第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念 3.2 交流电压测量技术与测量方法交流电压测量技术与测量方法 3.3 正弦量的相量表示法及复数运算正弦量的相量表示法及复数运算 3.4 单一元件的正弦交流电路单一元件的正弦交流电路 3.5 阻抗串联和并联的正弦交流电路阻抗串联和并联的正弦交流电路 3.6 变压器变压器 3.7 谐振电路谐振电路 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.1是电力系统的简化框图, 发电机输出的是正弦交流电，通过变压器升压后便于传输，然后又通过变压器逐步降压后送到用户端。3.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.1 电力系统简化框图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.1.1 正弦量的三要素正弦量的三要素 正弦交流电(或信号)在任一时刻的值u(t)、 i(t)，称为瞬时值，其电压或电流随时间按正弦函数变化。在指定的参考方向下，正弦电压、 电流的瞬时值表示为(参见图3.2和图3.3) u(t)=Umsin(t+u) (3-1) i(t)=Imsin(t+i) (3-2)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.2 正弦交流电压波形 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.3 正弦交流电流波形第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (1) 振幅值: 正弦量瞬时值中的最大值叫振幅值，也叫峰值，如图3.2(或图3.3)所示的Um(或Im)。幅值的单位与相应的电压(或电流)单位保持一致。 (2) 角频率(或频率f、 周期T)： 周期性交变量(或正弦量)循环一次所需的时间叫周期T。交流量在单位时间内完成循环的次数叫做频率f。角频率表示在单位时间内正弦量所经历的电角度。在一个周期T时间内，正弦量经历的电角度为2弧度，如图3.2(或图3.3)所示。周期与频率、 角频率的关系为 (3-3)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 周期T的单位为秒(s)，频率f的单位为赫兹(Hz)，角频率的单位为弧度/秒(rad/s)。频率单位1 Hz(赫兹)表示交流量在1秒钟完成1个循环。赫兹的一千倍称为千赫，用kHz表示。赫兹的一百万倍称为兆赫，用MHz表示:1 kHz=103Hz， 1 MHz=106Hz第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (3) 初相u, i与相位： t+u为电压正弦量的相位角，t+i为电流正弦量的相位角，简称相位。显然正弦量在不同的瞬间有着不同的相位，因而有着不同的状态(包括瞬时值和变化趋势)。 u, i(见图3.2和图3.3)为电压和电流的初相位或初相角(简称初相)。初相反映了正弦量在计时起点(即t=0时)所处的状态。正弦量的相位和初相都和计时起点的选择有关。正弦量在一个周期内瞬时值两次为零，现规定由负值向正值变化之间的一个零叫正弦量的零值。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 若只改变电压信号的频率(亦即周期)，u1(t)=Umsint改变为u2(t)=Umsin2t，波形的变化如图3.4(b)所示。 若只改变电压信号的初相，u1(t)=Umsint改变为u2(t)=Um sin(t+2)，则波形的变化如图3.4(c)所示。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.4 正弦量的三要素对波形的影响第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.1.2 相位差相位差 两个同频率正弦量的相位之差, 称为相位差。例如式(3-1)、 式(3-2)电压和电流的相位差为 =(t+u)(t+i)=ui (3-4)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 在正弦电路的分析与计算中，我们发现同一电路中的各电压、 电流都是同频率的正弦量，而且有一定的相位差，此时需考虑它们之间的相位差。注意，各正弦量必须以同一瞬时为计时起点才能比较它们的相位差。对于相位差为零(即初相相同)的两个正弦量，称之为同相，如图3.4(a)所示。如图3.4(c)所示，两电压之间的相位差为=21，我们称电压u2超前电压u1角，或电压u1滞后电压u2角。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.1.3 正弦量的有效值正弦量的有效值由于正弦量的瞬时值是随时间变化的，无论是测量还是比较或计算都不方便，因此在实际应用中，采用交流电的有效值来反映交流电的大小。比如我们常说的220 V的工频电、 交流仪表测量电压或电流所指示的值、 电器和电机铭牌上标示的额定电压和电流的值等，均是交流电的有效值。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 情境情境8 220 V交流工频电压的幅值交流工频电压的幅值若购得一台其电源耐压为 300V 的进口电器，是否可以将该电器的电源插头插进我们平时使用的220 V的工频电的插座上?工频电所说的220 V就是交流电的电压有效值。像直流电的数值一样，采用交流电的有效值来反映正弦交流电的平均作功能力。即采用交流电对电阻的热效应能量的大小来反映交流电量的大小。用大写的英文字母表示交流电的有效值，如I、 U分别表示交流电的电流有效值和电压有效值。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 交流电的有效值根据它的热效应确定： 如交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流电流I通过同一电阻R在同样时间内所产生的热量相等，则这个直流I的数值叫做交流i的有效值。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 根据热量相等得正弦电流有效值与正弦量幅值的关系： (3-5)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 同样得正弦电压有效值与正弦量幅值的关系： (3-6)或 (3-7)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 有效值又叫均方根值。显然正弦量的有效值为其幅值的0.707倍，有效值能够反映交流电量的大小，可以代替振幅值作为正弦量的一个要素。即正弦量常表示为 电压： u=Usin(t+u) 电流： i= Isin(t+i) (3-8)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 回答情境回答情境8的问题的问题 我国家庭和工作场所所用的工频电源(插座)的电压为220 V，指的就是工频交流电压的有效值是220V，其幅值(最大值)实际为Um= U= 220=311(V)。而该电器最高耐压300V低于电源电压的最大值，所以电源最大值311V超过了该电器的最高耐压300 V，该电器不能用。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.1已知某正弦交流电压、 电流的瞬时值分别为:分别写出该电压、 电流的幅值和有效值，频率、 周期、 角频率，初相以及电压与电流的相位差。 解解电压、 电流的幅值 Um=300mV，Im=5 mA第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 有效值 角频率 =2000 频率第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 周期 初相 电压与电流的相位差第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.2.1 交流电压测量的基本要求及其分类交流电压测量的基本要求及其分类 (1) 频率范围足够宽，从几十赫兹到几百兆赫兹。(2) 电压测量范围足够宽，从零点几微伏至几十千伏。(3) 测量准确度足够高。(4) 输入阻抗足够高。(5) 抗干扰能力足够强。(6) 能测量各种波形的信号电压。 3.2 交流电压测量技术与测量方法交流电压测量技术与测量方法 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.2.2 交流电压的测量原理和测量方法交流电压的测量原理和测量方法 1. 表征交流电压的几个参数表征交流电压的几个参数交流电压的表征量包括平均值、 峰值Up、 幅值Um、 有效值U、 波形因数kF、 波峰因数kp。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.5 交流电压的峰值、幅值、平均值第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (1) 平均值又称为均值(见图3.5), 指波形中的直流成分，所以纯交流电压的平均值为0。测量交流电压的平均值特指交流电压经过均值检波器(即整流)后波形的平均值： (0tT)(2) 峰值Up指交流电压在一个周期内(或一段时间内)以零电平为参考基准的最大瞬时值, 见图3.5所示的Up。对于纯交流电压信号，峰值等于幅值。波形的谷值(最小值)到峰值称为峰-峰值Up-p，也经常作为表征交流电压的参量。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (3) 波形因数kF定义为电压的有效值U与平均值 之比，即： (4) 波峰因数kp定义为电压的峰值Up与有效值U之比，即： 不同波形的波形因数和波峰因数具有不同的定值，见表3.1。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 表表3.1 常见波形的波形因数和波峰因数常见波形的波形因数和波峰因数 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 2. 交流电压测量原理和测量方法交流电压测量原理和测量方法(1) 峰值电压表： 峰值电压表一般采用检波-放大形式，即被测交流电压先检波后放大，然后驱动直流电流表，其结构框图如图3.6所示。峰值电压表的特点是被测信号电压的频率范围广，可达几百兆赫兹，比较适于高频测量。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.6 峰值电压表结构框图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 用峰值电压表测量其他非正弦波波形的电压有效值时，必须进行波形换算，且按下式进行换算： (3-9)其中，Ua为仪表显示的值，U为非正弦波波形的电压有效值，kp为波峰因数，详见表3.1。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.2用峰值电压表测量某正弦波和三角波的电压，已知测量后该电压表的读数均为10 V，试分别指出正弦波、 三角波的电压有效值。解解仪表显示的值就是正弦波的电压有效值，即： U=Ua=10 (V) 三角波的电压有效值为： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (2) 均值电压表： 均值电压表一般采用放大-检波形式，即被测交流电压先放大后检波，然后驱动直流电流表，其结构框图如图3.7所示。均值电压表属宽频毫伏表，频率范围为20 Hz10 MHz，具有较好的线性刻度，波形误差较小，广泛应用于交流电压的测量中。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.7 均值电压表结构框图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 但是，用均值电压表测量其他非正弦波波形的电压有效值时，也必须进行波形换算，且按下式进行换算： U0.9kFUa (3-10) 其中，Ua为仪表显示的值，U为非正弦波波形的电压有效值，kF为波形因数。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.3 用均值电压表测量某正弦波、 三角波的电压，已知该电压表的读数均为12 V，试分别计算正弦波、 三角波的电压有效值。解解仪表显示的值就是正弦波的电压有效值，即:U=Ua=12 (V) 三角波的电压有效值为： U=0.9kpUa=0.91.151212.42 (V)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (3) 有效值电压表: 有效值电压U是指在一个周期内, 通过某纯电阻负载所产生的热量与一个直流电压在同一负载产生的热量相等时, 该直流电压的数值就是交流电压的有效值，即: (3-11)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 一、实验目的一、实验目的 二、实验设备二、实验设备 三、实验内容和实验操作步骤三、实验内容和实验操作步骤1. 熟悉信号源的使用熟悉信号源的使用信号源有低频信号发生器、函数信号发生器、高频信号发生器等，可以输出正弦交流信号，也可以输出非正弦交流信号，如方波信号等。函数信号发生器外观见图sy6.1。 实操实操6 交流电子电压表和信号源的使用交流电子电压表和信号源的使用 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图sy6.1 函数信号发生器第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 函数信号发生器的使用方法： (1) 打开电源，选择波形，如正弦波、 方波、 三角波等。(2) 调节信号输出频率。低频信号发生器的输出频率范围为1 Hz1 MHz，高频信号发生器的输出频率范围为100 kHz150 MHz。 (3) 调节信号输出的电压。调节“输出电平”旋钮，有些信号源不衰减(即0 dB)输出的电压Uz为05 V，有些信号源输出的Uz可达035 V。此外还有“输出衰减”旋钮(或按钮)，可将这些信号衰减10 dB、 20 dB、 30 dB至60 dB等，衰减的分贝数计算按下式进行: 输出的衰减电平分贝数=20 lg第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 2. 熟悉电子电压表的使用熟悉电子电压表的使用 用均值型电子电压表(见图sy6.2)，分别测量函数信号发生器在不同的频率、 不同衰减时的输出电压Uo。该表频率响应范围为20 Hz1MHz，电压有效值量程范围为1 mV300 V，即共有： 1 mV、3 mV、 10 mV、30 mV、100 mV、 300 mV、1 V、3 V、 10 V、 30 V、 100 V、 300 V等挡位(见“测量范围” 量程旋钮)。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图sy6.2 均值型电子电压表第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3. 用电子电压表测量信号发生器的输出电压用电子电压表测量信号发生器的输出电压本实验采用的函数信号发生器能输出频率为1 Hz1 MHz 的正弦信号，其电压表指示为峰-峰值电压Up-p，调节“输出电压”旋钮，使显示的电压峰-峰值Up-p=10 V。选择函数信号发生器的输出波形为正弦波，其输出频率和输出电平衰减的分贝数字详见表sy6.1。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 表表sy6.1 用电子电压表测量信号发生器的输出电压用电子电压表测量信号发生器的输出电压 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (1) 调节好函数信号发生器“输出电压”旋钮，使显示的电压峰-峰值Up-p=10 V(或低频信号发生器上的表头指示为4 V)。(2) 接入电子电压表，先将量程旋钮置于10 V挡。(3) 选择函数(低频)信号发生器的波形为“正弦波”，信号源输出频率为58 Hz。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (4) 分别使函数(低频)信号发生器上的“电平衰减”旋钮调至0 dB、 20 dB、 40 dB、60 dB，用电子电压表分别测量在该频率时的输出电压Uo ，将测量电压Uo的数据填入表sy6.1 相应的空格中。(5) 在衰减为20 dB时，将信号源波形分别改变成“方波”和“三角波”，仍用电子电压表测量信号源各频率的输出电压，将测量电压Uo的数据填入表sy6.1相应的空格中。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 4. 试用普通的模拟式万用表测量信号源电压，与电子电试用普通的模拟式万用表测量信号源电压，与电子电压表测量结果进行比较压表测量结果进行比较 用万用表测量信号发生器的输出，观察在较高频率时测量误差将较大。模拟式万用表的频率响应范围一般为40 Hz1 kHz，故测量较高频率的交流信号就会带来较高误差。用模拟式万用表分别测量信号发生器输出的正弦信号频率为58 Hz、200 Hz、 700 Hz、 500 kHz、 800 kHz、 900 kHz时的电压，将模拟式万用表的测量结果与电子电压表测量结果进行比较，说明什么情况下用模拟式万用表测量电压将产生较大误差。将测量结果添入表sy6.2中。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 表表sy6.2 模拟式万用表测量与电子电压表测量进行比较模拟式万用表测量与电子电压表测量进行比较 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.3.1 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 情境情境9 正弦函数四则运算的难度与解决办法正弦函数四则运算的难度与解决办法对于正弦量的瞬时值解析式(即三角函数式)，其计算极不方便。如图3.8(a)所示，已知 i1 =10sin(t+80)(A) ，i2=5 sint (A )，求电流i 。在线性电路中，如果全部激励都是同一频率的正弦函数，则电路中的全部稳态响应也将是同一频率的正弦函数。3.3 正弦量的相量表示法及复数运算正弦量的相量表示法及复数运算 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.8 正弦交流电路及正弦函数第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 因为在相同频率下(或角频率给定时)，正弦量三要素里的两要素有效值和初相就可以确定一个正弦量，故可以将正弦量转换成复数，在电路中称为相量： 正弦量的有效值看成是相量的“模”， 正弦量的初相看成是相量的“辐角”。这样，就可以用相量来一一对应地表示正弦量。对于正弦交流电路，引入“相量”是为了便于分析和简化计算。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 这种与正弦量相对应的复数就称为“相量”, 它是一个能够表征正弦时间函数的复值常数。相量是一个复数，但它是代表一个正弦波的，在字母上加黑点以示与一般复数相区别。相量的模是正弦量的有效值，辐角是正弦量的初相。必须指出，相量不等于正弦量，但它们之间有相互对应关系： 正弦量 有效值相量 振幅相量 (3-12) (3-13)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.4 已知u1(t)=220 sin(314t+ )(V), u2(t)=141 sin(314t )(V),i(t)=70.5 sin (314t )(mA)，写出u1、 u2和i的相量，并画向量图。 其向量图如图3.9所示。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.9 正弦量对应的向量图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 解解 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.3.2 复数及其运算复数及其运算1. 复数的形式及其换算复数的形式及其换算复数A的形式有代数式、 三角式、 指数式和极坐标式。这里我们仅复习在正弦交流电路的分析计算中运用较多的代数式和极坐标的简化式(参见图3.10)。1) 复数的代数形式复数的代数形式A=a+jb(3-14)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.10 复数在复平面上的表示第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 2) 复数的极坐标形式复数的极坐标形式从图3.10所示的复数矢量图可见，矢量的长度|A|称为复数的模，矢量与实轴正方向的夹角称为复数的辐角，这两个量就反映了一个复数的大小和方向。所以在电路中我们用极坐标形式的简化式来表示复数： (3-15)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3) 复数的换算复数的换算复数的代数形式与极坐标形式之间的换算可以由图3.10所示的直角三角形oAa推导出来。(1) 极坐标式换算为代数式:a=|A| cos (3-16) b=|A| sin (3-17)(2) 代数式换算为极坐标式:|A|= (3-18)=arctan (3-19)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 由于反正切函数的值域为, 所以初相的取值要根据向量所在复平面的象限来确定。而针对这些对应正弦量的相量，因为要表达的是正弦量的初相，所以还要综合初相的取值范围(即|)来考虑(详见图3.11)。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (1) 如果相量位于复平面的第一、 四象限： 初相=arctan (初相在第一象限为正角，在第四象限为负角)，如图3.11(a)所示。(2) 如果相量位于复平面的第二象限： 初相=|=+arctan，如图3.11(b)所示。(3) 如果相量位于复平面的第三象限： 初相=+|=+arctan，如图3.11(c)所示。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.11 不同象限相量的初相第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.5 (1) 将下列极坐标式复数写成代数式复数: (2) 将下列代数式复数写成极坐标式复数: 解解 (1)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (2) ，该复数在复平面坐标的第1象限，故正弦量所对应的复数极坐标式仍为 。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 -3-j ，如果复数对应的是正弦量的相量，该复数应在复平面坐标的第3象限，按初相小于180原则， 有第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 即 2. 复数的运算复数的运算根据复数的四则运算法则，建议复数的加法、 减法运算采用复数的代数形式来进行, 复数的乘法、 除法运算采用复数的极坐标形式来进行。设两复数为第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (1) 加法、 减法运算： A1+A2=(a1+a2)+j(b1+b2) (3-20) A1A2=(a1a2)+j(b1b2) (3-21)(2) 乘法、 除法运算： (3-22) (3-23)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.6 (1) 已知A1=4+j3，A2=-3+j4，求A1+A2， A1-A2。 (2) 已知A3=4 ，A4=5 ，求A3A4， A3/A4。解解 (1) A1+A2=4+(3)+j(3+4)=1+j7 A1A2=4(3)+j(34)=7j (2) A3A4=|45|第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.4.1 纯电阻的正弦交流电路纯电阻的正弦交流电路 1. 电阻元件上的电压与电流的关系电阻元件上的电压与电流的关系1) 瞬时值关系瞬时值关系如图3.12(a)所示，电流、 电压在关联参考方向下的瞬时值关系为u=Ri设 i(t)= Isin(t+i) (3-24)则 u(t)=Ri(t)=IRsin(t+i)= URsin(t+u) (3-25)3.4 单一元件的正弦交流电路单一元件的正弦交流电路 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.12 纯电阻电路与波形图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 2) 有效值关系有效值关系由式(3-25)可得有效值关系： UR=RI (3-26)3) 相量关系相量关系根据电阻两端电压和电流的瞬时值表达式： i(t)= Isin(t+i) u(t)= Usin (t+u)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 得其对应的相量为 由于电压和电流同相, 即u=i，相量图如图3.13(b) 所示，所以它们之间的相量关系为 (3-27)可见纯电阻的阻抗第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.13 纯电阻电路相量模型与相量图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 2. 功率功率电阻的瞬时功率： p=ui= URsint Isint=URI(1cos2t)0 这说明电阻始终消耗功率。由于瞬时功率不便应用，工程上采用平均功率这一概念。平均功率指瞬时功率在一个周期内的平均值。由于平均功率反映了元件实际消耗电能的情况，所以又称有功功率。可推导出： (3-28)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.7一电阻R=1 k，通过该电阻的电流iR=141sin(2000t60)(mA)。求:(1) 电阻R两端的电压瞬时值uR和电压有效值UR；(2) 电阻消耗的功率PR；(3) 作、相量图。解解 (1) iR=141sin (2000t60)(mA)对应的相量为第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.14 电流和电压的相量图 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (2) 电阻功率 PR=I2RR=(100103)21103=10 (W)或 PR=URIR=100103100=10 (W)(3) 根据： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.4.2 纯电感的正弦交流电路纯电感的正弦交流电路1. 电感上的电压与电流的关系电感上的电压与电流的关系1) 瞬时值关系瞬时值关系电流、 电压的参考方向如图3.15(a)所示，当通过电感线圈的电流i发生变化时，电感中会有感应电动势，其两端就存在感应电压uL，瞬时值关系(即伏安特性)如下： (3-29)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 式中，di/dt表示电流的变化率。 式(3-29)说明任一瞬间，电感元件端电压的大小与该瞬间电流的变化率成正比，即电感的感应电压只与流过电感的电流的变化快慢有关，而与该瞬间电流的大小无关。对于直流，di/dt=0，则UL=0，即电感对于直流相当于短路。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.15 纯电感电路与波形图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 设电流为i(t)=Isin(t+i)则有： (3-30)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 2) 有效值关系由(3-30)式可知有效值关系： UL=LI=XLI (3-31) 其中 XL=L=2fL (3-32)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 XL称为感抗(统称电抗)，是表示电感对正弦电流阻碍作用大小的一个物理量。感抗XL与频率有关。对于直流=0，所以XL=0，即电感对于直流相当于短路； 反之，频率越大，感抗也越大。感抗只有在一定的频率下才是常数。感抗XL的单位是欧姆()。注意，感抗XL不能代表电感上的电压和电流的瞬时值之比，只能是有效值或幅值之比： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3) 相量关系相量关系根据电感两端电压和电流的瞬时值表达式(3-30)，得其对应的相量为上式可见，由于纯电感上的电压超前电流90，所以相量关系为第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 显然电感的阻抗： Z=jXL=jL (3-34)电感的相量模型及相量图如图3.16所示。显然，u=i+ ，电压超前电流90。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.16 纯电感电路相量模型及相量图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 2. 功率功率电感的瞬时功率：pL(t)=ULIsin2t。平均功率(有功功率)：PL= p(t)dt=0。由此可见电感不消耗能量, 是储能元件。为了衡量电感与外部交换能量的规模，引入无功功率QL，它反映能量交换的大小，用瞬时功率的最大值表示。其计算为 (3-35)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3. 电感元件的磁场能量电感元件的磁场能量电感元件是一种储存磁场能量的元件，储存的磁场能量为 (3-36)例例3.8在电压为220 V，频率为f=50 Hz的电源上接入电感器L=10 mH (内阻忽略不计)，如图3.17(a)所示。求： (1) 电感器的感抗XL和阻抗Z；(2) 关联参考方向下电感器电流的有效值和瞬时值；(3) 电感器的无功功率；(4) 作、相量图。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 解解 (1) 感抗XL=L=2fL=23.145010103=3.14() 阻抗Z=jXL=j3.14()。 (2) 先求电压电流相量。电压相量设为 则电流相量第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (3) 电感器的无功功率Q=ULI=22070.6=15532 (var)。(4) 相量图如图3.17(b)所示。 纯电感电路电压超前电流90。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.17 纯电感电路及相量图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.4.3 纯电容的正弦交流电路纯电容的正弦交流电路 1. 电容元件上的电压与电流的关系电容元件上的电压与电流的关系 1) 瞬时值关系瞬时值关系电流、 电压的参考方向如图3.18(a)所示，电容瞬时值的伏安关系为 (3-37)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.18 纯电容电路与波形第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 由式(3-37)也可知，由于电容电流不可能无穷大，那么电容电压的变化率也不会无穷大，所以电容电压不能跳变。设电容电压为 uC(t)= UCsin(t+u)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 则有： (3-38)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 2) 有效值关系有效值关系由式(3-38)可知有效值关系： UC= I=XCI (3-39)其中 XC= (3-40)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3) 相量关系相量关系根据电容两端电压和电流的瞬时值表达式(3-38)，得其对应的相量为则有相量关系： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 即 (3-41)电容阻抗 (3-42)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 电感的相量模型及相量图如图3.19所示。显然u=i，电压滞后电流90。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.19 纯电容电路相量模型及相量图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 2. 功率功率电容的瞬时功率： pC(t)=UCIsin2t 平均功率(有功功率)： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 由上式可见电容不消耗能量, 是储能元件。同样，为了衡量电容与外部交换能量的规模，引入无功功率QC，它反映能量交换的大小，用瞬时功率的最大值表示。其计算为 (3-43)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3. 电容元件储存的电场能量电容元件储存的电场能量电容元件储存的电场能量为 (3-44)电容元件储存电场能量的单位为焦耳(J)。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.9在电压为10V，频率为f=50 kHz的电源上接入电容器C=0.001F (电阻忽略不计)， 电路如图3.19(a)所示。求： (1) 电容器的容抗XC和阻抗Z； (2) 关联参考方向下电容器电流的有效值和瞬时值；(3) 作 、相量图。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 解解 (1) 容抗 阻抗 Z=jXC=j3.18(k)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (2) 先求电压电流相量，设电压相量， 则所以电流有效值I=3.14 (mA)电流瞬时值 (3) 、相量图如图3.19(b)所示， 纯电容电路电压滞后电流90。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.4.4 总结总结 将R、L、C元件在正弦交流电路中的瞬时值、 有效值和相量等的伏安关系及其功率归纳如表3.2所示。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 表表3.2 R、L、C元件在电路中的特性元件在电路中的特性 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 一、实操目的 二、实验仪器和设备 三、实验原理与说明 实操实操7 感抗和容抗的测量与频率特性测试感抗和容抗的测量与频率特性测试 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图sy7.1 电感和电容元件的 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (1) 在正弦交流电路中，电感的感抗XL=L=2fL，空心电感线圈的电感在一定频率范围内可以认为是线性电感，当其本身的阻值r较小时，有rXL，可以忽略其电阻的影响，电容器的容抗XC= = 。当电源频率变化时，感抗XL和容抗XC都是频率f的函数，称之为频率特性。典型的电感元件和电容元件的频率特性如图sy7.1所示。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (2) 为了测量电感的感抗和电容的容抗，可以采用间接测量法测量电感和电容两端的电压有效值及流过它们的电流有效值，则感抗XL= , 容抗XC= 。当电源频率较高时，用普通的交流电压表测量电压会产生很大的误差，为此采用测量中高频信号的电子电压表进行电压测量及其间接测量得出电流值。在图sy7.2的电感电路和sy7.3的电容电路中串入一个阻值较准确的取样电阻R，先用电子毫伏表测得取样电阻两端的电压值UR，则根据取样电阻R的大小计算出回路的电流I=UR/R 。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图sy7.2测量电感元件频率特性的电路 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图sy7.3 测量电容元件频率特性的电路第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 四、实验内容四、实验内容1. 电感元件感抗的测量与频率特性的测定电感元件感抗的测量与频率特性的测定 (1) 按图sy7.2接线，将信号发生器输出电压的频率调节在f=10 kHz，测量电感元件的感抗XL。采用间接测量法，先分别测量电感的电压和电阻的电压。分别测出电感和电阻两端电压UL、 UR ，算出回路电流IL=的值和感抗XL的值，记入表sy7.1中。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 表表sy7.1 电感元件感抗的测量电感元件感抗的测量 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (2) 仍按图sy7.2接线，信号发生器输出电压为2 V(或输出电压峰-峰值Up-p=5.6V)，电阻R=100 ，电感线圈L=100mH。 再按表sy7.2所示的数据改变信号发生器的输出频率f，分别测出电感和电阻两端电压UL、UR，算出回路电流IL= 的值和感抗XL=的值，记入表sy7.2中。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 表表sy7.2 电感元件频率特性电感元件频率特性 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 2. 电容元件容抗的测量与电容元件频率特性的测定电容元件容抗的测量与电容元件频率特性的测定(1) 按图sy7.3接线，将信号发生器输出电压的频率调节在f=10 kHz，信号发生器输出电压为2 V(或输出电压峰-峰值Up-p=5.6 V)，电阻R=100 ，电容C=0.1F，因交流信号不存在正负极性问题，图上所标方向是瞬时参考方向。测量电容元件的容抗XC。分别测出电容电压UC、 电阻电压UR，算出I=的值和容抗XC=的值，记入表sy7.3中。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 表表sy7.3 电容元件容抗的测量电容元件容抗的测量 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (2) 仍按图sy7.3接线，信号发生器输出电压为2 V(或输出电压峰-峰值Up-p=5.6V)， 电阻R=100 ，电容器C=0.1 F。 再按表sy7.4所示的数据改变信号发生器的输出频率f，分别测出UC、 UR ，算出IC= 的值和感抗XC的值，记入表sy7.4中。注意每次改变电源频率时，应调节信号发生器使输出电压保持在2V。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 表表sy7.4 电容元件频率特性电容元件频率特性 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.5.1 RLC串联电路串联电路 RLC串联电路以图3.20(a)为例，其相量模型和相量图如图3.20(b)所示。 3.5 阻抗串联和并联的正弦交流电路阻抗串联和并联的正弦交流电路 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.20 RLC电路的相量模型和相量图 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 根据KVL 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 所以其中： Z=ZR+ZL+ZC (3-46)其中电抗 (3-47)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 阻抗Z定义为： 无源二端电路的端口电压相量与电流相量之比为该电路的阻抗。即 (3-48)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.10已知电阻R=12，与电感L=160 mH和电容C=125 F相串联接到电源上，产生电流为i(t)=7.07 sin(314t-60)(A)，如图3.21所示。求电感元件的感抗和电容器的容抗，以及各元件的端电压相量及其电压的瞬时值表达式。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.21 例3.10图 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 解解根据电流的瞬时值i(t)=7.07sin(314t-60)(A)可得到对应的电流相量为感抗 XL=L=314160103=50.24()第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 容抗瞬时值第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 瞬时值瞬时值第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.11在例3.10的基础上求总电压u(t)。解解采用相量第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.5.2 阻抗的串联阻抗的串联 在实际电路中常常会遇到若干复阻抗串联的情况，如RLC串联电路是其中的一个特例: Z=ZR+ZL+ZC=R+jL+ (j )=R+j L )。串联电路因为电流相同，根据阻抗的伏安关系和KVL的相量关系，可推导出对于n个复阻抗串联的等效复阻抗为 Z=Z1+Z2+Zn (3-49)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 设 Z1=R1+jX1, Z2=R2+jX2, , Zn=Rn+jXn则Z=(R1+R2+Rn)+j(X1+X2+Xn)=R+jX=|Z|/ 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.12 设有两个负载Z1=5+j5 和Z2=6-j8 相串联，接在u=220 sin(t+30)(V)的电源上。求等效阻抗Z、 电路电流i和负载端电压u1、 u2各为多少。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.22 例3.12图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 解解 参考方向如图3.22所示, 等效阻抗现，则第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 对应i(t)=19.3 sin(t+45.3) (A) 又第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 对应的瞬时值为第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.23 电感的串联第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (1) 电感的串联。假设有3个电感串联，电路如图3.23所示，则由式(3-49)得： Z=Z1+Z2+Z3=jL1+jL2+jL3 =j(L1+L2+L3)=jL所以容易得到n个电感串联的等效总电感为 L=L1+L2+Ln (3-50)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.24 电容的串联第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (2) 电容的串联。假设有3个电容串联，电容的串联如图3.24所示, 同样由式(3-49)得： 假设有n个电容串联，则容易得到，串联的等效电容为(3-51)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.5.3 阻抗的并联阻抗的并联在并联电路中，各支路电压相同。以两阻抗并联为例，参考方向如图3.25所示。根据阻抗的伏安关系和KCL相量关系有:第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.25 两阻抗并联电路第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 令Y=为复导纳，则相量的伏安关系也可表达为 (3-52)Z是两并联电路的等效复阻抗。即或 （3-52） 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 对于有n条支路并联的电路，其等效复阻抗Z与各支路复阻抗的关系为 （3-54）第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 或 Y=Y1+Y2+Yn (3-54)例例3.13 已知Z1=30+j40和Z2=8-j6，并联后接于的电源上。求该电路的分支电流I1、I2和总电流I，以及等效阻抗Z。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 解解 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (方法一) 或(方法二)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.26 例3.14图 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.14 如图3.26所示电容和电感并联的电路，已知电容C=0.001 F, 电感L=127 mH, 加端电压u(t)=169.7 sin(314t+30)(V)，求总电流及各支路电流的有效值和瞬时值。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 解解 端电压u(t)对应的相量： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 根据复数与正弦量的对应关系得： 有效值： IIL=3A, IC=37.68(A)。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.27 电感的并联第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 电感或电容的并联等效值计算如下：(1) 电感的并联。电感的并联电路如图3.27所示。计算如下：假设有n个电感并联，则容易得到，并联的等效电感为(3-55) 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (2)电容的并联电容的并联电容的并联如图3.28所示，假设有n个电容并联，则容易得到，串联电容的等效电容为： （3-55）第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.28 电容的并联第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (2) 电容的并联。电容的并联如图3.28所示，计算如下： Y=Y1+Y2+Y3 =jC1+jC2+jC3 =j(C1+C2+C3) =jC假设有n个电容并联，则容易得到，串联电容的等效电容为 C=C1+C2+Cn (3-56)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.15有两个电容，C1=200 F，C2=47 F，分别求两个电容串联、 并联后的总电容。 解解由串联电容有则两个电容串联后的大小为第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 对于并联电容，并联后电容大小为C=C1+C2=200+47=247 (F)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.6.1 互感和互感电压互感和互感电压 前面我们介绍的电感L亦称之为自感系数，是由于线圈本身电流变化而产生感应电动势uL=L ，其中自感系数为L= ，这种现象叫自感现象，感应电压uL叫自感电压。 3.6 变变 压压 器器 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 如图3.29所示, 当有两个或两个以上的线圈相距足够近时，其中某个线圈电流所产生的磁通可能会有部分(或全部)穿过另外一个线圈，这种一个线圈的磁通交链另一个线圈的现象称为磁耦合。当一个线圈由于其中电流交变而引起磁通变化时，不仅在本线圈产生感应电动势，还会在与它交链的其它线圈中产生感应电动势，这种现象叫互感现象。线圈1对线圈2的互感系数为 ，线圈2对线圈1的互感系数为 ，可以证明：M21=M12=M。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.29 两线圈互感图和互感线圈的符号第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 线圈1的交变电流i1在线圈2上产生的互感电压为 ，对应的相量为 ；线圈2的交变电流i2在线圈1上产生的互感电压为u12 = ，对应的相量为 。显然，当某线圈不仅有自感还存在互感时，该线圈的电压应该为自感电压与互感电压的叠加, 即： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 同样： 对应相量： （3-57）第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.6.2 理想变压器模型理想变压器模型 变压器(Transformer)是利用电磁感应(即互感)从一个电路向另一个电路传递能量或信号的装置，或者说变压器是能够变换交流电压、 电流或阻抗的装置。变压器主要由两个具有互感的初级线圈(原边)和次级线圈(副边)构成。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.30 几种常见的变压器元件第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 理想变压器是一种无损耗全耦合变压器，是对实际变压器的一种抽象，是实际变压器的理想化模型。它属于有两对端钮的磁耦合电路元件, 其结构和符号如图3.31所示。变压器铁芯柱有两个绕组，其中与输入电源相接的绕线，匝数为N1, 称为初级绕组(一次绕组)，也叫原边线圈；与输出负载相连接的绕线，匝数为N2, 称为次级绕组(二次绕组)，也叫副边线圈。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.31 变压器的结构和符号第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 理想变压器应当满足下面三个理想条件： (1) 变压器本身无损耗，即原边电阻R1=0，副边电阻R2=0。(2) 全耦合。设变压器原边线圈的电感为L1，副边线圈的电感为L2，两线圈的互感为M，全耦合的耦合系数 。 (3) L1、L2和M都趋于无穷大，但 为有限值，并等于原、 副边线圈的匝数比n。 n亦称变比： ，其中N1为原边线圈的匝数，N2为副边线圈的匝数。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.6.3 理想变压器的参数与伏安关系理想变压器的参数与伏安关系 如图3.31所示，设每个线圈的端电压与电流都取关联参考方向。根据上述三个理想化条件以及两线圈磁耦合时的互感原理，我们找出理想变压器的参数及其伏安关系式。根据全耦合的条件，设两线圈磁耦合时的磁通为，则线圈1的磁链为 1=N1第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 那么线圈2的磁链为 2=N2再根据无损耗条件R1=R2=0，则有第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 所以理想变压器原边与副边的电压比为 (3-58)对于正弦交流电也可表示为相量形式 (3-59)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 我们再来看理想变压器的电流与变比的关系。根据两线圈磁耦合时的互感原理，显然电压是自感电压与互感电压的叠加，由式(3-57)有则有 (3-60)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 根据第2个理想条件，以及第3个理想条件L1, 但 , 代入(3-60)式，得第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 所以有电流相量关系 (3-61)瞬时值表达式为可见，理想变压器的参数与瞬时值伏安关系为(3-62) 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 我们也可以推导出理想变压器的有效值关系： 因功率相等 I1U1=I2U2所以 (3-63)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.6.4 变压器的阻抗变换作用与应用举例变压器的阻抗变换作用与应用举例 变压器还具有变换阻抗的作用。如图3.32 所示，当变压器副边接入负载阻抗为Z时，则从原边看进去的输入阻抗为Z: （3-64） 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.32 理想变压器阻抗变换第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.16 某正弦信号源(电源)的内阻为500 , 而负载电阻RL仅为5。为实现功率匹配, 负载电阻就要与信号源(电源)的内阻相等，故可在负载电阻与信号源之间接入一个理想变压器，实现阻抗变换，达到匹配的要求。试求该变压器的变比n。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.33 理想变压器阻抗匹配第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 解解见图3.33所示，RL接在变压器的副边，折合到原边时的电阻应为n2RL，由题意知第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.17电路如图3.34所示，变压器的变比，求电压。解解将副边电阻折合到原边电阻为R，原边电路的等效电路见图3.34(b)。有第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.34 例题3.17图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.7.1 串联谐振电路串联谐振电路 谐振是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象。 在无线电通信、 收音机和电视机中， 可利用谐振电路的特性来选择所需的信号，抑制(或过滤)某些干扰信号。另外在某些情况下，如电力系统中，电路发生谐振会破坏设备的正常工作，应该防止。因此, 谐振现象的研究有着重要的实际意义。 3.7 谐振电路谐振电路 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 情境情境10 收音机对无线信号的选择问题收音机对无线信号的选择问题图3.35(a)、(b)分别为收音机接收电路及其等效电路示意图，在接收频段内有三个电台，调节电容C为什么可以接收到我们想要的广播电台的节目？ 通过学习下面的内容可以帮助解答该问题。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.35 收音机接收电路与其等效电路示意图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 1. 串联谐振及谐振条件串联谐振及谐振条件图3.36为RLC串联正弦交流电路，其阻抗为第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.36 RLC串联谐振电路第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 由上式可见， X=0时， 有： (3-65)由式(3-65)可见RLC串联电路产生谐振的条件是： XLXC，则IXL=IXC。由此可知，RLC串联电路产生谐振时： UL=UC第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 由式(3-65)可推导出RLC串联电路的谐振角频率是： (3-66)其中，0称为电路的谐振角频率。根据=2f，得到谐振频率为 (3-67)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 电路谐振时的感抗和容抗为 (3-68)即 (3-69)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.37 例3.18图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.18 如图3.37所示，已知L=500 H，C为可变电容，变化范围12pF290 pF，R=20，若外施信号源频率为700 kHz，则C应为何值才能使回路对信号源频率发生谐振?解解由第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 得： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 2. 串联谐振特征串联谐振特征(1) 谐振时阻抗Z = R为纯电阻，谐振时阻抗值 Z 最小，因此电路中的电流达到最大，即(2) 串联谐振电路的品质因数Q为谐振时感抗(或容抗)与电阻之比，即（3-70） 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 显然，可通过提高L降低R、 C来升高品质因数Q。由式(3-70)得： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 工程上可以通过测量UC0来获得Q值。由此可得一个非常重要的结论： 串联谐振时，电感和电容两端的电压有效值相等，其大小为信号电源电压Us的Q倍，即： UL0=UC0=QUs (3-71)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (3) 端口电压、 电流同相位。谐振时的相量图如图3.38所示。 谐振时R、 L、C的相量关系：（3-72） （3-73） 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.38 谐振的相量图 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (4) 电路实现谐振方式为：L、C不变，改变达到谐振； 电源频率不变，改变L或C(常改变C)达到谐振。(5) 谐振时整个电路的无功功率为零，但QL、QC 不等于零，电感与电容之间周期性地进行磁场能量与电场能量的交换。有第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (6) 谐振时的能量关系： 总能量是常量，不随时间变化，即 (3-74)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3. 串联谐振电路的频率特性串联谐振电路的频率特性当外加电压有效值不变时，电流的频率特性为第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 如图3.39所示，显然只有当外加电压的频率等于谐振频率0时，电流取得最大值I0(即为Us/R)，而当频率偏离0时，电流就从最大值I0下降。品质因数Q值越大，幅频特性曲线越尖锐, 说明电路的选择性越好。在电流等于0.707I0处所对应的两个频率f1、 f2之间的频率范围称为通频带，见图3.40。显然串联谐振电路只允许一定范围的电流通过, 所以对电流来说它是一个带通滤波器。通频带带宽B为 (3-75) B=f=f2-f1=f0/Q 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.39 电流谐振曲线与Q的关系 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.40 幅频特性通频带示意图第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 为了能反映任何串联谐振电路的幅频特性，采用电流相对值I()/I0与频率相对值/0=之间的关系这一幅频特性，其表达式为 (3-76)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 幅频特性曲线如图3.41所示。式(3-76)中，称为相对抑制比，它表明了电路在角频率偏离谐振角频率0时，对非谐振电流的抑制能力。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.41 串联谐振幅频特性曲线第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 【解答情境解答情境10的问题的问题】 用上述例3.18的参数来讨论，对频率为700 kHz的某广播电台的信号电压us1(其有效值Us1=10 V)，该电路与此发生谐振，见图3.37和图3.35(b)。电路的品质因数为第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 从电容两端取信号，则电容电压有效值为 UC1=QUs1=11010=1100 (V)谐振电流为第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 对于频率为400 kHz的电台： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 则回路电流为电容电压 UC2=XCI=38460.0039=14.8 (V)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 对于频率为1000kHz的电台： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 则回路电流为电容电压 UC2=XCI=1538.50.0062=9.5 (V)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3.7.2 并联谐振电路并联谐振电路 理想并联谐振电路模型如图3.42所示，其复导纳： (3-77)实际常用的并联谐振电路是电感线圈与电容器并联，由于电感线圈有内阻R，所以其模型如图3.43所示。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.42 理想并联谐振电路模型和相量图 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.43 并联谐振电路 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 1. 并联谐振条件并联谐振条件图3.43所示电路中，并联电路的电流为： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 由基尔霍夫电流定律可知： 并联电路总的复导纳为 (3-78)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 由式可见，若电纳B=0，电路的总导纳等于总电导, 即Y=G，则电流与电压同相，此时电路发生并联谐振。由此可得并联谐振条件是复导纳的电纳B为零，即: (3-79)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 谐振角频率为(3-80)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 一般来说，实际电路中电感线圈内阻R很小，远小于线圈感抗，即R0L。由式(3-79)可知，当其分母的R2项忽略不计时，有得到并联谐振时的频率为 (3-81)及 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 2. 并联谐振特征并联谐振特征(1) 在并联谐振电路的输入端接入信号源，如图3.44所示。如果RL，计算谐振时的阻抗： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 谐振时，所以并联谐振时的阻抗： 式(3-82)显示电路阻抗呈电阻性，Z0为最大，因此谐振电路两端的电压值达到最大： ，且端口电压与电流同相位(如相量图3.45所示)。(3-82) 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.44 信号源接入谐振电路第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.45 电压电流的相量图 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (2) 品质因数品质因数Q。并联谐振电路的品质因数Q是谐振时容纳或感纳与电导之比, 即因为第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 所以： (3-83)又因为当R1，即0LR时，在电感和电容中出现大大高于电源电流的大电流，称为过电流现象，这在电力系统等非通信电路中是要避免的。谐振时电压电流的相量图如图3.45所示。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 外加电压一定时，总电流Is最小，为 (3-86) (4) 谐振时整个电路的无功功率为零，但QL、 QC不等于零，电感与电容之间周期性地进行磁场能量与电场能量的交换。谐振时的能量关系如下, 总能量是常量，不随时间变化: (3-87)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 3. 并联谐振电路的频率特性并联谐振电路的频率特性 频率特性中最重要的是并联谐振幅频特性曲线，如图3.46所示。谐振电路两端的电压为第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.46 并联谐振幅频特性第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 由谐振时电路两端的电压，上式可整理为 (3-89) 则其有效值之比为 (3-90)第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.19将一个内阻为15，电感为0.25 mH的线圈和一个电容为100 pF的电容器并联，求该并联电路的谐振频率和谐振时的等效阻抗。解解 由于R=15很小，可采用近似的谐振频率计算公式： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 将该结果与精确公式比较： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 谐振时的等效阻抗为例例3.20一个内阻为10 的电感线圈，品质因数Q=100，与电容接成并联谐振电路。如果再并上一个100 k的电阻，见图3.47，电路的品质因数Qp降低为多少？第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.47 谐振电路并联电阻r第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 解解 由原并联谐振电路的品质因数， 得： 0L=QR=10010=1000 ()第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 并上一个r=100 k的电阻，见图3.47，结合式(3-78)，得复导纳为第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 例例3.21 求图3.48所示电路的谐振频率。 解解 所示电路中，有两个LC并联电路再串联, 电路的阻抗为第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图3.48 例3.21电路第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 求其谐振频率时，令其虚部X为零，电路发生谐振。因R=0，亦即Z=0, 有解方程得谐振时的角频率为第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 一、实操目的一、实操目的 二、实验仪器和设备二、实验仪器和设备 三、注意事项三、注意事项 四、实验内容与实验操作步骤四、实验内容与实验操作步骤 *实操实操8 并联谐振电路并联谐振电路 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 1 实验原理与说明实验原理与说明 电感线圈通常可等效为电感L与其内阻R串联(常称为RL)，所以电感器与电容器C并联的电路可用图sy8.1所示的电路来等效。该电路在后续课程(如高频电子线路)的学习中会经常遇到。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图sy8.1 RL和C并联的电路第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 通过推导，可得图sy8.1电路的谐振频率f0为若，则有：。并联谐振时总电流I0最小(端电压u0最大)，ILICQI0，可见支路电流可远远大于端口电流。品质因数Q与电路的元件参数有关： 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 在RLC并联电路中，若忽略电感线圈内阻R，就成为LC并联电路，如图sy8.2所示，图中R1可视为信号源内阻。当电路发生谐振时，电路支路a、 b之间呈现高阻抗。如果网络端口由有效值一定的电流源激励，在a、 b之间便获得最高电压。在非谐振频率时，a、 b之间为低阻抗，电压也低，因此LC并联电路有选频作用。当信号发生器输出电压一定时，改变信号发生器的输出频率，可获得如图sy8.3所示的电压谐振曲线，谐振曲线的顶部即为谐振点f0。 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图sy8.2 LC并联电路 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图sy8.3 电压谐振曲线第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 2. 实验操作步骤实验操作步骤(1) 寻找LC并联电路的谐振点f0，验证并联谐振电路的特点。按图sy8.4接线，C=0.033F，L=30 mH，R1=30 k，r1=r2=1 。调节信号发生器输出电压保持为5 V，改变信号发生器输出频率，用电子毫伏表测量电阻R1上的端电压UR1，当此电压为最小时(即总电流I0最小)，电路近似达到谐振，将该最小电压值记入表sy8.1中，且信号发生器此时的频率就是谐振点f0，将此值也记入表sy8.1中。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 表表sy8.1 LC并联谐振时电路的数据记录表并联谐振时电路的数据记录表 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 图sy8.4 LC并联谐振实验电路第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 (2) 测定并联谐振电路的谐振曲线。 实验线路同图sy8.4，通过上述实验，得到谐振频率f0= Hz。调节信号发生器输出电压频率，从低频端ff0，取五个频率点，填入表sy8.2。例如上述实验测得f0=5000 (Hz) ，这五个测量频率点是：5000-1500=3500 (Hz) 、5000-500=4500(Hz)、 5000-200=4800(Hz)、5000-60=4940(Hz)、 5000-30=4970(Hz)。逐点测量，调节到谐振频率f0。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 表表sy8.2 并联谐振电路并联谐振电路的谐振曲线的测量数据的谐振曲线的测量数据 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 将图sy8.4中的电容改换为Cg=0.022F，先找到谐振频率f0=Hz。重复上述测量，将测量数据记入表sy8.3中。第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 表表sy8.3 并联谐振电路并联谐振电路的谐振曲线的测量数据的谐振曲线的测量数据 第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路 五、实验报告要求与思考题五、实验报告要求与思考题(1) 画出每个实验的电路连接图和表格，填写实验数据，并用坐标纸绘出谐振曲线(参考图sy8.3)，横坐标为频率f，纵坐标为LC并联电路的端电压Uab。(2) 回答下面问题： LC并联电路为什么具有选频作用？LC并联谐振时，LC端电压的Uab0是最大还是最小？ 比较端口电流I0与支路电流IL(或IC)的大小。 改变电容C，对LC并联电路来说，其谐振频率f0改变了吗？为什么？