均值的比较检验均值的比较检验 - 推断样本与总体或者两个总体之间的差别能否显著相关相关实例例n n在企在企业业市市场场构造的研构造的研讨讨中，起关中，起关键键作用的目的有作用的目的有市市场场分分额额、企、企业规业规模、模、资资本收益率、本收益率、总总收益增收益增长长率等。率等。为为了研了研讨讨市市场场构造的构造的变动变动，研，研讨讨人人员员通常通常需求将需求将调查调查所得的数据与所得的数据与历历史数据史数据进进展比展比较较。经经过过均均值值比比较检验较检验，就能比，就能比较较出如今的市出如今的市场场构造与构造与过过去能否存在去能否存在显显著性差著性差别别。n n在在临临床上，医生需求床上，医生需求对对病人治病人治疗疗前后的情况前后的情况进进展展控制。例如控制。例如经过对经过对比一比一组组病人运用某种病人运用某种药药物后的物后的身体目的，可以判身体目的，可以判别该药别该药物物对对病人能否有效，效病人能否有效，效果能否果能否显显著。著。本章构造本章构造单一样本的均值检验单一样本的均值检验独立样本的均值检验独立样本的均值检验配对样本的均值检验配对样本的均值检验均均值值的比的比较检验较检验单一样本均值的检验单一样本均值的检验 -检验样本所在总体的均值与给定的知值之间能否存在显著性差别 单一一样本均本均值的的检验n n只只只只对单对单一一一一变变量的均量的均量的均量的均值值加以加以加以加以检验检验n n如如如如检验检验今年新生的今年新生的今年新生的今年新生的统计统计学平均成果能否和往年有学平均成果能否和往年有学平均成果能否和往年有学平均成果能否和往年有显显著差著差著差著差别别；推断某地域今年的人均收入与往年的人均收入能否有推断某地域今年的人均收入与往年的人均收入能否有推断某地域今年的人均收入与往年的人均收入能否有推断某地域今年的人均收入与往年的人均收入能否有显显著著著著差差差差别别等等。等等。等等。等等。 n n要求要求要求要求样样本数据来自于服从正本数据来自于服从正本数据来自于服从正本数据来自于服从正态态分布的分布的分布的分布的单单一一一一总总体体体体n n假假假假设设的根本方式：的根本方式：的根本方式：的根本方式：n n n n 当然也可以有当然也可以有当然也可以有当然也可以有单侧检验单侧检验的假的假的假的假设设方式。方式。方式。方式。 根本步根本步骤n n提出假提出假提出假提出假设设n n确定确定确定确定检验统计检验统计量量量量n n假假假假设总设总体方差知，此体方差知，此体方差知，此体方差知，此时时可构造可构造可构造可构造规规范正范正范正范正态态分布分布分布分布Z Z检验统计检验统计量量量量 n n通常通常通常通常总总体方差都是未知的，此体方差都是未知的，此体方差都是未知的，此体方差都是未知的，此时总时总体方差由体方差由体方差由体方差由样样本方差替代，采本方差替代，采本方差替代，采本方差替代，采用用用用t t分布构造分布构造分布构造分布构造t t检验统计检验统计量量量量 n n 其中其中其中其中S S为样为样本本本本规规范差，定范差，定范差，定范差，定义为义为 n n做出做出做出做出统计统计推断推断推断推断留意留意n n在SPSS中，给出的是总体方差未知时的t检验统计量，由于通常总体方差是未知的。例例题分析分析n n以学生的身高以学生的身高为为例，知某年例，知某年级级1515个学生的身高数个学生的身高数据，如表所示，据，如表所示，检验检验其平均身高能否与整个年其平均身高能否与整个年级级的平均身高的平均身高165cm165cm一一样样 序号序号序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212131314141515身高身高身高身高175175174174168168173173164164169169170170166166158158165165156156152152156156168168160160答案答案n n提出假提出假提出假提出假设设：n n确定确定确定确定检验统计检验统计量：由于量：由于量：由于量：由于总总体方差未知，因此采用体方差未知，因此采用体方差未知，因此采用体方差未知，因此采用t t检验统计检验统计量量量量n n经计经计算得：算得：算得：算得：n n =164.93 =164.93，S=7.126S=7.126，df=15-1=14df=15-1=14，那么，那么，那么，那么n n该该例例例例为为双双双双侧检验侧检验，显显著性程度著性程度著性程度著性程度=0.05=0.05，查查t t 分布表可得分布表可得分布表可得分布表可得临临界界界界值值 。 ，阐阐明明明明t t 值值落在接受区域内，即原假落在接受区域内，即原假落在接受区域内，即原假落在接受区域内，即原假设设与与与与样样本本本本描画的情况无描画的情况无描画的情况无描画的情况无显显著差著差著差著差别别，不能回，不能回，不能回，不能回绝绝原假原假原假原假设设。因此可以得出。因此可以得出。因此可以得出。因此可以得出结结论论：1515个学生的平均身高与整个年个学生的平均身高与整个年个学生的平均身高与整个年个学生的平均身高与整个年级级的平均身高无的平均身高无的平均身高无的平均身高无显显著差著差著差著差别别。 注：注：t 分布的分布的临界界值可用函数可用函数“=T.INV.2T(0.05,14)输出。出。SPSS运用运用n n操作步操作步骤骤n n按照按照顺顺序：序：Analyze Compare Means One-Sample Analyze Compare Means One-Sample T TestT Test，进进入入单单一一样样本本T T检验检验 “One-Sample T Test “One-Sample T Test对对话话框中，将左框中，将左侧侧“ “身高身高变变量量选选入到入到检验变检验变量量“Text “Text VariablesVariables框中。右下角框中。右下角检验值检验值“Test Value“Test Value框用于框用于输输入知的入知的总总体均体均值值，默，默许值为许值为0 0，在本例中，在本例中为为“165“165。如下如下图图 n n输输出出出出结结果果果果1 1n n结结果解果解释释：n n此表此表给给出了出了单单一一样样本均本均值检验值检验的描画性的描画性统计统计量，量，包括均包括均值值、规规范差和均范差和均值规值规范范误误差。身高的均差。身高的均值值为为164.93164.93，接近，接近总总体均体均值值165165，但，但还还不能就此下不能就此下结结论论。n n其中，其中，规规范范误误差的公式差的公式为为： NMeanStd. DeviationStd. Error Mean身高15164.937.1261.840One-Sample Statistics n n输输出出结结果果2 2One-Sample Test Test Value = 165 tdfSig. (2-tailed)Mean Difference95% Confidence Interval of the Difference LowerUpper身高 -.03614.972-.07-4.013.88n n结结果解果解释释n n此表是此表是单单一一样样本均本均值检验值检验的的结结果列表，果列表，给给出了出了t t统统计计量、自在度、双尾概率、量、自在度、双尾概率、显显著程度及置信区著程度及置信区间间。双尾概率双尾概率P=0.9720.05P=0.9720.05，故不能回，故不能回绝绝原假原假设设，以，以为为1515个学生的平均身高与整个年个学生的平均身高与整个年级级的平均身高的平均身高165165无无显显著性差著性差别别。 注：也可用注：也可用Excel中的函数中的函数“=T.DIST.2T(0.036,14)输出出P值。独立样本均值的检验独立样本均值的检验 -比较两个独立没有关联的正态总体的均值能否有显著性差别独立独立样本均本均值的的检验n n独立独立样样本的均本的均值值能否相等的能否相等的显显著性著性检验检验检验检验，本，本质质是是总总体均体均值值n n如分析两个地域居民的人均收入、人均消如分析两个地域居民的人均收入、人均消费费等目的等目的能否存在能否存在显显著性差著性差别别；男生与女生的身高；男生与女生的身高 能否存能否存在在显显著性差著性差别别；两个行；两个行业业的股指收益率能否有的股指收益率能否有显显著著性差性差别别。 n n要求两个要求两个样样本来自的本来自的总总体体为为正正态态分布，且相互独立分布，且相互独立n n假假设设两两总总体相互独立，那么分体相互独立，那么分别别从两从两总总体得到的体得到的样样本也相互独立。本也相互独立。n n由于要由于要检验检验两两总总体的均体的均值值能否相等，需求能否相等，需求经过样经过样本本进进展展检验检验，所以称，所以称为为独立独立样样本的均本的均值检验值检验。 检验步步骤n n提出假设n n确定检验统计量n n需求分为总体方差 、 能否知两种情况进展讨论 n n做出统计推断检验统计量量1n n假设总体方差 知，可构造规范正态分布Z检验统计量 检验统计量量2n n假设总体方差 未知，可构造t检验统计量n n当 时，构造的t检验统计量为：n n 式中， ， 、 分别为两样本 规范差。检验统计量量3n n当当 时时，构造的，构造的t t检验统计检验统计量量为为：n n检验统计检验统计量仍服从量仍服从t t分布，其修正的自在度分布，其修正的自在度为为：留意留意n n在统计分析中，假设两个总体的方差相等，那么称之为满足方差齐性。n n确定两个独立样本的方差能否相等，是构造和选择检验统计量的关键，因此在决议要用哪一个t 统计量公式前，必需进展方差齐性的检验。n nSPSS中利用Levene F方差齐性检验方法检验两个独立总体的方差能否存在显著性差别。 方差方差齐性的性的检验步步骤n n提出假提出假设设n n确定确定检验统计检验统计量量n n采用的是采用的是F F检验统计检验统计量量n n做出做出统计统计推断推断n n回回绝绝域域为为：例例题分析分析n n仍以学生的身高仍以学生的身高为为例，比例，比较较男生和女生的平均身男生和女生的平均身高能否相等。高能否相等。男生男生12345678身高175174168164173169170166女生女生1234567身高158165156152156160168n n第一步，第一步，进进展方差展方差齐齐性性检验检验n n知：知：n1=8n1=8，n2=7n2=7。经计经计算算: :n n于是，于是，检验统计检验统计量量F F的的值为值为：n n取取显显著性程度著性程度=0.05=0.05，查查F F分布表得分布表得临临界界值为值为n n阐阐明明F F值值落在接受区域内，即不能回落在接受区域内，即不能回绝绝原假原假设设，以，以为为男生的身高的方差与女生的身高的方差无男生的身高的方差与女生的身高的方差无显显著差著差别别。，注：左注：左侧临界界值可由函数可由函数“=F.INV.RT(0.975,7,6)输出，右出，右侧临 界界值可由函数可由函数“=F.INV.RT(0.025,7,6)输出出n n第二步，在方差第二步，在方差齐齐性的假定下，性的假定下，进进展均展均值值的比的比较检验较检验n n此此时时，n n取取显显著性程度著性程度=0.05=0.05，进进展双展双侧检验侧检验，查查t t分布表可得分布表可得临临界界值值 。 ，阐阐明明t t值值落落在回在回绝绝区域内，区域内，应该应该回回绝绝原假原假设设。因此可以得出。因此可以得出结论结论：男生和女生的平均身高有男生和女生的平均身高有显显著差著差别别。 SPSS运用运用n n操作步操作步骤骤1 1n n按照按照顺顺序：序：Analyze Compare Means Analyze Compare Means Independent-Samples T TestIndependent-Samples T Test，进进入独立入独立样样本本T T检验检验 “Independent-Samples T Test“Independent-Samples T Test对话对话框中，将左框中，将左侧侧“ “身高身高变变量量选选入到入到检验变检验变量量“Text Variables“Text Variables框中，框中，再将分再将分类变类变量量“ “性性别别选选入分入分组变组变量量“Grouping “Grouping VariableVariable框中。框中。 n n操作步骤2n n单击定义组别“Define Groups按钮，弹出“Define Groups对话框，如下图，分别为组1和组2输入0，1。留意：在留意：在SPSS的数据文件中，事先需求的数据文件中，事先需求产生生“性性别这 一一类别变量，并定量，并定义好其取好其取值“0和和“1.n n输输出出结结果果1 1 性别NMeanStd. DeviationStd. Error Mean身高07159.295.5592.101 18169.883.9071.381Group Statistics n n结结果解果解释释n n此表此表给给出了独立出了独立样样本均本均值检验值检验的描画性的描画性统计统计量，包括量，包括两个两个样样本的均本的均值值、规规范差和均范差和均值规值规范范误误差。从表中可差。从表中可以看出，男生的平均身高以看出，男生的平均身高为为169.88169.88，女生的平均身高，女生的平均身高为为159.29159.29，两者之，两者之间间存在一定差距。但存在一定差距。但还还需需进进一步一步检检验验后再做决策。后再做决策。 n n输输出出结结果果2 2 Levenes Test for Equality of Variancest-test for Equality of Means FSig.tdfSig. (2-tailed)MeanDifferenceStd. Error Difference95% Confidence Interval of the DifferenceLowerUpper身身高高Equal variancesassumed.843.375-4.31513.001-10.592.454-15.891-5.287 Equal variances not assumed -4.21110.609.002-10.592.515-16.149-5.030Independent Samples Test n n结结果解果解释释n n对对于方差于方差齐齐性性检验检验，其，其p p值为值为0.3750.050.3750.05，所以不能回，所以不能回绝绝原假原假设设，即以，即以为为两两样样本来自的本来自的总总体的方差相等。体的方差相等。n n对对于均于均值值的的检验检验，应应在方差在方差齐齐性假定下性假定下进进展。其展。其对应对应的的p p值为值为0.0010.050.0010.05，所以回，所以回绝绝原假原假设设，以，以为为男生和女男生和女生的平均身高有生的平均身高有显显著性差著性差别别。配对样本均值的检验配对样本均值的检验 -比较两个配对总体的均值能否有显著性差别什么是配什么是配对样本本n n指不同的均值来自具有配对关系的不同样本，此时样本之间具有相关关系，配对样本的两个样本值之间的配对是一一对应的，并且两个样本具有一样的容量。 n n如，一组病人治疗前和治疗后身体的目的；一个年级学生的期中成果和期末成果等等。 配配对样本的数据方式本的数据方式察看序号察看序号察看序号察看序号样本样本样本样本1 1 1 1样本样本样本样本2 2 2 2差值差值差值差值1x 1y 1D1 = x 1- y 12x 2y 2D2 = x2 - y 2M MM MM MM Mix iy iDi = xi - y iM MM MM MM Mnx ny nDn= xn- y n根本思想根本思想n n配配对样对样本均本均值值的的检验检验就是根据两个配就是根据两个配对样对样本，推断本，推断两个两个总总体的均体的均值值能否存在能否存在显显著性差著性差别别。n n其根本思想是：先求出每其根本思想是：先求出每对对配配对样对样本的本的观测值观测值之差，之差，构成一个新的构成一个新的单样单样本，再本，再对对差差值值求均求均值值，检验检验差差值值的均的均值值能否能否为为0 0。n n假假设设两个两个样样本的均本的均值值没有没有显显著性差著性差别别，那么，那么样样本之本之差的均差的均值值就接近就接近为为0 0，这类这类似于似于单单一一样样本均本均值值的的检检验验。n n配配对样对样本均本均值值的的检验检验也叫作配也叫作配对样对样本的本的检验检验Paired-Samples T TestPaired-Samples T Test。检验步步骤n n提出假设n n确定检验统计量n n做出统计推断检验统计量量n n配配对样对样本均本均值检验值检验要求两个要求两个样样本的差本的差值值服从正服从正态态分布。分布。n n总总体差体差值值DD服从正服从正态态分布，分布， 为总为总体差体差值值的均的均值值。 n nt t检验统计检验统计量量为为：n n式中，式中，S S为样为样本差本差值值的的规规范差，定范差，定义为义为： 。n n 一个以减肥一个以减肥一个以减肥一个以减肥为为为为主要目的的健美俱主要目的的健美俱主要目的的健美俱主要目的的健美俱乐乐乐乐部声称，参与其部声称，参与其部声称，参与其部声称，参与其n n 训练训练训练训练班至少可以使减肥者平均体重减重班至少可以使减肥者平均体重减重班至少可以使减肥者平均体重减重班至少可以使减肥者平均体重减重8.5kg8.5kg以上。以上。以上。以上。n n 为为为为了了了了验证该验证该验证该验证该声称能否可信，声称能否可信，声称能否可信，声称能否可信，调查调查调查调查人人人人员员员员随机抽取了随机抽取了随机抽取了随机抽取了1010n n 名参与者，得到他名参与者，得到他名参与者，得到他名参与者，得到他们们们们的体重的体重的体重的体重记录记录记录记录如下表：如下表：如下表：如下表：例例题分析分析在在在在 = 0.05 = 0.05的的的的显显著性程度下，著性程度下，著性程度下，著性程度下，调查结调查结果能否支持果能否支持果能否支持果能否支持该该俱俱俱俱乐乐部的声称？部的声称？部的声称？部的声称？训练前训练前训练前训练前94.594.5101101110110103.5103.5979788.588.596.596.5101101104104116.5116.5训练后训练后训练后训练后858589.589.5101.5101.59696868680.580.5878793.593.59393102102左左左左侧检验侧检验样本差值计算表样本差值计算表训练前训练前训练后训练后差值差值Di94.5101110103.59788.596.5101104116.58589.5101.5968680.58793.5931029.511.58.57.51189.57.51114.5合计合计98.5配对样本的 t 检验(例题分析)配对样本的 t 检验 (例题分析)差差差差值值均均均均值值差差差差值规值规范差范差范差范差H0: m1 m2 H0: m1 m2 8.5 8.5 H1: m1 m2 8.5 H1: m1 m2 8.5a = 0.05a = 0.05， df = 10 - 1 = 9 df = 10 - 1 = 9临临临临界界界界值值值值(s):(s):检验统计检验统计量量量量: :决策决策决策决策: :结论结论: : 在在 = 0.05的程度上不回的程度上不回绝H0不能以不能以为该俱俱乐部的声称不可信部的声称不可信配对样本的 t 检验 (例题分析)-1.833-1.833t t0 0回回回回绝绝域域域域.05.05n n阐明明n n SPSS统计软件中，件中，检验程序的程序的输出出结果中果中假假设未未标明是明是单侧还是双是双侧检验，其所，其所显示的示的P值均是双均是双侧检验的的结果。假果。假设运用者运用者欲欲进展的是展的是单侧检验，其程序与双，其程序与双侧检验一一样，但所得到的，但所得到的P值须自行除以自行除以2，再与，再与显著性程度著性程度相比相比较。不。不过，就假，就假设检验而而言，大部分都属于双言，大部分都属于双侧检验的假的假设，故不，故不需再除以需再除以2。n n现现以以以以T T表示所用的表示所用的表示所用的表示所用的检验统计检验统计量，量，量，量，t t 表示根据表示根据表示根据表示根据样样本本本本计计算得到的算得到的算得到的算得到的检验统计检验统计量的量的量的量的值值。现现分分分分别别思索左思索左思索左思索左侧检验侧检验和右和右和右和右侧检验侧检验，单侧检验单侧检验的的的的P P值见值见下表：下表：下表：下表：n n 其中，其中，其中，其中，P P值值双双双双侧侧是是是是SPSSSPSS软软件运件运件运件运转转假假假假设检验设检验程序的程序的程序的程序的结结果果果果 假假设设当当t0时时t0时时P值值双双侧侧/21- P值值双双侧侧/21-P值值双双侧侧/2P值值双双侧侧/2SPSS运用运用n n操作步操作步骤骤1 1n n点点击击按按顺顺序翻开序翻开“Transform“Transform-“Compute-“Compute，翻开，翻开对话对话框，并框，并输输入相入相应变应变量及其公式后，如下量及其公式后，如下图图：n n操作步操作步骤骤2 2n n按照按照顺顺序：序：Analyze Compare Means Paired-Analyze Compare Means Paired-Samples T TestSamples T Test，进进入配入配对样对样本本T T检验检验 “Paired- “Paired-Samples T TestSamples T Test对话对话框中，将左框中，将左侧侧“x0“x0和和“x2“x2变变量量选选入到入到 “Paired Variables “Paired Variables框中框中 ，如下，如下图图n n输输出出结结果果1 1 MeanNStd. DeviationStd. Error MeanPair 1X092.7500107.962592.51799 训练后的体重91.400107.10562.2470Paired Samples Statisticsn n输输出出结结果果2 2 NCorrelationSig.Pair 1X0 & 训练后的体重10.964.000Paired Samples Correlations n n结结果解果解释释n n此表此表给给出了配出了配对样对样本本间间的相关性，相关系数的相关性，相关系数为为0.9640.964，阐阐明彼此明彼此间间高度相关，且其高度相关，且其检验检验的的p p值为值为00.0500.05，意味着其相关性是，意味着其相关性是显显著性的著性的 n输出结果3n结果解果解释：n 此此问题为左左侧检验：n H0：1-28.5，H1：1-20，所以，所以，此例此例检验的的P值应为1-0.084/2=0.9580.05，故不，故不能回能回绝原假原假设，即没有充足的理由以，即没有充足的理由以为该俱俱乐部部的声称是不正确的。的声称是不正确的。0指出下述指出下述指出下述指出下述问题问题属于哪一属于哪一属于哪一属于哪一类类均均均均值检验值检验？n n从从从从历历史史史史资资料看，某百料看，某百料看，某百料看，某百货货商店中商店中商店中商店中顾顾客每次客每次客每次客每次购购物的平均破物的平均破物的平均破物的平均破费费是是是是123123元，由于物价上元，由于物价上元，由于物价上元，由于物价上涨涨，该该店店店店经经理关理关理关理关怀怀的是的是的是的是顾顾客每次客每次客每次客每次购购物物物物的平均破的平均破的平均破的平均破费费能否比以前有所降低。能否比以前有所降低。能否比以前有所降低。能否比以前有所降低。为为此，他随机地抽取了此，他随机地抽取了此，他随机地抽取了此，他随机地抽取了一个一个一个一个n =400n =400的的的的样样本。求得本。求得本。求得本。求得样样本均本均本均本均值为值为119119，规规范差范差范差范差为为7272。假假假假设给设给定定定定显显著性程度著性程度著性程度著性程度 = 0.05 = 0.05，试检验顾试检验顾客每次客每次客每次客每次购购物的平物的平物的平物的平均破均破均破均破费费能否比以前有所降低。能否比以前有所降低。能否比以前有所降低。能否比以前有所降低。n n比比比比较较3131个省市自治区个省市自治区个省市自治区个省市自治区20212021年和年和年和年和20212021年的年的年的年的废废气排放量能否有气排放量能否有气排放量能否有气排放量能否有显显著性差著性差著性差著性差别别，以，以，以，以检验检验空气空气空气空气环环境能否有所改善等等。境能否有所改善等等。境能否有所改善等等。境能否有所改善等等。 n一家本地比萨店位于一所大学的街口道路，其广告称订购一家本地比萨店位于一所大学的街口道路，其广告称订购后送到学生宿舍的时间要快于本地全国比萨连锁店的分店。后送到学生宿舍的时间要快于本地全国比萨连锁店的分店。为了判别这一广告能否可信，他和朋友决议在不同的时间为了判别这一广告能否可信，他和朋友决议在不同的时间从两类比萨店分别订购从两类比萨店分别订购10个比萨。订购方式为：他从本地个比萨。订购方式为：他从本地比萨店订购比萨的同时，他的朋友从全国比萨连锁店也订比萨店订购比萨的同时，他的朋友从全国比萨连锁店也订购同一种类的比萨。获得的两类比萨店的送达时间数据如购同一种类的比萨。获得的两类比萨店的送达时间数据如表表1.1所示。所示。订购订购次数次数本地本地连锁连锁116.822.0211.715.2315.618.7416.715.6517.520.8618.119.5714.117.0821.819.5913.916.51020.824.0写出假设检验的步骤，并给出假设检验的结论。写出假设检验的步骤，并给出假设检验的结论。Excel中的中的统计统计函数函数n nZTESTZTEST计计计计算算算算Z Z检验检验检验检验的的的的P P值值值值n nTDISTTDIST计计计计算算算算t t分布的概率分布的概率分布的概率分布的概率n nTINVTINV计计计计算算算算t t分布的分布的分布的分布的临临临临界界界界值值值值n nTTESTTTEST计计计计算算算算t t分布分布分布分布检验检验检验检验的的的的P P值值值值n nFDISTFDIST计计计计算算算算F F分布的概率分布的概率分布的概率分布的概率n nFINVFINV计计计计算算算算F F分布的逆函数分布的逆函数分布的逆函数分布的逆函数( (临临临临界界界界值值值值) )n nFTESTFTEST计计计计算算算算F F检检检检验验验验( (两两两两个个个个总总总总体体体体方方方方差差差差比比比比的的的的检检检检验验验验) )单单单单尾概率尾概率尾概率尾概率