第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 前面讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函前面讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律。然而在许多数能够完整地描述随机变量的统计规律。然而在许多实际问题中，随机变量的分布并不容易求得，并且有实际问题中，随机变量的分布并不容易求得，并且有时不需要去完全考察随机变量的变化情况，而只需要时不需要去完全考察随机变量的变化情况，而只需要知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数。函数。 例如例如 1 1、在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只、在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量；要知道该地区的平均产量； 2 2、在研究水稻的品种优劣时，时常是关心稻穗的平均、在研究水稻的品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻谷粒数；稻谷粒数； 3 3、在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均、在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。 从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。随机变量的数字特征就是用数字表些方面的重要特征。随机变量的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特点，在理论和实践上都具有重要的示随机变量的分布特点，在理论和实践上都具有重要的意义。意义。第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 数学期望数学期望 方差和标准差方差和标准差 协方差和相关系数协方差和相关系数 切比雪夫不等式及大数定理切比雪夫不等式及大数定理 中心极限定理中心极限定理7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望从平均数说起，设以数据集从平均数说起，设以数据集 2，3，2，4，2，3，4，5，3，2为总体，求其平均数（设为为总体，求其平均数（设为）= =（2+3+2+4+2+3+4+5+3+22+3+2+4+2+3+4+5+3+2）/10/10 = =（2 24+34+33+43+42+52+51 1）/10/10 =2 =24/10+34/10+33/10+43/10+42/10+52/10+51/101/10 =3 =3概括得：概括得：7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.1.定义定义 设离散随机变量设离散随机变量X X的分布律为的分布律为 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望为随机变量为随机变量X X的的数学期望数学期望，或称为该分布的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。简称期望或均值。 若级数若级数 不收敛不收敛, ,则称则称X X的期望不存在。的期望不存在。如果如果则称则称XPx1 x2 xn p1 p2 pn 所以所以A A 的射击技术较的射击技术较B B的好的好. .0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称例例1:1:有甲，乙两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪有甲，乙两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？一个射手本领较好？解解 甲射击平均击中环数为甲射击平均击中环数为乙射击平均击中环数为乙射击平均击中环数为例例2:2:某人有某人有1010万元现金，想要投资于某项目，余估成功万元现金，想要投资于某项目，余估成功的机会为的机会为30%30%，可得利润，可得利润8 8万元，失败的机会为万元，失败的机会为70%70%，将，将损失损失2 2万元，若存入银行，同期间的利率为万元，若存入银行，同期间的利率为5%5%，问是否，问是否作此项投资？作此项投资？解解 设设x x为投资利润，则为投资利润，则E(X)=8E(X)=80.3-0.70.3-0.72=1(2=1(万元万元) )x8-2p0.30.7存入银行的利息存入银行的利息 105%=0.55%=0.5（万元）（万元）故应选择投资故应选择投资例例3 3 设随机变量设随机变量x x服从参数为服从参数为n n，p p二项分布，其分布律为二项分布，其分布律为（k=0,1,2，）（0p0,D(Y)0,D(X)0,D(Y)0,协方协方差差Cov(X,Y)Cov(X,Y)均存在均存在, ,则称则称为随机变量为随机变量X X与与Y Y的的相关系数相关系数或或标准协方差标准协方差. . 一般地，数学期望为一般地，数学期望为0 0，方差为，方差为1 1的随机变量的分布称的随机变量的分布称为标准分布，故为标准分布，故XYXY又称为又称为标准协方差标准协方差。 7.3 7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数二、二、相关系数相关系数性质性质1 1. |. |XYXY|1|1；3 3. |. |XYXY|=1|=1， 称之为称之为X X与与Y Y完全相关，其充要条件为完全相关，其充要条件为, ,存在存在常数常数a a,b,b使得使得PY=PY=a aX+b=1.X+b=1.2 2. . XYXY=0=0，称之为，称之为X X与与Y Y不相关；不相关；意义意义: |: |XYXY|=1|=1当且仅当当且仅当Y Y跟跟X X几乎有线性关系。这在一定程度上说明几乎有线性关系。这在一定程度上说明了相关系数的概率意义。了相关系数的概率意义。XYXY并不是刻画并不是刻画X X，Y Y之间的之间的“一般一般”关系，关系，而只是刻画而只是刻画X X，Y Y之间线性相关的程度。之间线性相关的程度。说明：说明： 假设随机变量假设随机变量X X，Y Y的相关系数的相关系数XYXY存在，当存在，当X X与与Y Y相互独时相互独时,XYXY=0,=0,即即X X与与Y Y不相关，反之若不相关，反之若X X与与Y Y不相关，不相关，X X与与Y Y却不一定相互独立。却不一定相互独立。7.3 7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数二、二、相关系数相关系数o oX XY Yo oo oo oX XX XX XY YY YY Y0101-10-10,0,恒有恒有其中其中若上式对任何若上式对任何00成立，则称成立，则称 依概率收敛于依概率收敛于，且可表示为且可表示为7.4 7.4 切比雪夫不等式及大数律切比雪夫不等式及大数律一、一、伯努利大数律伯努利大数律例如例如: :意思是意思是: :当当a a而而意思是意思是: :时时,X,Xn n落在落在内的概率越来越大内的概率越来越大. ., ,当当7.4 7.4 切比雪夫不等式及大数律切比雪夫不等式及大数律切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)(Chebyshev)不等式不等式: : 设随机变量设随机变量X X具有数学期望具有数学期望E(X)=,E(X)=,方差方差D(X)=D(X)=2 2 , ,则对于任意正数则对于任意正数,有有二、二、切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)(Chebyshev)不等式不等式7.4 7.4 切比雪夫不等式及大数律切比雪夫不等式及大数律证明证明 (1)(1)设设X X的概率密度为的概率密度为p(p(x x),),则有则有(2)(2)设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为PX=PX=x xk k=p=pk k, ,则有则有二、二、切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)(Chebyshev)不等式不等式例例: :在供暖的季节在供暖的季节, ,住房的平均温度为住房的平均温度为2020度度, ,标准差为标准差为2 2度度, ,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4 4度的概率的下界度的概率的下界. .解解例例 设随机变量设随机变量 相互独立，相互独立，且有如下分且有如下分 布律布律是否满足切比雪夫定理？是否满足切比雪夫定理？解：独立性依题意可知，检验是否具有数学期望解：独立性依题意可知，检验是否具有数学期望说明每一个随机变量都具有数学期望，检验是否具有有限方差说明每一个随机变量都具有数学期望，检验是否具有有限方差说明离散型随机变量有有限方差说明离散型随机变量有有限方差-na0Na P P7.4 7.4 切比雪夫不等式及大数律切比雪夫不等式及大数律三、三、切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)(Chebyshev)大数定律大数定律 设设 X X1 1,X,X2 2, ,是相互独立的随机变量序列是相互独立的随机变量序列, ,具有数学期望具有数学期望E E(X(Xi i) ) 和方差和方差 D(XD(Xi i) i=1,2,.) i=1,2,.若存在常数若存在常数 C,C,使得使得D(XD(Xi i) )CC(i=1,2,(i=1,2,),),则对于任意给定的则对于任意给定的 0, 0, 恒有恒有证明证明7.5 7.5 中心极限定理中心极限定理 在一定条件下在一定条件下, ,许多随机变量的极限分布是正态分布许多随机变量的极限分布是正态分布: : “若一个随机变量若一个随机变量X X可以看着许多微小而独立的随机因素可以看着许多微小而独立的随机因素作用的总后果作用的总后果, ,每一种因素的影响都很小每一种因素的影响都很小, ,都有不起压倒一都有不起压倒一切的主导作用切的主导作用, ,则则X X一般都可以认为近似地服从正态分布一般都可以认为近似地服从正态分布. .” 例如对某物的长度进行测量例如对某物的长度进行测量, ,在测量时有许多随机因在测量时有许多随机因素影响测量的结果素影响测量的结果. .如温度和湿度等因素对测量仪器的如温度和湿度等因素对测量仪器的影响影响, ,使测量产生误差使测量产生误差X X1 1; ;测量者观察时视线所产生的误测量者观察时视线所产生的误差差X X2 2; ;测量者心理和生理上的变化产生的测量误差测量者心理和生理上的变化产生的测量误差X X3 3; ;显显然这些误差是微小的、随机的然这些误差是微小的、随机的, ,而且相互没有影响而且相互没有影响. .测量测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和的总误差是上述各个因素产生的误差之和, ,即即X Xi i. .7.5 7.5 中心极限定理中心极限定理 一般地一般地, ,在研究许多随机因素产生的总影响时在研究许多随机因素产生的总影响时, ,很多可以很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题, ,而通常这而通常这种和的项数都很大种和的项数都很大. .因此因此, ,需要构造一个项数越来越多的随机需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列变量和的序列: : 我们关心的是当我们关心的是当n n时时, ,随机变量和随机变量和X Xi i的极限分布是的极限分布是什么什么? ?7.5 7.5 中心极限定理中心极限定理 设随机变量设随机变量X X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n是是n n个相互独立且每个都服个相互独立且每个都服从从(0-1)(0-1)分布分布(PX(PXi i=0=1-p,PX=0=1-p,PXi i=1=p),=1=p),现在来求现在来求Y Yn n= X= X1 1+X+X2 2+ +X+Xn n这里每个这里每个X Xi i只能取只能取0 0，1 1，的分布的分布Y Yn n只能取只能取0 0，1 1，n n 即即Y Yn n服从服从B B（n,pn,p）7.5 7.5 中心极限定理中心极限定理设设X X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n同分布，且同分布，且X Xi iB(1,p)B(1,p)，则，则推论：推论：如果如果X X与与Y Y独立，且独立，且X XB(m,p), YB(m,p), YB(n,p),B(n,p),则则 X+YX+Y B(m+n,p)B(m+n,p) 即二项分布具有可加性即二项分布具有可加性. .7.5 7.5 中心极限定理中心极限定理一、棣莫弗一、棣莫弗- -拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 ( (De Moivre-LaplaceDe Moivre-Laplace中心极限定理中心极限定理):):设设X X1 1，X X2 2，是一是一个独立同分布的随机变量序列个独立同分布的随机变量序列, ,且且X Xi iB(1,p)(i=1,2,B(1,p)(i=1,2,), Y), Yn n= = X X1 1+X+X2 2+ +X+Xn n, ,则对任意一个则对任意一个x x，-x- +-x-105PV105的近似值的近似值. .解解: :易知易知E(VE(Vk k)=5,D(V)=5,D(Vk k)=100/12,)=100/12,由独立同分布的中心极限定理知由独立同分布的中心极限定理知近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布N(0,1),N(0,1),于是于是作业作业：1，2，3，5，8，9，12，13，19