第一单元第一单元 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语集合是数学中最基本的概念，集合语言是现代数学的基本语言，因此集合是高考的必考内容.高考对集合问题的考查一般有两种形式：一是考查集合的有关概念、集合之间的关系、集合的运算等；二是考查考生对集合语言、集合思想的理解与运用，往往与其他知识融为一体.其中，集合的特征性质描述和集合的运算是高考考查的重点，常常会与求函数的定义域和值域、解不等式、求范围等问题联系在一起.从2009年全国高考试题来看：1. 在考查内容上，高考命题仍以考查概念与计算为主.2. 题型主要是选择题、填空题，以解答题形式出现的题基本没有.3. 在能力要求上，注重对基础知识和基本技能的考查，要求具备数形结合的思想意识,会借助Venn图、数轴等工具解决集合运算问题.如2009辽宁，1；2009广东，1；2009宁夏、海南，1等.常用逻辑用语主要包含三部分内容：命题以及命题的四种形式、充分必要条件、量词.本单元内容在高考试题中每年必考，主要体现在三个方面：一是充分必要条件的推理、判断；二是命题的四种形式；三是全称量词与存在量词、全称命题与存在性命题.对于充分必要条件的推理判断问题，一般是以其他的数学知识为载体，具有较强的综合性；对于全称命题与存在性命题，一般是考查对两个量词的理解，考查两种命题的否定命题的写法，这是考查的热点.通过对本单元高考试题，尤其是新课改地区的高考试题的分析，并结合最近几年高考命题立意的发展变化趋势，宜采用以下应试对策：1. 在复习中首先要把握基础知识，深刻理解本单元的基本知识点，基本的数学思想方法，重点掌握集合的概念和运算,掌握充分条件、必要条件和充要条件的判断和应用，重视数形结合思想的运用等.2. 涉及本单元知识点的高考题既有填空题，又有小型和大型的综合题，因此在复习中既要灵活掌握基本题型，又要对有一定难度的大型综合题进行有针对性的训练，要明确本单元内容在中学数学中的地位和作用.3. 重视数学思想方法的复习.本单元体现的主要有数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法，而且图示法、反证法等数学方法也得到广泛应用.第一节第一节 集合集合最新课程标准 2010年考试说明内容要求1. 了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2. 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4. 了解全集与空集的含义.5. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.6. 理解在给定集合中的一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7. 会使用Venn图表达集合的关系及运算.集合及其表示A子集B交集并集补集B1. 元素与集合（1）集合中元素的三个特征: 确定性 、 互异性 、无序性.（2）集合中元素与集合的关系文字语言符号语言属于 不属于数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号 N N*或N+ Z Q R C(3)常见集合的符号表示基础梳理基础梳理(4)集合的表示法：列举法 、描述法 、Venn图法.2. 集合间的基本关系表示 表示关系 文字语言 符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同子集A中任意一个元素均为B中的元素真子集A中任意一个元素均为B中的元素，B中至少有一个元素不是A中的元素 A B 或 B A集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为CUA图形表示意义 x|xA, 或xB x|xA,且xB3. 集合的基本运算基础达标基础达标1. （教材改编题）用适当符号填空：0 0，1；a,b b,a;0 ;4+ x|x6+ .分析：分析：分清是集合与元素之间的关系还是集合与集合之间的关系.答案：答案：= 2. 现有三个实数的集合，既可以表示为 ,也可表示为 ,a+b,0,则 = .解析：解析：由已知得 =0,且a0,所以b=0,于是 =1,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性，a=1应舍去，因而a=-1， =1.答案：答案：13. （2009山东改编）集合A=0，2，a,B=1, .若AB=0,1,2,4，16，则a的值为 .解析解析：AB=0,1,2,a, ,且AB=0,1,2,4,16,a, =4,16，a=4.答案：答案：44. （教材改编题）设U=R，A=x|x0,B=x|x1,则A = .解析：解析：答案答案：x|0x15. （2009江苏）已知集合A=x| 2,B=(-,a),若AB,则实数a的取值范围是(c,+)，其中c= .解析解析：由题意易知A=x|0x4,B=(-,a).AB,a4.又a的取值范围为（4，+），c=4.答案：答案：41. 集合中元素的三个基本特征的应用(1)确定性：任意给定一个对象，都可以判断它是不是给定集合的元素，也就是说，给定集合必须有明确的条件，依此条件，可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的元素，二者必居其一，不会模棱两可.如：“较大的数”、“著名科学家”等均不能构成集合.(2)互异性：即一个集合中的任何两个元素都应该是不相同的，特别是含有字母的问题，解题后须进行检验.(3)无序性.2. 集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键即文字语言、符号语言、图形语言的互化.3. “数形结合”思想方法对集合中较抽象或较复杂的问题，首先认清集合特征，准确地转化为图形关系，借助图形能够使问题得到直观、具体的解决， 因此特别要注重数形结合思想方法的运用.如：数轴、几何图形、Venn图等.4. “分类讨论”思想方法对集合中含有字母问题的求解，要依据数学对象本质属性的相同点和不同点确定划分标准，然后对每类分别进行求解并综合得出答案的一种数学思想方法.在划分中要求始终使用同一标准，这个标准应该是科学的、合理的，同时做到不重、不漏、最简.5. “转化与化归”思想方法转化与化归的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的或已知解决过的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决.要注意 这五个关系式的等价性.典例分析典例分析解解由A=B可知，解（1）得q=1;解（2）得q=1,或 又因为当q=1时，m=mq=mq2,不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以分析分析 由A=B可知A,B两个集合中的元素相同，观察A,B两个集合中有一共同元素，则其他两个元素应对应相等，由于情况不确定，需要分类讨论.学后反思学后反思 本题考查集合元素的基本特征确定性、互异性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，切入点是分类讨论思想例例1.1.已知集合题型二题型二 集合之间的关系集合之间的关系举一反三举一反三1设 ， ，已知 求实数a的值。解析 , (1)若 ，则 ，此时 ，与已知矛盾，舍去。(2)若 B中有两给元素均为-2，与几何中元素的胡异性相矛盾，应舍去；当 ，符合题意。综上所述，【例2】已知集合M=x|y=lg(- +3x-2),N=m|( (x2-x+4)a，若M是N的真子集，则a的取值范围是 . 分析：分析：集合M中的元素为“x”，故M应为函数y=lg（- +3x-2）的定义域；集合N中的元素为“m”，是不等式 的解集.解：解：由- +3x-20，得1x2，M=x|1x2. -x+4= 1,由 ，得ma,N=m|ma.又M是N的真子集，a2.学后反思学后反思 （1）解答一个与元素有关的命题，必须先弄清楚我们研究的是什么样的集合，它是用什么样的描述形式来叙述的，比如是列举法，或者描述法.（2）其次准确把握集合中元素的形式，常见的有数集、点集的形式.（3）要与常见的用集合描述的相关知识多联系，如函数的定义域，值域及不等式的解集等 举一反三举一反三2. 已知集A=2,3,4,B=2,4,6,8,C=(x,y)|xA,yB,且logxyN*,则C中元素个数是 .解析：解析：logxyN*,当x=2时，y=2或4或8；当x=4时，y=4.共有（2，2），（2，4），（2，8），（4，4）四个点，即C中元素个数是4.答案：答案：4题型三题型三 集合的运算集合的运算【例3】（2010无锡模拟）已知集合A=x|y=- ,B=y|y= ,x0,R是实数集，则 = 。分析分析 先观察集合A、B中的元素形式，再求数集的范围.解解 由2x- 0，得0x2,A=x|0x2；由题意得B=y|y1，学后反思学后反思 在有关集合的运算问题中，所涉及的集合有相当一部分为函数的定义域或值域，因此，先审清集合中元素的形式是解答好此类问题的关键.其次可运用Venn图或数轴来求交、并、补集等.举一反三举一反三3. 已知M=yR|y= ,N=xR| =2,则MN= .解析：解析：M=y|y0,N=x|- x ,MN=x|0x .答案：答案：x|0x 题型四题型四 新型集合的概念与运算新型集合的概念与运算【例4】(14分)对于集合M,N，定义M-N=x|xM且xN,MN=(M-N)(N-M),设A=y|y= -3x,xR,B=y|y=-2x,xR,则AB= .分析分析 充分理解“M-N”与“MN”两种运算法则.然后把A,B两集合化到最简，再代入进行计算.解解 由y= -3x(xR),即y= ,2得A= ;5y=- (xR), 0,- 0,y0.B=y|y0,8A-B=y|y0,B-A= ,11AB=(A-B)(B-A)= 0,+）.14学后反思学后反思 新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的热点问题.在给出新的运算法则的前提下，充分利用已知求解是关键.集合命题中与运算法则相关的问题，是对映射构建下的集合与集合、元素与元素之间的运算相关性及封闭性的研究.举一反三举一反三4. （创新题）设A、B为两个非空数集，定义：A*B=a+b|aA,bB,若A=0,1,B=1,2,则A*B子集的个数是 .解析：解析：由题意易知A*B=1,2,3，所以A*B子集的个数为 =8.答案：答案：8易错警示易错警示【例】已知集合A=x,xy,lg(xy),B=0,|x|,y，若A=B，求实数x,y的值.错解错解 因为lg（xy）有意义，所以xy0，从而x0，故xy=1.又由A=B，得 或 .所以x=y=1或x=y=-1.错解分析错解分析 由于同一集合中的元素不同（互异性），而在以上的解法中，当x=y=1时，x=xy,|x|=y，分别使集合A，B中出现了相同元素，故应舍去，所以只能取x=y=-1.正解正解 x=y=-1.一、填空题1. （2009宁夏、海南改编）已知集合A=1,3,5,7,9，B=0,3,6,9,12，则A =解析：解析：B=0,3,6,9,12, 中没有3和9，且含有1，5，7.又A=1,3,5,7,9，A =1,5,7. 答案：答案：1,5,72. （2009全国改编）设集合A=4,5,7,9，B=3,4,7,8，9，全集U=AB，则集合 (AB)= . 解析：解析：由题意知AB=4,7,9，U=AB=3，4，5，7，8，9， （AB）=3,5,8.答案：答案：3,5,83. （2009广东改编）已知全集U=R，集合M=x|-2x-12和N=x|x=2k-1,k=1,2,的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合为 .解析：解析：M=x|-1x3,N=x|x=2k-1，kN*,MN=1,3.答案：答案：1,34. (2008浙江)已知U=R,A=x|x0,B=x|x-1,则（A ) (B )=解析：解析： =x|x0, =x|x-1,A =x|x0,B =x|x-1,原式=x|x0或x-1.答案：答案：x|x0或x-15. 已知集合M=y|y=ln( +1),xR,N=x| 2,xR,则MN= .解析：解析：y=ln( +1),xR,y0,M=y|y0.又 2= ,x1,N=x|x1.MN=x|0x1.答案：答案：x|0x16. 满足条件1,3A=1,3,5的所有集合A的个数是 .解析解析: :A有可能为5,1,5,3,5,1,3,5.答案：答案： 47. 已知M=x|x= +2a+4,aR,N=y|y= -4b+7,bR,则M,N之间的关系为.解析解析： +2a+4=(a+1)2+33,M=x|x3.又 -4b+7=(b-2)2+33,N=y|y3.M=N.答案：答案：M=N8. 设全集U=1,3,5,7，集合M=1,a-5，MU, =5,7,则实数a的值为 .解析解析: : =5,7，且U=1,3,5,7,M=1,3.又M=1,a-5,a-5=3，a=8.答案答案: :89. 若集合M=0,1,2,N=(x,y)|x-2y+10且x-2y-10,x,yM,则N中元素的个数为 .解析：解析： 不等式组 ,对应的平面区域如图所示,那么满足x,yM且落在区域内的点(x,y)有:(0,0),(1,0),(1,1),(2,1),共有4个.答案：答案：4二、解答题10. （2009江苏）已知集合A=x|log2x2,B=(-,a)，若A B，则实数a的取值范围是(c,+),求c的值.解析解析:由log2x2得04,所以c=4.11. （2010广东模拟）设集合A=x|x24, (1)求集合AB；(2)若不等式2x2+ax+b0的解集是B,求a、b的值.解析解析：A=x|x24=x|-2x2,(1)AB=x|-2x1.(2)2x2+ax+b0的解集为B=x|-3x1,-3和1为2x2+ax+b=0的两根，12. (2010山东模拟)已知集合A=x|x2-6x+80,B=x|（x-a）(x-3a)0.(1)若AB,求a的取值范围；(2)若AB=x|3x4，求a的取值范围.解析：解析：A=x|2x0时,B=x|ax3a,应满足当a0时，B=x|3axa,应满足无解；当a=0时，B=,显然不符合条件.综上，(2)要满足AB=x|3x0，a=3时成立.此时B=x|3x9,而AB=x|3x0； 0；如果x2，那么x就是有理数；如果x0，那么 就有意义.是命题的个数为 .解析解析：可以判断真假的陈述句叫做命题.答案答案：3解析解析：由原命题为真命题，可知逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题. 答案答案： 12. （2010银川模拟）命题“设a、b、cR，若a b ，则ab”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有 个.3. （教材改编题）设原命题：若a+b2，则 a,b中至少有一个不小于1，则原命题为_命题,逆命题为_命题(填“真”或“假”).解析解析：因为原命题的逆否命题为:若a,b都小于1，则a+b2,显然为真，所以原命题为真；原命题的逆命题为：若a,b中至少有一个不小于1，则a+b2，是假命题，反例为a=1.2,b=0.3.答案答案： 真 假4. （2009上海改编）“-2a2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的条件.解析：解析：实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根的等价条件是-2a2，“-2a2”是“-2a2”的必要不充分条件.答案：答案：必要不充分 5. （2010青岛模拟）设a、b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题“|a+b|=|a|+|b|”的 条件.解析：解析：|a+b|=|a|+|b|a、b同向a与b共线；反之，当a与b共线时，不一定有|a+b|=|a|+|b|，故a与b共线是|a+b|=|a|+|b|的必要不充分条件.答案：答案：必要不充分1. (1)四种命题真假的判定原命题为真，它的逆命题不一定为真;原命题为真，它的否命题不一定为真;原命题为真，它的逆否命题一定为真（等价命题）.(2)否命题与命题的否定是两个不同的概念否命题是对原命题的条件和结论同时否定.命题的否定仅仅否定原命题的结论（而条件不变）.（3）利用“等价命题”判断真假由于互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真同假，所以当一个命题不易直接判断时，可通过判断其逆否命题的真假而判断原命题的真假.例：判断“若ab0则a0或b0”的真假.解：它的逆否命题“若a0且b0,则ab0”为真，故原命题也是真命题.(4)从集合角度解释互为逆否的两个命题的等价性设A=x|p,B=x|q,其中p、q是集合A、B的特征性质.若A B则意味着对于元素x具有性质p必具有性质q,所以可认为AB与pq等同，具有同真同假性.AB与 B A等价，故“pq”与“ ”等价.2. 充分条件与必要条件设命题为:若p则q（1）如何判断p是q的什么条件对命题“若p则q”，首先应分清条件是什么，结论是什么.然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件.推理方法可以是直接证明、间接证明（反证法），也可通过举反例说明不成立.判断的结论需分四种情况：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件。（2）注意充分条件与必要条件的两个特征的应用对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，则 .传递性：若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件，则“pq且qr”“pr”或“pq且qr”“pr”.(3)判断p是q的什么条件的三种角度从逻辑关系上看：若pq但qp,则p是q的充分而不必要条件;若qp但pq,则p是q的必要而不充分条件;若pq且qp,则p是q的充要条件;若pq且qp,则p是q的既不充分也不必要条件.从集合观点上看：首先建立p、q相应的集合，设p:A=x|p(x),q:B=x|q(x).(i)若AB,则p是q的充分条件；若AB,则p是q的充分不必要条件.（ii）若BA,则p是q的必要条件；若BA，则p是q的必要不充分条件.（iii）若A=B，则p、q互为充要条件.（iv）若AB且BA,则p、q间既不充分也不必要.从四种命题的关系上看：（i）原命题为真，逆命题为假时，原命题的条件是结论的充分而不必要条件.（ii）原命题为假，逆命题为真时，原命题的条件是结论的必要而不充分条件.（iii）原命题为真，逆命题也为真时，原命题的条件与结论互为充要条件.（iv）原命题为假，逆命题也为假时，原命题的条件与结论什么条件也不是.典例分析典例分析题型一题型一 四种命题的关系及命题真假的判定四种命题的关系及命题真假的判定 例1写出命题:“若实数x,y满足 ，则实数x,y全为零”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。分析 根据四种命题的定义来写，注意否命题与命题的否定的区别解 逆命题为：若x,y全为零，则 ，是真命题。 否命题为：若 ，则x,y不全为零，是真命题。 逆否命题：若x,y不全为零，则 ，是真命题。学后反思学后反思 对命题中条件与结论的否定要全面。对x,y全为零的否定，应为不全为零，而不是全不为零。举一反三举一反三1、写出命题”等式两边都成同一个数，所得结果仍是等式“的逆命题、否命题、逆否命题解析 方法一：选取“两边同乘一个数为前提”。原命题：若一个式子为等式，则两边乘以同一个数，所得的结果仍是等式；逆命题：若一个式子两边都乘同一个数所得结果是等式，则这个式子是等式；否命题：若一个式子不是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍不是等式；逆否命题：若一个式子两边都乘以同一个数所得的结果不是等式，则这个式子不是等式。方法二：选取“一个式子为等式”为前提。原命题：一个等式，若两边乘以同一个数，则所得结果仍为等式；逆命题：一个等式，若两边分别乘以一个数，所得结果仍为等式，则两边乘的是同一个数；否命题：一个等式，若两边乘以不同的数，则所得结果不是等式；逆否命题：一个等式，若两边分别乘以一个数，所得结果不是等式则两边乘的不是同一个数。题型二题型二 充分条件与必要条件的判定充分条件与必要条件的判定分析分析 画出关系图，观察求解. 例2、已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？解解 s是q的充要条件(srq，qs);r是q的充要条件(rq，qsr);p是q的必要条件(qsrp).学后反思学后反思 图可以画得随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系. 举一反三举一反三 2. 设A、B、C三个命题，若A是B的充要条件，C是B的充分不必要条件，则C是A的条件. 解析解析： 画出关系图，由图可知，C是A的充分而不必要的条件.答案答案：充分而不必要题型三题型三 利用充分、必要条件求实数的范围利用充分、必要条件求实数的范围例3、已知p: ，q: (m0).且 是 的必要不充分条件，求实数m的取值范围。分析 （1）用集合的观点考察问题，先写出 和 ，然后，由 来求m的取值范围； (2)将 的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件再求解.解 方法一：由 ，得 ， ：学后反思学后反思 涉及参数的问题解决起来较为困难时，注意本题方法二 的等价转化，转化后就显得好理解了。在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑。举一反三举一反三3. A 2x10至少有一个负实根的充要条件是.解析解析：当a=0时，x=- 0,故a=0符合.当a0时,（1）a0，则a +2x+1=0至少有一个负实根（2）a0，则a +2x+1=0至少有一个负实根综上所述，a1.即至少有一个负实根的充要条件是a1答案答案 a1易错警示易错警示例 （2009 浙江）“x0 ”是“ ”的 条件0x 错解 “ ”等价于“x0”, “x0”是“ ”的必要不充分条件错解分析 没有弄清楚 “小范围” “大范围”，“小范围” “大范围”正解 “ ” 等价于“x0” “x0”是“ ”的充分不必要条件一、填空题一、填空题1. 下面有四个命题：集合N中最小的数是1；若-a不属于N，则a属于N；若aN,bN,则a+b的最小值为2； +1=2x的解集可表示为1,1.其中真命题的个数为.解析解析：假命题，集合N中最小的数是0；假命题，如a= 时,命题不成立；假命题，如a=0,b=1,则a+b=1；假命题，1,1与集合中元素的互异性矛盾，其解集应为1.答案答案：02. 有下列四个命题：“若xy1，则x、y互为倒数”的逆命题；“相似三角形的周长相等”的否命题；“若b1，则方程 2bx b0有实根”的逆否命题；“若AB=B,则AB”的逆否命题.其中真命题的序号为_.解析解析：写出相应命题并判定真假.“若x，y互为倒数，则xy1”为真命题；“不相似三角形的周长不相等”为假命题；“若方程 2bx b0没有实根，则b1”为真命题；“若AB，则ABB”为假命题. 答案答案：3. （2009浙江改编）已知a,b是实数，则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的条件.解析：解析：当a0,b0时，显然有a+b0且ab0，充分性成立；反之，若a+b0且ab0，则a,b同号且同为正，即a0，b0，必要性成立.答案：答案：充要4. （2008四川）设f(x)=sin(x+)，其中0，则f(x)是偶函数的充要条件是.解析：解析：f(x)=sin(x+)是偶函数,由函数f(x)=sin(x+)的图象特征可知x=0必是f(x)的极值点，f(0)=0,即cos =0.=k+ ,kZ.答案：答案：=k+ ,kZ5. (2009北京改编）“= +2k(kZ)”是“cos 2= ”的条件.解析：解析：由= +2k(kZ)可得到cos2= .由cos 2= ，得2=2k (kZ)，=k (kZ).而由cos 2= 不一定得到= +2k(kZ).答案：答案：充分不必要6. 命题“若x,y是奇数，则x+y是偶数”的逆否命题是;它是命题(真或假).解析：解析：原命题是真命题,所以其逆否命题也是真命题.答案：答案：若x+y不是偶数，则x,y不都是奇数真7. （2009湖南改编）对于非零向量a、b，“a+b=0”是“ab”的 条件.解析：解析：由a+b=0知a与b互为相反向量，从而ab，充分性成立.由ab知a=b（0）.当-1时，a+b0，从而必要性不成立.答案：答案：充分不必要8. 命题p:、为第一象限角且，命题q:tan tan ，则p是q的 条件.解析：解析：若=360+30,=60，则tan tan ,tantan,即pq，qp.答案：答案：既不充分也不必要二、解答题二、解答题9. “m= ”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+(m+2)y-3=0互相垂直”的 条件.解析：解析：由（m-2）(m+2)+3m(m+2)=0,即（m+2）(4m-2)=0，得m=-2或m= .答案：答案：充分不必要10. 已知不等式|x-m|1成立的充分不必要条件是 求m的取值范围解析解析 |x-m|1 -1+mx1+m， 时，必有 |x-m|1 即-1+mx1+m-1+m ，且1+m ,由此得.11.已知 ， ，若 是 的充分条件，求实数a的取值范围 解析解析 即 则有 解得1x3. 12. 已知P=x| -8x-200，S=x|x-1|m.是否存在实数m，使xP是xS的充要条件，若存在，求出m的取值范围.若不存在，试说明理由.解析： 由题意知 则p=s当m0时,即 ，要使p=s, ，此方程组无解。综上所述，不存在m使第三节第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最 新 课 程 标 准2010年考试说明内容要求1.了解逻辑联结词 “或”“且”“非”的含义.能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容（对真值表不作要求）.2.了解全称量词与存在量词的意义.能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.3.了解对含有一个量词的命题的否定的意义.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.简单的逻辑联结词A全称量词与存在量词A基础梳理基础梳理1. 命题pq,pq, p的真假判断pqpqpq,p真真 真真假真假真假假假真真假真假假假假真2. 全称量词(1)短语“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“x”表示“对任意x”.（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题.（3）全称命题：xM,p(x),其中M为给定集合,p(x)是一个含有x的语句.3. 存在量词（1）短语“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在在逻辑中称为存在量词，通常用符号“x”表示“存在x”.（2）含有存在量词的命题，叫做存在性命题.（3）存在性命题：xM，p(x),其中M为给定集合，p(x)是一个含有x的语句.4. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定基础达标基础达标1. （教材改编题）有下列命题：2004年10月1日既是国庆节，又是中秋节；10的倍数一定是5的倍数；梯形不是矩形.其中使用逻辑联结词的命题的序号是 .解析解析： 中有“且”；中没有；中有“非”.答案答案： 2. （教材改编题）“xR，使得 +10成立.解析解析 （1）(2）xR，yR，2x3y30题型三题型三 全称命题、存在性命题的否定全称命题、存在性命题的否定例3 先将命题 改写成含有量词的命题，然后再写出它的否定.分析 要能读出所给命题中是含全部的意思，还是含存在的意思，从而将命题进行改写。解 此命题改写成“对任意的满足 ”的实数x,有x1此命题的否定为:存在某个满足 的实数x,有 学后反思 此题中在对命题进行否定时，不能对原来给出的命题直接进行否定，而应先将其改写成含量词的命题，再进行否定。举一反三举一反三3写出命题“所有等比数列 的前n项和是 （q是公比）”的否定解析 “存在等比数列 的前n项和不是 （q是公比）”。是真命题题型四题型四 对复合命题真假判断的综合应用对复合命题真假判断的综合应用 例4 已知两个命题 r(x): sin x+cosxm,s(x): 如果对 为假， 为真，求实数m的取值范围. 分析 由题意可知,r(x)与s(x)有且只有一个是真命题，所以可 以先求出对 时，r(x),s(x) 都是真命题时m的取值围，再按要求分情况讨论出所求m的取值范围.解 当r(x)是真命题时，有 3 若 ,s(x)为真命题，即 恒成立。有 , 4 当r(x)为真,s(x)为假时， ，同时 即 8 当r(x)为假，s(x)为真时， 且即 12 综上，实数m的取值范围是 或 14学后反思 （1）含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的（一个或两个）命题的真假，求此时参数成立的条件；其次求出含逻辑联结词的命题成立的条件。（2） 至少一个为真； 均为假 均为真 至少一个为假；举一反三举一反三4.命题p:方程 +mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q:方程 +4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题，求m的取值范围解析解析:“p或q”为真命题，则p为真命题或q为真命题. = -40，当p为真命题时，则 =-m0, 解得m-2; =10，当q为真命题时，则=16 -160,得-3m-1.m的取值范围是（-,-1）.易错警示易错警示 判断以下命题的真假（1）对于实数 ，若 ，则 ；（2）5是15和28的公约数。错解 因为 ，所以 不成立，故原命题为假（2）5是15的约数，故5是15和28 的公约数。错解分析 判断错误的根本原因在于没有正确的判断所给的命题是哪种复合形式的命题，因此解题时最好将复合命题写出“p或q”及 “p且q”的形式，然后再根据真值表给出判断。正解 （1）对于实数x ，若 ，则 或 ，命题属于“ ” 的形式，而 真命题，故原命题是真命题 （2） 命题可写成：5是15的约数且5是28的约数，属于“ ”形式，由于5是28的约数是假命题，故原命题是假命题。 1.若命题“p且q”为假，且“ ”，则p为 命题，q为 命题。 解析：解析：“ ”为假，则p为真命题,而“pq”为假，得q为假 答案：答案：真 假2. 若条件p:xAB,则 是 。 解析解析: : ：xAB,故x至少不属于A,B中的一个.答案：答案：xA或xB 3. 已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题： q pq 其中为真命题的是 。解析：解析：p为真， 为假，q为假， 为真，所以为假，为真.答案：答案： 4. 如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：命题“p且q”是真命题；命题“p且q”是假命题；命题“p或q”是真命题；命题“p或q”是假命题.其中正确的结论是 （填序号） 解析：解析：“非p或非q”是假命题“非p”与“非q”均为假命题.答案：答案：5. （2010江苏模拟）下列命题中正确的是 (填序号).a,bR,an=an+b，有an是等差数列;a,bR,Sn=a +bn，使an是等差数列;a,bR,Sn=a +bn+c,有an是等差数列;a,b,cR,Sn=a +bn+c,使an是等差数列.解析：解析：当c0时，若Sn=a +bn+c,则an一定不是等差数列.答案：答案：6. （2010深圳模拟）已知命题p:“x1,2, -a0”，命题q:“xR， +2ax+2-a=0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是 .解析：解析：由已知，p和q均为真命题.由命题p为真，得a1；由命题q为真，得a-2或a1，所以a-2或a=1.答案：答案：a-2或a=17. 已知m、n是不同的直线，、是不重合的平面.命题p：若，m,n，则mn；命题q:若m,n,mn，则；下面的命题中，pq;pq；p q 真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）. 解析：解析：由已知易得p假，q真，所以 为真， 为假，所以为真命题.答案：答案：8. “末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是 ；否命题是 .答案：答案：存在末位数是0或5的整数不能被5整除所有末位数不是0且不是5的整数，不能都被5整除9. 已知命题p:xR,mR,使 +m=0，若命题是假命题，则实数m的取值范围是 。 解析：解析： 是假命题，命题p是真命题，即关于x的方程4x-2x+1+m=0有实数解. 方程变为m= ,设f(x)= 1,当xR时，f(x)1，m1.m的取值范围是（-，1.答案：答案：（-，110 再一次投篮训练中，小明连续投了2次，设命题 p是“第一次投中”,q是“第二次投中”。试用p,q以及逻辑联结词 “ ” 表示下列命题 :(1)两次都没投中；（2）两次都投中了；（3）至少有一次中 解析： （1） （2） （3）11 写出下列命题的否定，并判断其真假。（1）（2）q:所有的正方形都是矩形;(3)r:(4)s:至少有一个实数x，使解析 （1） ，假命题 恒成立（2） ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题。（3） ： ，真命题。由于 恒成立（4） ： 假命题，由于当x=-1时，12.已知命题p:方程 有两个不等的负实根，命题q: 方程 无实根。若 p或q 为真，p 且q 为假，求实数m的取值范围解析 由已知得：p,q 中有且仅有一个为真，一个为假 p: (1)若p假q真，则 (2)若 真 假，则 综上所述，一、对集合的理解以及集合思想的应用一、对集合的理解以及集合思想的应用集合是高中数学的基础知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.通过复习,考生应树立运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.【例1】设A=(x,y)| x1=0,B=(x,y)|4 +2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，证明此结论.分析分析 本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.解决此题的关键是将条件(AB)C=转化为AC=且BC=，这样难度就降低了.由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、kN,进而可得值.解解(AB)C=，AC=且BC=. =x+1, +(2bk1)x+ 1=0. y=kx+b, AC=,4 4bk+10, 即 1; 4 +2x-2y+5=0, y=kx+b,4 +(22k)x+5-2b=0.BC=, 2k+8b190, 从而8b20,即b2.5; 由及bN,得b=2，代入由 0和 0组成的不等式组，得 4 -8k+10, -2k-30且kN,k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(AB)C=.二、数形结合思想在集合问题中的应用二、数形结合思想在集合问题中的应用在解决一些集合问题时，求数集常用的方法为数轴法,取交并集，如果是点集,常常通过画出函数的图象，观察图象的交点以及位置关系来解决问题.Venn图法在解决有限集之间的关系时也会经常用到.【例2】向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人,问:对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？分析分析 解答本题的关键是考生能由题目中的条件画出Venn图，形象地表示出各数量关系间的联系.记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A,赞成事件B的学生全体为集合B.设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30x，赞成B而不赞成A的人数为33x.依题意(30x)+(33x)+x+ +1=50,解得x=21.所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.解解 赞成A的人数为50 =30，赞成B的人数为30+3=33，如图，三、充要条件的理解与判定方法三、充要条件的理解与判定方法充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系,力求通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.【例3】已知数列 的前n项和 ,求数列 是等比数列的充要条件.分析分析 本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.以等比数列的判定为主线，本题的关键在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.由关系式 去寻找 与 的比值，但同时要注意充分性的证明.解解 ,当n2时， ,p0,p1, ,若 为等比数列，则 , ,p0，p-1=p+q，q=1.这是 为等比数列的必要条件.下面证明q=1是 为等比数列的充分条件.当q=1时， , .当n2时， , 为常数,q=1时，数列 为等比数列.即数列 是等比数列的充要条件为q=1.四、逻辑用语在描述数学问题中的应用四、逻辑用语在描述数学问题中的应用 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力而设置的.关于逻辑用语的知识较为抽象，在高考命题中较少单独考查这一方面知识，更多会作为一种描述数学问题的语言出现.所以,结合实际问题对逻辑用语进行理解是掌握这方面知识的关键.分析分析 首先对命题进行等价转化，然后运用真值表判断题目中复合命题与简单命题的真假关系.【例4】已知c0，设命题P：函数 为减函数;命题Q：当 时，函数 恒成立.如果P或Q为真命题，P且Q为假命题，求c的取值范围.解解 由 为减函数,得0c1.当 时，因为 故函数f(x)在 上为减函数，在(1,2上为增函数.故 在 上的最小值为f(1)=2.当 时,由函数 恒成立，得 ,解得 .如果P真，且Q假，则0c .如果P假，且Q真，则c1.所以c的取值范围为(0, 1,+). 1. （2009辽宁改编）已知集合M=x|-3x5，N=x|-5x5,则MN= .解析：解析：画出数轴，找出两个区间的公共部分，即得MN=x|-3x5.答案：答案：x|-3x52. （2009湖北改编）已知P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR,Q=b|b=(1,1)+n(-1,1),nR是两个向量集合，则PQ= .解析：解析：P=a|a=(1,m),mR,Q=b|b=(1-n,1+n),nR,PQ=b|b=a,令a=b,a=b=(1,1)，即PQ=(1,1).答案：答案：(1,1)3. （2009安徽改编）下列命题中，p是q的必要不充分条件的是（填写序号）.p:a+cb+d,q:ab且cd；p:a1,b1，q:f(x)= -b(a0,且a1)的图象不过第二象限；p:x=1,q: =x；p:a1，q:f(x)= (a0,且a1)在(0,+)上为增函数.解析：解析：中，ab，cda+cb+d（不等式的性质），反之不成立，例如：8+26+3,a=8,b=6,c=2,d=3，ab但cd,故p是q的必要不充分条件；中，p是q的充分不必要条件；中,p是q的充要条件.答案：答案：4. （2009宁夏、海南改编）有四个关于三角函数的命题：p1:xR, ;p2:x,yR,sin(x-y)=sin x-sin y；p3:x0, =sin x；p4:sin x=cos yx+y= .其中的假命题是 .解析：解析：因为 恒成立，故p1错；当x=y=0时，sin(x-y)=sin x-sin y,p2对； ,当x0,时，sin x0, ,p3对；当x= ，y= 时，sin x=cos y成立，但x+y ,p4错.答案：答案：p1,p45. （2009江苏）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若 内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；（3）设和相交于直线l,若内有一条直线垂直于l,则和垂直；（4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）.解析：解析：由面面平行的判定定理可知，（1）正确.由线面平行的判定定理可知，（2）正确.对于（3）来说，内的直线只垂直于和的交线l,得不到其是的垂线，故也得不出.对于（4）来说，l只有和内的两条相交直线垂直，才能得到l.也就是说当l垂直于内的两条平行直线时，l不一定垂直于.答案：答案：（1）（2）第一节第一节 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理基础梳理基础梳理1. 归纳推理(1)归纳推理的定义从 中推演出 的结论,像这样的推理通常称为归纳推理.(2)归纳推理的思维过程大致如图 .(3)归纳推理的特点归纳推理的前提是 ,归纳所得的结论是 ,该结论超越了前提所包容的范围.实验、观察概括、推广猜测一般性结论个别事实一般性几个已知的特殊现象尚属未知的一般现象由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过 和 ,因此,它不能作为 的工具.归纳推理是一种具有 的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们 问题和 问题.2. 类比推理(1)根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理.(2)类比推理的思维过程是: 3. 演绎推理(1)演绎推理是一种由 的命题推演出 的推理方法.(2)演绎推理的主要形式是三段论式推理.观察、比较联想、类推猜测新的结论逻辑证明实践检验数学证明创造性发现提出一般性特殊性命题(3)三段论的常用格式为 其中,是 ,它提供了一个一般性的原理;是 ,它指出了一个特殊对象;是 ,它是根据一般原理,对特殊情况作出的判断.典例分析典例分析题型一题型一 归纳推理归纳推理【例1】如图所示：一个质点在第一象限运动,在第一秒钟内它由原点运动到（0，1），而后接着按图所示在与x轴,y轴平行的方向上运动，M-P(M是P)S-M(S是M)S-P(S是P)大前提小前提结论且每秒移动一个单位长度，那么2 000秒后，这个质点所处位置的坐标是 .分析 归纳走到（n,n）处时，移动的长度单位及方向.解 质点到达（1，1）处，走过的长度单位是2,方向向右；质点到达（2，2）处，走过的长度单位是6=2+4,方向向上；质点到达（3,3）处，走过的长度单位是12=2+4+6,方向向右；质点到达（4,4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上；猜想：质点到达(n,n)处，走过的长度单位是2+4+6+2n=n(n+1),且n为偶数时运动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同.所以2 000秒后是指质点到达（44,44）后，继续前进了20个单位，由图中规律可得向左前进了20个单位,即质点位置是（24,44）.学后反思 归纳推理分为完全归纳和不完全归纳,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对科学的发现是十分有用的.观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.1. 在数列an中，a1=1, nN*,试猜想这个数列的通项公式.举一反三举一反三解析: ,，猜想： .题型二题型二 类比推理类比推理【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.分析 实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加以比较.解 （1）两实数相加后，结果是一个实数,两向量相加后，结果仍是向量;（2）从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即a+b=b+a,a+b=b+a,（a+b）+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c);（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a+x=0与a+x=0都有惟一解，x=-a与x=-a；（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向,即a+0=a.学后反思 (1)类比推理是个别到个别的推理，或是由一般到一般的推理.(2)类比是对知识进行理线串点的好方法.在平时的学习与复习中，常常以一到两个对象为中心，把它与有类似关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆运用.2. 类比圆的下列特征，找出球的相关特征.举一反三举一反三（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;（2）平面内不共线的3个点确定一个圆；（3）圆的周长和面积可求;（4）在平面直角坐标系中,以点（x0,y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x-x0）2+(y-y0)2=r2.解析:（1）在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球;（2）空间中不共面的4个点确定一个球;（3）球的表面积与体积可求;（4）在空间直角坐标系中，以点(x0,y0,z0)为球心，r为半径的球的方程为（x-x0）2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.题型三题型三 演绎推理演绎推理【例3】(14分)已知函数f(x)=ax+bx,其中a0,b0,x(0,+)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.证明 设0x1x2, .1则f(x1)-f(x2)=( +bx2)-( +bx2)=(x2-x1)( -b).3当0x1x2 时，则x2-x10,0x1x2 , b,.6f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), .7f(x)在(0, 上是减函数；.8当x2x1 时，则x2-x10,x1x2 , b,.10f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),.12f(x)在 ,+）上是增函数. .14分析 利用演绎推理证明,根据单调性的定义分情况讨论.学后反思 这里用了两个三段论的简化形式，都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义;第二个三段论所依据的大前提是增函数定义，小前提分别是f(x)在(0, 上满足减函数的定义和f(x)在 ,+)上满足增函数的定义，这是证明该问题的关键.3.用三段论证明函数f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.举一反三举一反三证明： 设x1(-,1,x2(-,1,x1x2,则x=x2-x10.y=f(x2)-f(x1)=(-x22+2x2)-(-x12+2x1)=x12-x22+2x2-2x1=(x1+x2)(x1-x2)+2(x2-x1)=(x1-x2)(x1+x2-2).x1x21,x1+x22,x1+x2-20,(x1-x2)(x1+x2-2)0.则f(x2)-f(x1)0 f(x2)f(x1),f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.易错警示易错警示【例】在RtABC中，三边长为a,b,c,则c2=a2+b2.类比在三棱锥中有何结论?错解 在三棱锥VABC中,有S2VAB+S2VBC+S2VAC=S2ABC错解分析 错解错误在于没有注意到原命题中的三角形是直角三角形，在解题中没有把三棱锥的题设与其进行类比.正解 在三棱锥V-ABC中，VAVBVC,则S2VAB+S2VBC+S2VAC=S2ABC.考点演练考点演练10. (2010衡水模拟)设函数f(x)= ,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求f(-5)+f(0)+f(5)+f(6)的值.解析： 由题意知:f(x)+f(1-x)=f(-5)+f(0)+f(6)=f(-5)+f(6)+f(-4)+f(5)+f(-3)+f(4)+f(-2)+f(3)+f(-1)+f(2)+f(0)+f(1)= .11.观察下列等式:sin210+cos240+sin 10cos 40= ;sin26+cos236+sin 6cos 36= .由上面两题的结构规律,你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想.解析： 由可看出,两角差为30,则它们的相关形式的函数运算式的值均为 .猜想,若-=30,则=30+,sin2+cos2+sin cos = .也可直接写成:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)= .证明:左边= +sin cos(+30)= +sin (cos cos 30-sin sin 30)= - cos 2+ + cos 2- sin 2+ =右边,故sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)= .12. (创新题)小朋用第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”摆出如图(1)、(2)、(3)、(4)这四个图案,现按同样的方式构造图形,设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”.(1)试写出f(5)、f(6)的值;(2)归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并求出f(n)的表达式;(3)求证: 解析: (1)f(5)=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41,f(6)=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1=61.(2)因为f(2)-f(1)=3+1=4,f(3)-f(2)=5+3=8,f(4)-f(3)=7+5=12,归纳得f(n)-f(n-1)=4(n-1),则f(n+1)-f(n)=4n.f(n)=f(n)-f(n-1)+f(n-1)-f(n-2)+f(2)-f(1)+f(1)=4(n-1)+(n-2)+2+1+1=(3)证明:当k2时,