20242024年年7 7月月2727日日1 15-3 质点系动量矩定理20242024年年7 7月月2727日日2 2v 质点系的质点系的动量矩动量矩v 质点系对固定点的动量矩定理质点系对固定点的动量矩定理v 质点系对运动点的质点系对运动点的动量矩定理动量矩定理几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题20242024年年7 7月月2727日日3 3？ 直升飞直升飞机如果没有机如果没有尾翼将发生尾翼将发生什么现象什么现象20242024年年7 7月月2727日日4 4？ 为什么为什么二者转动二者转动方向相反方向相反20242024年年7 7月月2727日日5 5？ 航天器是航天器是怎样实现姿怎样实现姿态控制的态控制的20242024年年7 7月月2727日日6 6？谁最先到谁最先到 达顶点达顶点20242024年年7 7月月2727日日7 7？ 跳远运跳远运动员怎样动员怎样使身体在使身体在空中不发空中不发生转动生转动20242024年年7 7月月2727日日8 8？跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动20242024年年7 7月月2727日日9 9？ 无论力偶无论力偶加在哪里，加在哪里，为什么圆盘为什么圆盘总是绕着质总是绕着质心转动心转动20242024年年7 7月月2727日日1010？ 无论力偶加无论力偶加在哪里，为什在哪里，为什么圆盘总是绕么圆盘总是绕着质心转动着质心转动20242024年年7 7月月2727日日1111？猫为何猫为何能翻身能翻身20242024年年7 7月月2727日日1212 一、 质点系的动量矩1. 对固定点对固定点O（数学上完全类似力（数学上完全类似力矩）矩） 2. 对运动点对运动点A（2）对两个固定点）对两个固定点A,O 之关系之关系（1）对固定轴）对固定轴 20242024年年7 7月月2727日日1313(2)相对动量矩相对动量矩（在（在A点固定平移系）点固定平移系）(3)绝对动量矩与相对动量矩的关系绝对动量矩与相对动量矩的关系（1）绝对动量矩）绝对动量矩20242024年年7 7月月2727日日14143.刚体的动量矩刚体的动量矩（对定点（对定点A）（对运动点A， 形式同上，但 为一般运动矢） （1）平移刚体的动量矩）平移刚体的动量矩（2）定轴转动刚体）定轴转动刚体(有质量对称面且垂直于转轴有质量对称面且垂直于转轴z)的动量矩的动量矩20242024年年7 7月月2727日日1515平行轴定理：平行轴定理：转动惯量计算的例20242024年年7 7月月2727日日1616工程中：工程中：（3）平面运动刚体）平面运动刚体(有质量对称面且垂直于转有质量对称面且垂直于转轴轴z)的动量矩的动量矩 Z过质心过质心C时：时： Z过任意定点过任意定点A时：时： Z过速度瞬心过速度瞬心CV时：时：20242024年年7 7月月2727日日1717均质轮滚动，均质轮滚动，已知已知思考：思考：均质轮纯滚，已知均质轮纯滚，已知答：答：答：答：20242024年年7 7月月2727日日1818各构件质量均为各构件质量均为mc答：答：20242024年年7 7月月2727日日1919c20242024年年7 7月月2727日日2020已知滑轮已知滑轮A：m1、R1，R1=2R2，JO;滑轮滑轮B：m2、R2，JC ；物体物体C：m3求系统对求系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。答：答：20242024年年7 7月月2727日日2121二、质点系对固定点的动量矩定理矢量微分矢量微分式式几何解释（赖柴定理），类比几何解释（赖柴定理），类比 矢端速度等于外力系对矢端速度等于外力系对o的主矩的主矩矢量积分式矢量积分式冲量矩定理冲量矩定理1.矢量式矢量式20242024年年7 7月月2727日日2222 例1 图示变截面弯管中的稳定流体。已知图示变截面弯管中的稳定流体。已知 重力重力G，入、出口相邻流体压力，入、出口相邻流体压力 ，试求，试求流体对管壁流体对管壁 的附加动约束力矩的附加动约束力矩.20242024年年7 7月月2727日日2323 解:由定点由定点O向入、出口处的二个质量微团向入、出口处的二个质量微团m的的质心质心与与分别引位矢分别引位矢,则在则在t内内20242024年年7 7月月2727日日2424注意到注意到 且有且有故动约束力矩故动约束力矩代入中，得20242024年年7 7月月2727日日25252 .投影式投影式:微分投影式微分投影式积分投影式积分投影式20242024年年7 7月月2727日日2626例例2 已知已知已知已知对整体，受力如图对整体，受力如图由由(不用隔离体法)解解解解: :20242024年年7 7月月2727日日2727例例3 均质圆柱体均质圆柱体A和和B的重量均的重量均为为W,半径均为半径均为r，绳重和轴，绳重和轴O处处摩擦不计系统初始静止。摩擦不计系统初始静止。求：求：在圆柱体在圆柱体A上作用一逆时针上作用一逆时针转向的力矩转向的力矩M，试问在什么条，试问在什么条件下圆柱件下圆柱B的质心将上升？的质心将上升？M20242024年年7 7月月2727日日2828由动量矩定理：由动量矩定理：取系统为研究对象取系统为研究对象解解：20242024年年7 7月月2727日日2929补充运动学方程补充运动学方程当当M 2Wr 时，时， ，圆柱，圆柱B的质心将上升。的质心将上升。20242024年年7 7月月2727日日30303. 守恒式守恒式:20242024年年7 7月月2727日日3131如圆锥摆：如圆锥摆：20242024年年7 7月月2727日日3232答：若不计绳与滑轮的质量，则若不计绳与滑轮的质量，则若考虑绳与滑轮的质量，则若考虑绳与滑轮的质量，则 显然，显然，思考：猴子爬绳比赛，猴子爬绳比赛，20242024年年7 7月月2727日日3333例4 图示水平光滑管，绕铅直轴图示水平光滑管，绕铅直轴z转动，转动，A,B两球细绳相连两球细绳相连,已知已知: 求求 （不计摩擦和绳重）（不计摩擦和绳重）20242024年年7 7月月2727日日3434 三、质点系相对运动点的动量矩定理 对一般运动点对一般运动点A 20242024年年7 7月月2727日日3535 1 .定理的一般形式定理的一般形式对一般动点对一般动点A由于修正项，工程中一般不用，用于非惯性系中由于修正项，工程中一般不用，用于非惯性系中.平移系中，平移系中， （绝对导数相对导数）（绝对导数相对导数）20242024年年7 7月月2727日日36362. 定理的特殊形式定理的特殊形式使修正项使修正项 的情形的情形（3） 即，A为质心 C（2） 与 共线， 20242024年年7 7月月2727日日37371）均质杆，绳段瞬）均质杆，绳段瞬时时 思考：思考：用最简方法求用最简方法求解：解：20242024年年7 7月月2727日日3838 2）均质轮滚动）均质轮滚动解：解：20242024年年7 7月月2727日日3939 3)（当，CvC=常数时， 指向C）20242024年年7 7月月2727日日40404) 半圆柱，一般位半圆柱，一般位置置 不指向不指向c，当直径面水平时，当直径面水平时， 指向指向c解：解：20242024年年7 7月月2727日日4141可解释：猫在下落过程中的翻身问题？可解释：猫在下落过程中的翻身问题？ 跳水时如何产生旋转运动？跳水时如何产生旋转运动？ 转椅上的人如何能转椅上的人如何能 转动转动 ？ 3. 动量矩相对守恒动量矩相对守恒对质心轴:若若 则，则，若若 则，则，20242024年年7 7月月2727日日42424 . 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程与动量定理和动量矩定理数学上等价与动量定理和动量矩定理数学上等价 由 有 分解为随质心分解为随质心c平移绕轴平移绕轴c转动转动 由20242024年年7 7月月2727日日4343 例例例例5.5. 可见：当可见：当h3R/2时，时， 向右向右20242024年年7 7月月2727日日4444例例6：20242024年年7 7月月2727日日4545解：解：解：解：而而又又故故20242024年年7 7月月2727日日4646思考思考思考思考 ：20242024年年7 7月月2727日日4747例例7 已知已知:r,R,试建立圆柱体的运动微分方程试建立圆柱体的运动微分方程 解：解：