第第1313讲椭圆、双曲线、抛物线讲椭圆、双曲线、抛物线总纲目录考点一 圆锥曲线的定义及标准方程考点二 圆锥曲线的几何性质考点三 直线与圆锥曲线的相关问题考点一圆锥曲线的定义及标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|);(2)双曲线:|PF1|-|PF2|=2a(2ab0;(2)双曲线的标准方程为-=1,其中a0,b0;(3)抛物线的标准方程为x2=2py,y2=2px,其中p0.例例(1)(2018天津,7,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1(2)(2017课标全国,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.答案答案(1)C(2)6解析解析(1)不妨设A在B的上方,则A,B.其中的一条渐近线为bx-ay=0,则d1+d2=2b=6,b=3.又由e=2,a2+b2=c2知a2+b2=4a2,a=.双曲线的方程为-=1.故选C.(2)如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6.方法归纳方法归纳圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”.(1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.(2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a0),椭圆常设为mx2+ny2=1(m0,n0),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn0).1.已知双曲线的虚轴长为4,离心率e=,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|等于()A.8B.4C.2D.8答案答案A由题意可知2b=4,e=,于是a=2.2|AB|=|AF2|+|BF2|,|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=|AF2|-|AF1|+|BF2|-|BF1|=4a=8.2.(2018湖北八校联考)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为O的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案答案C由题意可得c=5,设右焦点为F,连接PF,由|OP|=|OF|=|OF|知PFF=FPO,OFP=OPF,PFF+OFP=FPO+OPF,FPO+OPF=90,即PFPF.在RtPFF中,由勾股定理,得|PF|=8,由椭圆的定义,得|PF|+|PF|=2a=6+8=14,从而a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,椭圆C的方程为+=1,故选C.考点二圆锥曲线的几何性质1.椭圆、双曲线中,a,b,c之间的关系(1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e=;(2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e=.2.双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.例例(1)(2018课标全国,5,5分)双曲线-=1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x(2)(2018重庆六校联考)已知双曲线C1:-=1(a0,b0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程是()A.x2=16yB.x2=8yC.x2=yD.x2=y答案答案(1)A(2)A解析解析(1)双曲线-=1的渐近线方程为bxay=0.e=,a2+b2=3a2,b=a(a0,b0).渐近线方程为axay=0,即y=x.故选A.=2,解得p=8,所以抛物线C2的方程是x2=16y.(2)因为双曲线C1:-=1(a0,b0)的离心率为2,所以=2,即=4,所以=3.因为双曲线的渐近线方程为bxay=0,抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,所以方法归纳方法归纳圆锥曲线的几何性质的应用确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围,其关键就是建立一个关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),再根据a,b,c的关系消掉b得到关于a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程(组)或不等式(组)时,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质.1.(2018潍坊统一考试)已知双曲线-=1(a0,b0)的焦点到渐近线的距离为,且离心率为2,则该双曲线的实轴的长为()A.1B.C.2D.2答案答案C由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为=b=,即c2-a2=3,又e=2,所以a=1,所以该双曲线的实轴的长为2a=2.2.(2018沈阳质量检测(一)已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A,B在抛物线y2=3x上,则AOB的边长是.答案答案6解析解析如图,设AOB的边长为a,则A,点A在抛物线y2=3x上,a2=3a,a=6.3.(2018南昌摸底调研)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点为F,过点F作圆(x-a)2+y2=的切线,若该切线恰好与C的一条渐近线垂直,则双曲线C的离心率为.答案答案2解析解析不妨取与切线垂直的渐近线方程为y=x,由题意可知该切线方程为y=-(x-c),即ax+by-ac=0.圆(x-a)2+y2=的圆心为(a,0),半径为,则圆心到切线的距离d=,又e=,则e2-4e+4=0,解得e=2,所以双曲线C的离心率e=2.考点三直线与圆锥曲线的相关问题命题角度一命题角度一:直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系例例1(2018兰州诊断考试)双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.B.5C.D.答案答案D解析解析双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,即y=x与抛物线y=x2+1相切,由得ax2-bx+a=0,则该方程有且只有一个根,所以b2-4a2=0,解得=4,所以离心率e=,故选D.方法归纳方法归纳判断直线与圆锥曲线的位置关系的两种常用方法(1)代数法:联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元二次方程,此方程根的个数即为交点个数,从而判断直线与圆锥曲线的关系.(2)几何法:画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数,从而判断直线与圆锥曲线的关系.命题角度二:与弦的中点、弦长有关的问题例例2(2018南宁摸底联考)已知椭圆+=1(ab0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点是M(-4,1),则椭圆的离心率是()A.B.C.D.答案答案C解析解析设直线x-y+5=0与椭圆+=1相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,因为AB的中点M坐标为(-4,1),所以x1+x2=-8,y1+y2=2,易知直线AB的斜率k=1.由题意知+=1,+=1,两式相减得,+=0,所以=-,所以=,于是椭圆的离心率e=,故选C.方法归纳方法归纳圆锥曲线以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率如下表:圆锥曲线方程直线斜率椭圆:+=1(ab0)k=-双曲线:-=1(a0,b0)k=抛物线:y2=2px(p0)k=其中k=(x1x2),(x1,y1),(x2,y2)为弦的端点坐标.例例3(2018北京文,20节选)已知椭圆M:+=1(ab0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值.命题角度三命题角度三:直线与圆锥曲线的相交弦问题直线与圆锥曲线的相交弦问题解析解析(1)由题意得解得a=,b=1.所以椭圆M的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由得4x2+6mx+3m2-3=0.所以x1+x2=-,x1x2=.|AB|=.当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为.方法归纳方法归纳直线与圆锥曲线的相交弦的弦长解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y或x后得到一元二次方程,当0时,直线与圆锥曲线有两个交点,设为A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系求出x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2,则弦长|AB|=|y1-y2|=(k为直线的斜率且k0),当A,B两点坐标易求时也可以直接用|AB|=求解.1.(2018课标全国,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=()A.5B.6C.7D.8答案答案D由题意知直线MN的方程为y=(x+2),联立直线与抛物线的方程,得解得或不妨设M(1,2),N(4,4).抛物线焦点为F(1,0),=(0,2),=(3,4).=03+24=8.故选D.2.已知斜率为k(k0)的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,O为坐标原点,M是线段AB的中点,F为C的焦点,OFM的面积等于2,则k=()A.B.C.D.答案答案C由抛物线方程y2=4x可知焦点F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),M为线段AB的中点,由题意知=4x1,=4x2,两式相减可得-=4(x1-x2)(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)=,即k=,k0,y00.SOFM=1y0=2,解得y0=4,k=.故选C.3.(2018唐山五校联考)在直角坐标系xOy中,长为+1的线段的两端点C,D分别在x轴、y轴上滑动,=.记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A,B两点,=+,当点M在曲线E上时,求四边形AOBM的面积.解析解析(1)设C(m,0),D(0,n),P(x,y).由=,得(x-m,y)=(-x,n-y),所以得由|=+1,得m2+n2=(+1)2,所以(+1)2x2+y2=(+1)2,整理,得曲线E的方程为x2+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=+,知点M坐标为(x1+x2,y1+y2).由题意知,直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+1,将其代入曲线E的方程,得(k2+2)x2+2kx-1=0,则x1+x2=-,x1x2=-.则y1+y2=k(x1+x2)+2=.由点M在曲线E上,知(x1+x2)2+=1,即+=1,解得k2=2.这时|AB|=|x1-x2|=,原点到直线AB的距离d=,所以四边形AOBM的面积S=|AB|d=.