2 矩阵的矩阵的相似对角化相似对角化一、相似矩阵的概念一、相似矩阵的概念二、矩阵的相似对角化二、矩阵的相似对角化一、相似矩阵的概念一、相似矩阵的概念显然，矩阵的相似满足如下三个基本性质：显然，矩阵的相似满足如下三个基本性质：(1) 反身性反身性 A A ；记为记为 A B(2) 对称性对称性 A B ，则，则 B A ；(3) 传递性传递性 A B, B C, 则则A C 。二、矩阵的相似对角化二、矩阵的相似对角化证明证明定理定理1推论推论1 若若 阶方阵阶方阵A与对角阵与对角阵 若若n阶矩阵阶矩阵A与与n阶对角矩阵相似，则称阶对角矩阵相似，则称A可以可以对角化对角化 对角阵具有诸多良好的性质，而这些性质往对角阵具有诸多良好的性质，而这些性质往往又被与其相似的矩阵共享。于是很自然就会产往又被与其相似的矩阵共享。于是很自然就会产生这样一个问题：满足什么条件的阶方阵才可对生这样一个问题：满足什么条件的阶方阵才可对角化？角化？ 定理定理2 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论2（A与对角阵相似的充分条件与对角阵相似的充分条件）如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化还是能对角化说明说明例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解解之得基础解系解之得基础解系求得基础解系求得基础解系解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角例例2 2解解解之得基础解系解之得基础解系所以所以 可对角化可对角化.注意注意即即矩阵矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应例例 3 3设设问问x为何值时，矩阵为何值时，矩阵A能对角化？能对角化？解：解：得得所以所以