第三章第三章 微分中值定微分中值定理与导数的应用理与导数的应用主讲人：张少强主讲人：张少强Tianjin Normal UniversityTianjin Normal University计算机与信息工程学院计算机与信息工程学院三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 微分中值定理微分中值定理函数的性态函数的性态导数的性态导数的性态函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限 转化转化( 或或 型型)本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则一、一、存在存在 (或为或为 )定理定理 1.型未定式型未定式(洛必达法则洛必达法则) ( 在在 x , a 之间之间)证证: 无妨假设无妨假设在指出的邻域内任取在指出的邻域内任取则则在以在以 x, a 为端点的区间上满足柯为端点的区间上满足柯故故定理条件定理条件: 西定理条件西定理条件,存在存在 (或为或为 )推论推论1.定理定理 1 中中换为换为之一之一,推论推论 2. 若若理理1条件条件, 则则条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理定理 1 仍然成立仍然成立.洛必达法则洛必达法则例例1. 求求解解: 原式原式注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !例例2. 求求解解: 原式原式 二、二、型未定式型未定式存在存在 (或为或为)定理定理 2.证证: 仅就极限仅就极限存在的情形加以证明存在的情形加以证明 .(洛必达法则洛必达法则)1)的情形的情形从而从而2)的情形的情形. 取常数取常数可用可用 1) 中结论中结论3)时时, 结论仍然成立结论仍然成立. ( 证明略证明略 )说明说明: 定理定理中中换为换为之一之一,条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理仍然成立定理仍然成立.再由上面已知再由上面已知2)2)的结论的结论. .例例3. 求求解解:原式原式例例4. 求求解解: (1) n 为正整数的情形为正整数的情形.原式原式例例4. 求求(2) n 不为正整数的情形不为正整数的情形.从而从而由由(1)用夹逼准则用夹逼准则存在正整数存在正整数 k , 使当使当 x 1 时时,例例3. 例例4.说明说明:1) 例例3 , 例例4 表明表明时时,后者比前者趋于后者比前者趋于更快更快 .例如例如,而而用洛必达法则用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题计算问题 . 3) 若若例如例如P137. 题题2,极限不存在极限不存在三、其他未定式三、其他未定式:解决方法解决方法:通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取对数取对数转化转化例例5. 求求解解: 原式原式解解: 原原式式例例6. 求求通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取对数取对数转化转化例例7. 求求解解: 利用利用 例例5通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取对数取对数转化转化例例8. 求求解解: 注意到注意到原式原式例例9. 求求分析分析: 为用洛必达法则为用洛必达法则 , 必须改必须改求求法法1 用洛必达法则用洛必达法则但对本题用此法计算很繁但对本题用此法计算很繁 ! 法法2原式原式内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则令令取对数取对数思考与练习思考与练习1. 设是未定式极限 , 如果不存在 , 是否的极限也不存在 ? 例如 P.139. 2极限原式分析分析:分析分析:3.原式则4. 求解解: 令原式作业作业 P137 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), 4