想建模思想建模思想把新教材的教学“思想方法化”消元法消元法降次法降次法配方法配方法换元法换元法待定系数法待定系数法构造法构造法几何变换法几何变换法 基本原则基本原则渗透性渗透性反复性反复性系统性系统性明确性明确性把新教材的教学“思想方法化” 学会从学会从“数数”与与“形形”两个角度认识数学两个角度认识数学 数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。应该是形成正确的数学态度所必需要求的。 “数数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形形”就是图形、图象、曲线等就是图形、图象、曲线等数缺形时少直觉，数缺形时少直觉，形缺数时难入微形缺数时难入微数形结合思想：数形结合思想：例如，例如，若每两人握一次手，则若每两人握一次手，则3个人共握几次个人共握几次手，手，4个人共握几次手个人共握几次手， n个人共握几次个人共握几次手？手？ 用归纳的方法探索规律，如下表用归纳的方法探索规律，如下表: 人数人数 握手次数握手次数 规律规律 2 1 1 3 3 1+2 4 6 1+2+3 n 1+2+3+(n-1)A1A2A3AN对于七、八年级的学生来说，要发现对于七、八年级的学生来说，要发现“1+2+3+1+2+3+(+(n n-1)-1)”这个规律并不容易，计算这个规律并不容易，计算1+2+3+1+2+3+(+(n n-1)-1)得到得到 1/2 1/2 n n（n n -1 -1） 也有困难。也有困难。但是，如果把但是，如果把“人人”抽象成抽象成“点点”，“两人握两人握1 1次手次手”抽象成抽象成“两点之间连接一条线段两点之间连接一条线段”，那么借助图形，那么借助图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于的直观就能简明地解决问题。如图，对于n n点中的任点中的任何一个点，它与其它的（何一个点，它与其它的（n-1n-1）个点共可连接（）个点共可连接（n n - -1 1）条线段，因而）条线段，因而n n个点共可连接个点共可连接n n（n n -1 -1）条线段。）条线段。因为两点之间有且只有一条线段（线段因为两点之间有且只有一条线段（线段ABAB与线段与线段BABA是是同一条线段），所以共可连接同一条线段），所以共可连接 1/2 1/2 n n（n n -1 -1）条线段。）条线段。? 学学有三个层次：有三个层次：懂懂、会会、悟悟。仅仅要懂。仅仅要懂还不太难，要会就必须去试，还不太难，要会就必须去试，程度越差越要程度越差越要去试去试。用懂了的东西解决问题，这是一个飞。用懂了的东西解决问题，这是一个飞跃。跃。悟一定要靠学生自己去完成悟一定要靠学生自己去完成，因为它是，因为它是一个思考的过程，而思考是不可替代的。更一个思考的过程，而思考是不可替代的。更何况，悟不仅是一个过程，也是一个重要的何况，悟不仅是一个过程，也是一个重要的结果。结果。有所悟，才有所获有所悟，才有所获。 某单位某单位“双职工双职工”中，男性占男职工的中，男性占男职工的三分之一三分之一，女性占女职工的，女性占女职工的二分之一二分之一。请。请问这个单位的问这个单位的“双职工双职工”占职工总数的几占职工总数的几分之几？分之几？怎么处理怎么处理？提提好问题好问题 提好提好问题问题 细节细节细节细节意味着意味着意味着意味着经验经验经验经验6 6、提好的问题，设计自然的教学过程、提好的问题，设计自然的教学过程问题引导学习问题引导学习 提好的问题，有意义、适度、恰时恰点提好的问题，有意义、适度、恰时恰点设计设计自然的过程自然的过程 体现数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数体现数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数学知识的认识过程。学知识的认识过程。核心是引导学生自己核心是引导学生自己概括出数学的本质概括出数学的本质，使学生在数学，使学生在数学学习过程中保持高水平的数学思维活动。学习过程中保持高水平的数学思维活动。案例案例 勾股定理勾股定理师师：请请同同学学们们自自己己动动手手画画两两个个直直角角三三角角形形，它它们们的的两两条条直直角角边边分分别别是是3cm、4cm；5cm、12cm。再量一下它们的斜边各是多少？再量一下它们的斜边各是多少？此此时时，学学生生议议论论纷纷纷纷，各各报报出出自自己己量量得得的的答答案：案：5cm、13.1cm、4.9cm、12.9cm师：不对！量出不是师：不对！量出不是5cm和和13cm的同学再画的同学再画一画，仔细量一量。（直到每一个学生都承一画，仔细量一量。（直到每一个学生都承认认5cm 和和13cm为止，教师硬是将自己的结为止，教师硬是将自己的结果强加给学生）。果强加给学生）。 师师：从从这这两两个个直直角角三三角角形形三三边边的的具具体体数数据据中中，你你能能发发现它们之间有什么关系吗？现它们之间有什么关系吗？生：生：此此时时，教教室室一一片片沉沉静静，学学生生不不知知从从何何想想起起，（勾勾股股定定理理是是这这么么容容易易被被发发现现的的吗吗？）教教师师陷陷入入尴尴尬尬地地步步。忽忽然然，有有一一个个学学生生举举手手要要求求发发言言，这这位位教教师师眼眼睛睛一一亮亮，赶忙叫他。赶忙叫他。师：你发现了什么？师：你发现了什么？生：老师，我发现生：老师，我发现5+4=32，12+13=52，我的结论是：，我的结论是：在直角三角形中，较长的直角边与斜边的和等于较短在直角三角形中，较长的直角边与斜边的和等于较短的直角边的平方。（的直角边的平方。（多好的发现！多好的发现！） 课堂如战场，也是瞬息即变的，常常会发生许多课堂如战场，也是瞬息即变的，常常会发生许多你意想不到，始料未及的事件。这时，教师的临你意想不到，始料未及的事件。这时，教师的临堂发挥及时应变的能力很重要。堂发挥及时应变的能力很重要。如前面案例所说明勾股定理的探究时，学生得出如前面案例所说明勾股定理的探究时，学生得出3=4+5，5=12+13；7=24+25。老师不能老师不能“慌堂慌堂”，更不能否定学生的结论。这，更不能否定学生的结论。这一是扼杀了学生的思维的积极性，甚至学习数学一是扼杀了学生的思维的积极性，甚至学习数学的热情；二是暴露了教师的功底和应变能力。的热情；二是暴露了教师的功底和应变能力。课堂生成是宝贵的资源课堂生成是宝贵的资源这时老师应该说，这时老师应该说，“很不错，你发现了很不错，你发现了小数小数的平方等于两个大数之和的平方等于两个大数之和，能进一步观察两，能进一步观察两个大数之间的关系吗？它们的差为多少？这样个大数之间的关系吗？它们的差为多少？这样必然不难得到：必然不难得到：设三角形的三边之长分别为设三角形的三边之长分别为a,b,c, 且且ab c, c-b=1。a=(b+c)1=(b+c)(c-b)=c-b，这不就是我们，这不就是我们所需要的结果吗！所需要的结果吗！这就是这就是“引导者引导者”与与“合作者合作者”的作用，既鼓的作用，既鼓励了学生，又成功地挽救励了学生，又成功地挽救“课堂课堂”，一举多得。，一举多得。这当然需要教师在教学上的聪明才智和平常的这当然需要教师在教学上的聪明才智和平常的丰厚的积淀。丰厚的积淀。 好的好的问题的关的关键是要引是要引导学生独立思考学生独立思考思思维需要合适的需要合适的问题情境；情境；让学生完成关学生完成关键的概括活的概括活动；要面向全体学生；要面向全体学生；要暴露学生的思要暴露学生的思维过程；程；独立思考需要安静的独立思考需要安静的环境和充分的境和充分的时间。例如：例如：平面直角坐标系平面直角坐标系一节时，在课上有意识地提出了三个问题：一节时，在课上有意识地提出了三个问题：（1 1）如果向东走）如果向东走3 3米记作米记作3 3，则向东走，则向东走5 5米记作米记作（2 2）如果向东走）如果向东走3 3米接着左转向北走米接着左转向北走2 2米如何标记终点与起点米如何标记终点与起点的关系？的关系？（3 3）谁能找出更多的只用数轴不能表示出位置关系的生活问题）谁能找出更多的只用数轴不能表示出位置关系的生活问题？学生通过观察思考，会提出大量属于自己的问题不但有课本？学生通过观察思考，会提出大量属于自己的问题不但有课本举例中的温度变化和找座位的问题，想确定教室内电扇、电灯、举例中的温度变化和找座位的问题，想确定教室内电扇、电灯、窗格、地板砖位置，课本中某个字的位置，生活小区中两楼之间窗格、地板砖位置，课本中某个字的位置，生活小区中两楼之间的位置等等由此可知，只要给学生提供机会，学生定会发散思的位置等等由此可知，只要给学生提供机会，学生定会发散思维，参照大量的问题，提出自己的观点，还你一个惊喜维，参照大量的问题，提出自己的观点，还你一个惊喜 例：不等式的性质的引入例：不等式的性质的引入不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发。（先行组织者）得到启发。（先行组织者）你能回忆一下等式的基本性质吗？你能回忆一下等式的基本性质吗？等式的基本性质的实质是什么？（等式的基本性质的实质是什么？（“运算中的不变性运算中的不变性”）类似的，不等式有哪些基本性质呢？类似的，不等式有哪些基本性质呢？尝试、验证、归纳。尝试、验证、归纳。例：相似三角形判定例例 “数轴数轴”的教学过程设计的教学过程设计 1 1问题情境下的三次概括问题情境下的三次概括问题问题1 1 在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东3 3和和7.5m7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西3m3m和和4.8m4.8m处分别处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境师生活动：师生活动： 学生小组讨论解决问题的方法，学生代表画图演示学生小组讨论解决问题的方法，学生代表画图演示 学生画图后提问：学生画图后提问： （1 1）马路可以用什么几何图形代表？（直线）马路可以用什么几何图形代表？（直线） （2 2）你认为站牌起什么作用？（基准点）你认为站牌起什么作用？（基准点） （3 3）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（方向，与站牌的距离）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（方向，与站牌的距离）设计意图：设计意图：“三要素三要素”为定向，用直线、点、方向、距离等几何符号为定向，用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题这是实际问题的第一次数学抽象表示实际问题这是实际问题的第一次数学抽象说明：说明：学生也可能只用与站牌的距离来表示有不同表示最好，可以学生也可能只用与站牌的距离来表示有不同表示最好，可以与下面的方法做比较，看哪个更方便与下面的方法做比较，看哪个更方便问题问题2 2 上面的问题中，上面的问题中，“东东”与与“西西”、“左左”与与“右右”都具有相反都具有相反意义我们知道，正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么意义我们知道，正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？学生画图表示后提问：学生画图表示后提问： （1 1）0 0代表什么？（基准点）代表什么？（基准点） （2 2）数的符号的实际意义是什么？（方向）数的符号的实际意义是什么？（方向） （3 3）如图，在一条直线上，）如图，在一条直线上，A A，B B的距离等于的距离等于B B，C C的距离，的距离，B B点用点用3 3表示，表示，C C点用点用7.57.5表示，行吗？为什么？（不行，单位不一致，与实际情境不表示，行吗？为什么？（不行，单位不一致，与实际情境不符）符） E D O A B CE D O A B C 4.8 4.8 3 0 1 3 7.53 0 1 3 7.5 （4 4）上述方法表示了这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系例）上述方法表示了这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系例如，如，4.84.8表示位于汽车站牌西侧表示位于汽车站牌西侧4.8 m4.8 m处的电线杆你能自己再举个处的电线杆你能自己再举个例子吗？例子吗？设计意图：设计意图：继续以继续以“三要素三要素”为定向，将点用数表示，实现第二次抽为定向，将点用数表示，实现第二次抽象，为定义数轴概念提供直观基础象，为定义数轴概念提供直观基础 问题问题3 3 大家都见过温度计吧？你能描述一下温度计的结大家都见过温度计吧？你能描述一下温度计的结构吗？比较上面的问题，你认为它用了什么数学知识？构吗？比较上面的问题，你认为它用了什么数学知识？教师可以先解释教师可以先解释0 0度的含义（冰水混合物的温度规定为度的含义（冰水混合物的温度规定为0 0度度温度的基准点）温度的基准点）设计意图：设计意图：借用生活中的常用工具，说明正数、负数的作借用生活中的常用工具，说明正数、负数的作用引导学生用用引导学生用“三要素三要素”表达，为定义数轴概念提供有表达，为定义数轴概念提供有一个直观基础一个直观基础问题问题4 4 你能说说上述两个实例的共同点吗？你能说说上述两个实例的共同点吗？设计意图：设计意图：进一步明确进一步明确“三要素三要素”的意义，体会的意义，体会“用点表用点表示数示数”和和“用数表示点用数表示点”的思想方法，为定义数轴概念提的思想方法，为定义数轴概念提供进一步的直观基础供进一步的直观基础 2 2定义、辨析数轴概念定义、辨析数轴概念明确数轴的概念，并请学生带着下列问题阅读教科书：明确数轴的概念，并请学生带着下列问题阅读教科书： （1 1）画数轴的步骤是什么？）画数轴的步骤是什么？ （2 2）根据上述实例的经验，）根据上述实例的经验，“原点原点”起什么作用？起什么作用？（“原点原点”是数轴的是数轴的“基准基准”，表示，表示0 0，是表示正数和负数的，是表示正数和负数的分界点）分界点） （3 3）你是怎么理解）你是怎么理解“选取适当的长度为单位长度选取适当的长度为单位长度”的？的？（与问题的需要相关，表示较大的数，单位长度取小一些（与问题的需要相关，表示较大的数，单位长度取小一些等）等） （4 4）数轴上，在原点的右边，离原点越远的点所表示的）数轴上，在原点的右边，离原点越远的点所表示的数数 ；在原点的左边，离原点越远的点所表示的数；在原点的左边，离原点越远的点所表示的数 （宏观看大小）（宏观看大小）设计意图：设计意图：明晰概念，并让学生在教师设计的引导问题中，明晰概念，并让学生在教师设计的引导问题中，加深对数轴概念中加深对数轴概念中“三要素三要素”的理解的理解 3 3练习、巩固概念练习、巩固概念 （1 1）课本练习）课本练习1 1，2 2； （2 2）数轴上表示）数轴上表示3 3的点在原点的哪一侧？与原点的距离是的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多少个单位长度？表示数多少个单位长度？表示数-2-2的点在原点的哪一侧？与原点的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多少个单位长度？设的距离是多少个单位长度？设a a是一个正数，对表示是一个正数，对表示a a的点的点和表示和表示a a的点进行同样的讨论的点进行同样的讨论设计意图：设计意图： 练习（练习（1 1）包括画数轴表示有理数和指出数轴上的点表示）包括画数轴表示有理数和指出数轴上的点表示的有理数，使学生进一步巩固数轴的概念，并使学生了解的有理数，使学生进一步巩固数轴的概念，并使学生了解所有的有理数都可以用数轴上的点表示所有的有理数都可以用数轴上的点表示 练习（练习（2 2）通过从特殊到一般的方法归纳出数轴上不同）通过从特殊到一般的方法归纳出数轴上不同位置（原点左右）点的特点培养学生的抽象概括（由具位置（原点左右）点的特点培养学生的抽象概括（由具体的数到字母表示的数）能力体的数到字母表示的数）能力 4 4小结、布置作业小结、布置作业教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：以下问题： （1 1）本节课学了哪些主要内容？）本节课学了哪些主要内容？ （2 2）数轴的）数轴的“三要素三要素”各指什么？它们各起什么作用？各指什么？它们各起什么作用？ （3 3）你能举出引进数轴概念的一个好处吗？）你能举出引进数轴概念的一个好处吗？设计意图：设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心本节课的核心数轴数轴“三要素三要素”，感受通过数轴把数与，感受通过数轴把数与形结合起来的好处形结合起来的好处布置作业：布置作业： 教科书练习第教科书练习第3 3题，习题题，习题1.21.2第第2 2题题7.重视学生思维能力的培养重视学生思维能力的培养 从微观上看，数学是一种活动，一种思维活动，从微观上看，数学是一种活动，一种思维活动，从微观上看，数学是一种活动，一种思维活动，从微观上看，数学是一种活动，一种思维活动，数学教育是数学思维教育，重在数学教育是数学思维教育，重在数学教育是数学思维教育，重在数学教育是数学思维教育，重在数学思维方式和数学思维方式和数学思维方式和数学思维方式和数学思维能力数学思维能力数学思维能力数学思维能力，也就是数学教育的科学价值，也就是数学教育的科学价值，也就是数学教育的科学价值，也就是数学教育的科学价值 数学思维数学思维数学思维数学思维包括：逻辑性包括：逻辑性包括：逻辑性包括：逻辑性（理性地思考、求证）（理性地思考、求证）（理性地思考、求证）（理性地思考、求证）；抽象性；抽象性；抽象性；抽象性（简洁、清晰、准确地表达）（简洁、清晰、准确地表达）（简洁、清晰、准确地表达）（简洁、清晰、准确地表达）；对事物主要的、基本的属；对事物主要的、基本的属；对事物主要的、基本的属；对事物主要的、基本的属性的准确把握。性的准确把握。性的准确把握。性的准确把握。 从宏观上看，数学是一种文化，数学教育是数从宏观上看，数学是一种文化，数学教育是数从宏观上看，数学是一种文化，数学教育是数从宏观上看，数学是一种文化，数学教育是数学文化教育，重在学文化教育，重在学文化教育，重在学文化教育，重在数学的理性精神，数学的价值数学的理性精神，数学的价值数学的理性精神，数学的价值数学的理性精神，数学的价值观、思维方式和行为规范观、思维方式和行为规范观、思维方式和行为规范观、思维方式和行为规范，理性探索精神则是数，理性探索精神则是数，理性探索精神则是数，理性探索精神则是数学文化价值的集中体现。学文化价值的集中体现。学文化价值的集中体现。学文化价值的集中体现。 四面体压成三角形 寻找三角形重心 例例:寻找四面体的重心寻找四面体的重心 线的重心连线相交于面的重心线的重心连线相交于面的重心 三角形压成线段三角形压成线段 寻找寻找线段线段重心重心面的重心连线交于体的重心面的重心连线交于体的重心 四面体四面体 三角形三角形 线段线段 重心相交重心相交四面体重心四面体重心 三角形重心三角形重心 重心相交重心相交 【2006 浙江浙江临安临安】 用一条宽相等的足用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正所示的正五边形五边形ABCDE，其中，其中BAC 度度. 图图1CDEBA图图 2 将一正方形将一正方形纸片按下列片按下列顺序折叠，然后将序折叠，然后将最后折叠的最后折叠的纸片沿虚片沿虚线剪去上方的小三角形剪去上方的小三角形将纸片展开，得到的图形是将纸片展开，得到的图形是将纸片展开，得到的图形是将纸片展开，得到的图形是（ ）（A）（B）（C）（D） 讲题要讲出思维的的层次，一般从四方讲题要讲出思维的的层次，一般从四方面去展开：面去展开：知识的迁移知识的迁移、规律的总结规律的总结、方法方法的指导的指导和和题目的变式题目的变式。 在在在在“ “变式变式变式变式” ”中培养思维的深刻性和独立性，学中培养思维的深刻性和独立性，学中培养思维的深刻性和独立性，学中培养思维的深刻性和独立性，学会会会会“ “类化类化类化类化” ”问题；在问题；在问题；在问题；在“ “多解多解多解多解” ”中培养思维的广阔性中培养思维的广阔性中培养思维的广阔性中培养思维的广阔性和灵活性，学会和灵活性，学会和灵活性，学会和灵活性，学会“ “优解优解优解优解” ”问题。问题。问题。问题。任意奇数都可以表示成两个整数的平方差任意奇数都可以表示成两个整数的平方差任意奇数都可以表示成两个整数的平方差任意奇数都可以表示成两个整数的平方差 要把数学知识带给学生，更要把要把数学知识带给学生，更要把数学的思维数学的思维方法方法特别是特别是数学大师看问题的眼光数学大师看问题的眼光带给学生带给学生请你用请你用 拼出尽可能多的图形，并在每个拼出尽可能多的图形，并在每个图形下面写一句你认为最贴切的话。图形下面写一句你认为最贴切的话。 思维重在创新。拓展思维重在创新。拓展思维重在创新。拓展思维重在创新。拓展发散思维发散思维发散思维发散思维也就特别重要也就特别重要也就特别重要也就特别重要 发散思维包括发散思维包括侧向思维侧向思维（就是从各个角度（就是从各个角度去想），包括去想），包括逆向思维逆向思维，也包括，也包括直觉思维直觉思维残疾的老鼠残疾的老鼠一团和气一团和气中学生的创意：中学生的创意：小学生的创意：小学生的创意： 如果说如果说发散思维发散思维是是“多谋多谋”，那么批判思，那么批判思维就是维就是“善断善断”。探究学习探究学习探究学习探究学习，就是要让学生，就是要让学生，就是要让学生，就是要让学生 经历经历探究过程探究过程 获取获取深层次的情感体验深层次的情感体验 建构建构知识知识、掌握、掌握解决问题的方法解决问题的方法要在要在动手动手、动脑动脑上做文章上做文章 动手体现在动手体现在“以什么方式，做什么事以什么方式，做什么事”， 动动脑体现在脑体现在“以什么状态，想什么问题以什么状态，想什么问题”培养学生的系统思维培养学生的系统思维把认识对象作为系统，从系统和要素、要把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方作用中综合地考察认识对象的一种思维方法法系统思维能极大地简化人们对事物系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维给我们带来整体观、全的认知。系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。集中表现。每一个数学概念都可看成一个小系统。每一个数学概念都可看成一个小系统。从培养系统思维的要求出发设计教学从培养系统思维的要求出发设计教学以数学知识的发生发展过程为载体，按学以数学知识的发生发展过程为载体，按学生的认知规律设计教学，使学生经历研究生的认知规律设计教学，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，提高发现和提一个数学对象的基本过程，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养认出问题、分析和解决问题的能力，培养认识和解决问题的能力。识和解决问题的能力。数学化的过程数学化的过程例例 投影与视图投影与视图对内容的认识对内容的认识中心投影、平行投影的事例随处可见，与中心投影、平行投影的事例随处可见，与投影相关的概念都与现实生活紧密相关。投影相关的概念都与现实生活紧密相关。平行投影是三视图的学习基础。平行投影是三视图的学习基础。投影与视图涉及立体图形与平面图形间的投影与视图涉及立体图形与平面图形间的转化，要利用直观感知、动手操作等学习转化，要利用直观感知、动手操作等学习方式，是培养空间观念的好载体。方式，是培养空间观念的好载体。本章顺序：投影本章顺序：投影三视图三视图课题学习课题学习（制作立体模型）。（制作立体模型）。投影投影按照从一般到特殊的线索展开，重点讨论按照从一般到特殊的线索展开，重点讨论正投影问题。正投影问题。从实例引出投影的概念及其分类（平行投从实例引出投影的概念及其分类（平行投影、中心投影）；影、中心投影）；通过通过“思考思考”，引导学生比较和认识中心，引导学生比较和认识中心投影与平行投影的投影线的区别，以及平投影与平行投影的投影线的区别，以及平行投影中行投影中“斜投影斜投影”与与“正投影正投影”的区别，的区别，进而给出正投影的概念；进而给出正投影的概念；再通过再通过“探究探究”，借助生活经验，讨论正，借助生活经验，讨论正投影中基本而重要的线段、正方形的投影投影中基本而重要的线段、正方形的投影问题：问题：线段与投影面的位置关系（有且只有平行、线段与投影面的位置关系（有且只有平行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下线段倾斜和垂直三种），不同位置关系下线段的正投影的形状、线段与其正投影的大小的正投影的形状、线段与其正投影的大小关系：关系：正方形与投影面的位置关系（有且只有平正方形与投影面的位置关系（有且只有平行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下正方形的正投影的形状、正方形与其正投正方形的正投影的形状、正方形与其正投影的大小关系；影的大小关系；在此基础上，归纳出正投影的一般规律。在此基础上，归纳出正投影的一般规律。编写思路：从生活实例中抽象出投影的概编写思路：从生活实例中抽象出投影的概念念投影的分类（以投影线的位置关系投影的分类（以投影线的位置关系为分类标准）为分类标准）特殊的投影（正投影）特殊的投影（正投影）的概念和性质。的概念和性质。在正投影性质的讨论中，一是关注了简单在正投影性质的讨论中，一是关注了简单但基本而重要的问题，即线段、正方形的但基本而重要的问题，即线段、正方形的正投影（其实就是线、面的正投影问题的正投影（其实就是线、面的正投影问题的代表）；二是根据线、面与投影面的不同代表）；二是根据线、面与投影面的不同位置讨论它们之间的形状、大小关系（要位置讨论它们之间的形状、大小关系（要素之间的相互关系就是性质）。素之间的相互关系就是性质）。三视图三视图包括三视图的概念、画立体图形（实物）包括三视图的概念、画立体图形（实物）的三视图、由三视图想象立体图形（实物）的三视图、由三视图想象立体图形（实物）以及利用三视图知识解决度量问题。立体以及利用三视图知识解决度量问题。立体图形限制在直棱柱、圆柱、圆锥、球或它图形限制在直棱柱、圆柱、圆锥、球或它们的组合。们的组合。本节是本节是“投影投影”知识的应用，先借助生活知识的应用，先借助生活实例介绍视图的概念，这里实例介绍视图的概念，这里“从某一方向从某一方向看看”相当于相当于“某一方向的平行投影线某一方向的平行投影线”，因此看到的平面图形是物体在这个方向光因此看到的平面图形是物体在这个方向光线下的正投影。再介绍三视图，直接指出线下的正投影。再介绍三视图，直接指出三视图的投影面是三个互相垂直的平面，三视图的投影面是三个互相垂直的平面，介绍三视图的成像原理、三视图的位置和介绍三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定，然后是度量规定，然后是5个例题，画三视图、判个例题，画三视图、判断简单物体的视图、根据视图描述简单几断简单物体的视图、根据视图描述简单几何体等。何体等。例例 相似相似对内容的认识对内容的认识初中几何，包括图形的认识、测量、运动初中几何，包括图形的认识、测量、运动或变化、性质和证明以及位置等。或变化、性质和证明以及位置等。相似是相似是“图形的变化图形的变化”的主要内容，研究的主要内容，研究的主题是图形形状之间的关系，图形的位的主题是图形形状之间的关系，图形的位似还涉及图形的位置关系，因此也是似还涉及图形的位置关系，因此也是“图图形的认识形的认识”的深化；投影与视图则是在三的深化；投影与视图则是在三维图形与二维图形的转化中，体现出维图形与二维图形的转化中，体现出“图图形的变化形的变化”。两种两种“图形的变换图形的变换”轴对称、旋转或平移变换：改变了图形的轴对称、旋转或平移变换：改变了图形的位置但不改变图形的形状和大小；位置但不改变图形的形状和大小；相似变换：改变了图形的位置和大小，图相似变换：改变了图形的位置和大小，图形的形状则保持不变。形的形状则保持不变。三角形的相似是三角形的相似是“相似相似”的核心内容。的核心内容。“相似相似”与与“全等全等”一般与特殊。一般与特殊。类比全等三角形，安排相似的内容，引导类比全等三角形，安排相似的内容，引导学生探索相似三角形的判定和性质及在实学生探索相似三角形的判定和性质及在实际测量中的应用。际测量中的应用。位似图形是一种具有特殊位置关系的相似位似图形是一种具有特殊位置关系的相似图形，可用来放大或缩小图形；在直角坐图形，可用来放大或缩小图形；在直角坐标系中研究位似，用坐标之间的关系表示标系中研究位似，用坐标之间的关系表示位似，渗透用代数方法研究几何变换的思位似，渗透用代数方法研究几何变换的思想。想。“相似相似”的内容结构的内容结构 图形的相似图形的相似通过生活实例，在学生感受相似图形的基通过生活实例，在学生感受相似图形的基础上，给出相似图形的概念，再特殊化给础上，给出相似图形的概念，再特殊化给出相似多边形概念，并从定义出发给出判出相似多边形概念，并从定义出发给出判定两个多边形相似的方法，以及相似多边定两个多边形相似的方法，以及相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质。形对应角相等、对应边成比例的性质。相似三角形相似三角形按照按照“定义定义判定判定性质性质应用应用”的顺序展开。的顺序展开。定义：相似图形的特殊化，既是判定也是定义：相似图形的特殊化，既是判定也是性质。性质。判定：类比全等三角形的判定，提出寻找判定：类比全等三角形的判定，提出寻找判定三角形相似的任务。判定三角形相似的任务。“判定定理判定定理”的构建过程的构建过程从定义出发，关键是从定义出发，关键是“对应边成比例对应边成比例”；通过旋转、平移等变换，移到通过旋转、平移等变换，移到“一个角重一个角重合、一条边平行合、一条边平行”的位置，于是的位置，于是“平行截平行截割割”成为出发点成为出发点基本事实；基本事实；特殊化：平行于三角形一边的直线截其他特殊化：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；段成比例；预备定理：平行于三角形一边的直线和其预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似；三个判定定理；三个判定定理；特殊化：相似直角三角形的判定定理。特殊化：相似直角三角形的判定定理。降低了难度但保持了相似三角形的主干内降低了难度但保持了相似三角形的主干内容，体现了公理化思想。容，体现了公理化思想。“性质定理性质定理”的构建过程的构建过程通过“思考”栏目引出问题，明确探究方向：通过“探究”栏目引导学生探究并证明相似三角形性质：例例 锐角三角函数锐角三角函数对内容的认识对内容的认识三角形是最简单而基本的封闭图形，而空三角形是最简单而基本的封闭图形，而空间的大部分基本性质都已经在三角形的几间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中得到充分体现。所以，三角形成何性质中得到充分体现。所以，三角形成为平面几何所研究的主角，就在于它既简为平面几何所研究的主角，就在于它既简单而又能充分反映空间的本质。而在三角单而又能充分反映空间的本质。而在三角形中，等腰三角形和直角三角形是最为基形中，等腰三角形和直角三角形是最为基本的。本的。定性平面几何研究的主题是定性平面几何研究的主题是“全等形全等形”和和“平行性平行性”。其中有两个核心内容，一是。其中有两个核心内容，一是三角形内角和定理，二是等腰三角形的性三角形内角和定理，二是等腰三角形的性质。质。定量平面几何中，要对不等长的两条线段、定量平面几何中，要对不等长的两条线段、不同大小的两个角区或不同大小的两个区不同大小的两个角区或不同大小的两个区域，赋予两者之间定量的比值去度量两者域，赋予两者之间定量的比值去度量两者之间的差异。这时，平行性扮演着举足轻之间的差异。这时，平行性扮演着举足轻重的重的“角色角色”，其作用是大大简化了定量，其作用是大大简化了定量几何的基础理论和基本公式。由此得到的几何的基础理论和基本公式。由此得到的是简朴好用的矩形面积公式、勾股定理和是简朴好用的矩形面积公式、勾股定理和相似三角形定理。相似三角形定理。三角学就是以这三个定理为基础，讨论三三角学就是以这三个定理为基础，讨论三角形的各种几何量（三边长、三个内角的角形的各种几何量（三边长、三个内角的度数、面积、高、外径和内径等）之间的度数、面积、高、外径和内径等）之间的函数关系，锐角三角函数则是讨论直角三函数关系，锐角三角函数则是讨论直角三角形各种几何量之间的函数关系，它为讨角形各种几何量之间的函数关系，它为讨论一般三角形奠定了基础。因此，研究直论一般三角形奠定了基础。因此，研究直角三角形的种种性质对定量平面几何有奠角三角形的种种性质对定量平面几何有奠基作用。基作用。“锐角三角函数锐角三角函数”就是在研究勾股定理、就是在研究勾股定理、相似三角形的基础上，进一步讨论直角三相似三角形的基础上，进一步讨论直角三角形的边角之间的关系，主要内容是正弦、角形的边角之间的关系，主要内容是正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，并综余弦和正切等锐角三角函数的概念，并综合运用这些知识解直角三角形合运用这些知识解直角三角形锐角三角函数的定义过程锐角三角函数的定义过程以以“比萨斜塔纠偏问题比萨斜塔纠偏问题”引入，以引入，以“对于对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，它的边角之间有什么个锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？关系呢？”提出问题，然后研究锐角的正提出问题，然后研究锐角的正弦，再给出锐角的余弦、正切。弦，再给出锐角的余弦、正切。锐角的正弦的定义锐角的正弦的定义先利用先利用“直角三角形中，直角三角形中，30角所对的边是角所对的边是斜边的一半斜边的一半”，得到，得到30角所对的边与斜边角所对的边与斜边的比值；再讨论的比值；再讨论45、 60角所对的边与斜角所对的边与斜边的比值；然后讨论一般情况：相似直角边的比值；然后讨论一般情况：相似直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，随着这个锐角的变化而变化，随着它的确随着这个锐角的变化而变化，随着它的确定而唯一确定，把定而唯一确定，把RtABC中锐角中锐角A的对边的对边与斜边的比叫做与斜边的比叫做A的正弦。的正弦。锐角三角函数概念的展开锐角三角函数概念的展开课题的引入课题的引入 从实际需要看（比萨斜塔纠偏从实际需要看（比萨斜塔纠偏问题）；从数学内部看（以往讨论了直角问题）；从数学内部看（以往讨论了直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角有没有确定的关系？）。与角有没有确定的关系？）。概念属性的归纳概念属性的归纳 例证例证1 从最熟悉的开始，从最熟悉的开始，30角所对的边与斜边的比值是角所对的边与斜边的比值是1/2 。思考：由这个结论能解决什么问题？思考：由这个结论能解决什么问题？当当A=30时，已知斜边就可求出时，已知斜边就可求出A的对的对边，反之也然。边，反之也然。例证例证2 等腰直角三角形中，锐角等腰直角三角形中，锐角A的对边与的对边与斜边的比是多少？由此能解决什么问题？斜边的比是多少？由此能解决什么问题？归纳：任意给定锐角归纳：任意给定锐角A，A的对边与斜边的对边与斜边的比值是否为一个确定的值？的比值是否为一个确定的值？概念的明确与表示概念的明确与表示 下定义，用符号表示。下定义，用符号表示。 定义的辨析定义的辨析 （1）A为为RtABC的锐角，的锐角， ABC的大小可以变化，但的大小可以变化，但A的对边与斜的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做一确定的比值与之对应，这个比值叫做A的正弦；（的正弦；（2）符号）符号sinA的理解的理解一个由一个由A唯一确定的数，例如唯一确定的数，例如sin30=1/2 ；等。；等。概念的巩固应用概念的巩固应用 已知直角三角形的边求正已知直角三角形的边求正弦值等。弦值等。概念的精致概念的精致 解直角三角形。解直角三角形。托起绿色的希望教材是重要的教学资源教材是重要的教学资源教师是教材发挥作用的关键教师是教材发挥作用的关键教材建设需要每一位教师的参与教材建设需要每一位教师的参与谢谢大家!湖北省孝感市教育科学研究院院长湖北省孝感市教育科学研究院院长 万新才万新才 特级教师特级教师 联系电话：0712-2327362(O)0712-2327362(O) 13508695099 13508695099 E-mail： xgwxcs126.com 地址：湖北孝感市交通西路湖北孝感市交通西路266266号号 邮编：432000432000