12-1 动力计算概述动力计算概述12-2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动12-3 单自由度体系在简谐荷载下的强迫振动单自由度体系在简谐荷载下的强迫振动12-4 单自由度体系在一般荷载下的强迫振动单自由度体系在一般荷载下的强迫振动12-5 多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动12-6 多自由度体系的强迫振动多自由度体系的强迫振动12-7 近似法求结构的自振频率近似法求结构的自振频率1. 动力计算的特点动力计算的特点静力荷载静力荷载动力荷载动力荷载随时间变化随时间变化；产生不可忽略惯性力产生不可忽略惯性力.(2) 动力计算的特性动力计算的特性(1) 荷载荷载例例: 风荷载、风荷载、 地震作用、车辆行驶振动地震作用、车辆行驶振动与时间相关与时间相关；考虑质量与惯性力考虑质量与惯性力.2. 动力荷载的分类动力荷载的分类(1) 周期荷载周期荷载(2) 冲击荷载冲击荷载: 如爆炸荷载、高空坠物如爆炸荷载、高空坠物(3) 随机荷载随机荷载,如如: 地震作用、风荷载地震作用、风荷载otFP(t)简谐荷载简谐荷载非简谐周期荷载非简谐周期荷载otFP(t)totrFP(t)急剧增大急剧增大totdFP(t)急剧减小急剧减小确定性荷载确定性荷载非确定性非确定性/随机荷载随机荷载荷载荷载3. 动力自由度动力自由度确定全部质量位置所需的独立参数数目确定全部质量位置所需的独立参数数目严格说严格说, 均为无限自由度均为无限自由度(1) 集中质量法集中质量法动力方程为偏微分方程动力方程为偏微分方程简化动力体系简化动力体系不不易易求求解解2个自由度个自由度a) 如何判定质点体系的动力自由度？如何判定质点体系的动力自由度？将质点处为结点，将质点处为结点，独立结点线位移数独立结点线位移数=动力自由度动力自由度例例：确定下列结构的动力自由度：确定下列结构的动力自由度 (忽略轴向变形忽略轴向变形).xy y2个自由度个自由度结论：质点数结论：质点数 不一定等于不一定等于 自由度数自由度数单自由度单自由度带刚性质量块带刚性质量块 (有尺寸有尺寸)b) 带无限刚度质量块带无限刚度质量块体系的动力自由度？体系的动力自由度？另计质量块的另计质量块的独立线独立线/ /角位移角位移数数3自由度自由度弹性地基弹性地基(2) 其它简化方法其它简化方法 a) 广义坐标法广义坐标法 如：振型分解法如：振型分解法 b) 有限单元法有限单元法1. 振动的微分方程振动的微分方程(1) 刚度法刚度法 (平衡条件平衡条件) ：无阻尼振动：无阻尼振动： Fy=0 (2) 柔度法柔度法 (计算质点计算质点m的位移的位移) ：单位力产生的位移：单位力产生的位移：惯性力：惯性力：质点位移：质点位移：m12-2-1 无无阻尼自由振动阻尼自由振动ykmymkym恢复力恢复力惯性力惯性力刚度法刚度法先求刚度系数，再列平衡方程；先求刚度系数，再列平衡方程；柔度法柔度法先求柔度系数，再求惯性力作用下的位移先求柔度系数，再求惯性力作用下的位移。柔柔度法与刚度法与刚度法的比较：度法的比较：例例12-1 (P.88)yEI l l2. 微分方程的解微分方程的解圆频率圆频率c1、c2由初始条件确定由初始条件确定已知：已知：初速度引起初速度引起初位移引起初位移引起Oy0ty(t)Oaty(t)-aOty(t)振幅振幅初始相位角初始相位角3. 自振周期自振周期：频率：频率：圆频率：圆频率：单位时间振动的次数单位时间振动的次数2 个单位时间振动的次数个单位时间振动的次数1) T计算式的几种形式：计算式的几种形式：a)b)c)d) st=W 质点沿振动方向施加质点沿振动方向施加W荷载产生的静位移荷载产生的静位移2) 自振周期自振周期/频率的特性：频率的特性： a) 只与结构自身的只与结构自身的m、k有关，与外界因素无关；有关，与外界因素无关； b) 与与m1/2 成正比，与成正比，与k1/2 成反比；成反比； c) 结构的固有特性。结构的固有特性。例例2：求刚性杆体系的自振频率。：求刚性杆体系的自振频率。2) 竖向振动：竖向振动：1) 水平振动：水平振动：例例1：例：例10-2, P.359 EI, EA l lW2mmEI= A A kl 材料介质摩擦材料介质摩擦结构结构-支承摩擦支承摩擦周围介质阻力周围介质阻力粘滞阻尼，粘滞阻尼，其它阻尼其它阻尼c：粘滞粘滞阻尼常数阻尼常数12-2-2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动阻尼来源阻尼来源阻尼种类阻尼种类粘滞阻尼体系振动微分方程：粘滞阻尼体系振动微分方程：kmyykymc = 0: 无阻尼无阻尼 (undamped)0 1: 过阻尼过阻尼 (overdamped) 阻尼比阻尼比1. 有阻尼自由振动有阻尼自由振动特征方程：特征方程：kmyykymc1) 低阻尼体系低阻尼体系 ( 1) 无振动无振动无振动无振动, 曲线参见图曲线参见图10-27,(P.369)振动微分方程：振动微分方程： 荷载圆频率荷载圆频率特解：特解：完整解：完整解：体系在静荷体系在静荷载F作用下的静位移作用下的静位移12-3-1 无无阻尼强迫振动阻尼强迫振动设设:y两部分组成两部分组成平稳阶段：平稳阶段：完整解：完整解：1) 按按 的振的振动瞬瞬态响响应(有阻尼有阻尼时将逐将逐渐消退消退)2) 按按 的振的振动平平稳响响应动力系数：动力系数：1203123|1)： 1可作静荷载可作静荷载;2)： 1 随随 / 增大而增大增大而增大;3)：| |振幅振幅 ：共振，有阻尼时振幅很大：共振，有阻尼时振幅很大;4)：| |随随 / 增大而减小增大而减小.1)2) 荷载圆频率：荷载圆频率：3)4)例例1：求钢梁在竖向简谐荷载作用下强迫振动求钢梁在竖向简谐荷载作用下强迫振动 的动力放大系数和最大正应力。的动力放大系数和最大正应力。跨中：跨中：例例12-3 (P.97)m例例2：外荷载与惯性力不重合，求：外荷载与惯性力不重合，求MA,max。 A惯性力：性力：惯性力幅性力幅值：平平稳振振动: y= yP sin( t ) yP= yst，伴生振动，很快衰减伴生振动，很快衰减平稳振动平稳振动动力系数动力系数12-3-2 有有阻尼强迫振动阻尼强迫振动 0 T/2, =2, t=T/2时, y=ymax , 发生于生于阶段段I 和和 ymax取决于取决于荷载持续时间荷载持续时间u0.51/612100, t0P0 , 0 t uP(t)=b) 若若u Y1 鞭梢效应鞭梢效应m1y2(t)m2y1(t)-m2 y2-m1 y1(a)2. 柔度法柔度法计算体系在算体系在 m1、m2处由由惯性力性力 (视作静力作静力)产生的位移生的位移.1(b)m1m2 21 111 22 12m1m2Y1Y22m1Y12m2Y2(c)m1m2设解设解:位移幅值位移幅值(主振型主振型)为惯性力幅值作用引起的静位移为惯性力幅值作用引起的静位移非零解非零解频率频率(特征特征)方程方程振型方程振型方程关于关于 =1/ 2的二次方程的二次方程例例：求自振频率和振型：求自振频率和振型a) 图乘法计算图乘法计算 ij :b) 频率方程求频率方程求 i , i : c) 振型方程求振型方程求Y(i):mm2 21 1M1, M2图等见图等见P.1101. 刚度法刚度法 1) 振动微分方程振动微分方程矩阵形式矩阵形式: 12-5-2 n自由度体系动力特性自由度体系动力特性2) 方程解答方程解答n个自振圆频率个自振圆频率 :n 个主振型个主振型:设设:频率频率(特征特征)方程方程振型振型(位移幅值位移幅值)向量向量非零解非零解振型方程振型方程3) 主振型的标准化主振型的标准化 a) 设其中一元素设其中一元素 Y(i)=1; b) 令振型向量满足令振型向量满足: Y(i)TMY(i) = 1.2. 柔度法柔度法 1) 运动微分方程矩阵形式运动微分方程矩阵形式: 2) 解答解答 (I 2 M)Y=0 or ( M I)Y=0 振型方程振型方程 M I =0, =1/ 2 频率方程频率方程3. 两种方法的联系两种方法的联系 (K 2 M)Y=0, =K 1第第1、2、3层的层间柔度系数：层的层间柔度系数： 、3 、5 . i 层间柔度层间柔度例例: 求柔度系数求柔度系数1. 主振型的正交性主振型的正交性 1) 两自由度体系两自由度体系 是由惯性力幅值是由惯性力幅值 引起的静位移。引起的静位移。由功的互等定理：由功的互等定理：状态状态I:m1m212m1Y1112m2Y21Y21Y11状态状态II:m1m2Y12Y2222m2Y2222m1Y1212-5-3 主振型的正交性主振型的正交性若若 1 2 :2) n个自由度体系：个自由度体系：证明：证明：两振型关于两振型关于M阵正交阵正交第第1正交性正交性KT= K, MT= M 广义质量：广义质量：广义刚度：广义刚度：3) 振型正交性的应用振型正交性的应用a)判断主振型的形状判断主振型的形状;b)建立振型正则（广义）坐标与位移向量间的关系建立振型正则（广义）坐标与位移向量间的关系.关于关于M阵正交阵正交第第1正交性正交性关于关于K阵正交阵正交第第2正交性正交性单自由度的推广单自由度的推广2. 主振型矩阵主振型矩阵由振型正交性：由振型正交性：广义质量矩阵广义质量矩阵广义刚度矩阵广义刚度矩阵FP2(t)12m1m2FP1(t)y2(t)y1(t)1. 柔度法柔度法(1) 微分方程微分方程12-6 多自由度体系的强迫振动多自由度体系的强迫振动12-6-1 简谐荷载下的强迫振动简谐荷载下的强迫振动y1(t)=Y1sin ty2(t)=Y2sin t 代回原方程代回原方程(2) 设解答：设解答：当当 = 1 or 2 , D0=0, 出现共振出现共振. 简简谐谐荷荷载载下下，位位移移、惯惯性性力力和和外外荷荷载载均均按荷载频率按荷载频率 变化，变化，故故, FP2(t)12m1m2FP1(t)y2(t)y1(t)(3) 动内力幅值动内力幅值惯性力幅值惯性力幅值:例例12-7 ( P.115)：求梁的最大动力位移和动弯矩：求梁的最大动力位移和动弯矩.2. 刚度法刚度法 1) 两两自由度体系自由度体系i) 振动微分方程振动微分方程代入方程代入方程令令FP2(t)m1m2FP1(t)y2(t)y1(t)当当 = 1 或或 2 时时, D0=0, 共共振振.ii) 方程解答方程解答m1k1FPsintm2k2例例12-8 (P.118)：求求Y1、Y2与与关系曲线关系曲线体系特征体系特征(频率频率)方程：方程：于是于是, 若若m1=m2=m， k1=k2=k， 则则当当 = 1 或或 = 2 时，时，Y1、Y2 ，共共振。振。m1k1FPsin t(a)(b)m2k2m1k1FPsin t讨论讨论:动力吸振器动力吸振器 (TMD: Tuned Mass Damper)当当 =0.7 1 时，时，2) n自由度体系自由度体系设设:因因 , Y 可被直接确定；可被直接确定； 如果如果 D0=0, 即即 = , 那么那么 Y； 当荷载频率当荷载频率 = i (i=1, 2, , n)时时, 发生共振。发生共振。对对n自由度体系，有自由度体系，有n种可能共振种可能共振利用广义坐标转换利用广义坐标转换:采用采用振型分解法振型分解法预乘以预乘以YT广义荷载向量广义荷载向量K: 非对角矩阵非对角矩阵 -耦合方程组耦合方程组主振型的线性组合主振型的线性组合解耦方程解耦方程12-6-2 一般荷载下的强迫振动一般荷载下的强迫振动对单自由度体系利用对单自由度体系利用 Duhamel 积分积分:如果初始值如果初始值y0、v00，那么，那么,最终位移最终位移:1) 求出求出1、2，Y (1)、 Y (2);2) 设 y(t)=Y (t);3) 求求 M*；4) 求求F(t)=Y TFP(t);5) 求得求得1(t)、2(t);6) 求得求得 y1(t)、y2(t);7) 求得求得 M1(t)、M2(t).mm12FP1(t)例例12-9 ( P.120):1. 能量法求第一频率能量法求第一频率无阻尼体系自振：无阻尼体系自振：以梁为例：设位移以梁为例：设位移弯曲应变能：弯曲应变能：动能：动能：又有集中质量又有集中质量 mi设定的位移幅值函数设定的位移幅值函数Y(x)需满足位移边界条件需满足位移边界条件, , 常用于求基频常用于求基频. . 常常取取结构构在在某某一一静静载q(x) (如如自自重重)下下的的弹性性曲曲线作作为Y(x)，此此时Umax可由外力可由外力q(x)作的功代替，即：作的功代替，即：自重作用自重作用2) 设设Y(x)为均载均载q下的挠度下的挠度: :3) 设设Y(x)为正弦曲线正弦曲线: :例例 12-10 求求 简简 支支 梁梁 的的 1 (P.123)该该为为1的精确解的精确解【解解】： 1) 设设Y(x)为二次抛物线：二次抛物线：2. 集中质量法集中质量法无限自由度体系无限自由度体系 有限自由度有限自由度简化简化集中质量：各分段质量按静力等效集中到两端。集中质量：各分段质量按静力等效集中到两端。例例12-11 求简支梁求简支梁。(P.124)1) 梁分二等分梁分二等分一个自由度一个自由度(a)(b)(c)l三等分三等分2个自由度个自由度四等分四等分3个自由度个自由度1) 反对称振型反对称振型对应对应1例例2 2 求对称刚架的求对称刚架的. .(P.125)ABCD2ll2) 正正对称振型对称振型对应对应2质量集中于振幅极值处质量集中于振幅极值处2llEIEI4EI2ll下次课堂讨论：下次课堂讨论：1.1.图图示示刚刚架架，如如何何分分别别用用刚刚度度法法和和柔柔度度法法求求其其自自振振频频率率和和主主振型？振型？如果如果AB杆中作用有动荷载，如何列振动微分方程？杆中作用有动荷载，如何列振动微分方程？3. 3. 多多自自由由度度体体系系在在什什么么情情况况下下只只按按某某个个特特定定的的振振型型自自由由振振动动或强迫振动？试举例说明。或强迫振动？试举例说明。4. 4. 对对称称结结构构的的自自振振频频率率和和主主振振型型有有何何特特点点？如如何何利利用用对对称称性性简化计算？试举例说明。简化计算？试举例说明。5. 5. 用用能能量量法法近近似似求求结结构构的的自自振振频频率率，所所设设的的位位移移函函数数应应满满足足什么条件？如何设定该位移函数？以习题什么条件？如何设定该位移函数？以习题12-23b12-23b说明。说明。2.两两自自由由度度体体系系各各质质点点的的位位移移动动力力系系数数和和内内力力动动力力系系数数是是否否相相同同？试试举举例例加加以说明。以说明。BCEI1= , m, lEI, lAF(t)